2021年（老高考）数学（文）模拟试卷（四）（含解析）

2021年（老高考）数学（文）模拟试卷4

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.）

1.[2020•黄冈中学，华师附中等八校第一次联考]设i是虚数单位，若复数。+击（aGR）

是纯虚数，则。=（）

A.-1B.1C.-2D.2

2.[2020•大同市高三学情调研测试]已知集合集满足{0,1}=4{0,1,2,3},则集合A的个

数为（）

A.1B.2C.3D.4

x-y20

3.[2020•福建省高三毕业班质量检测]设x,y满足约束条件＜x—2yW0,则z=2x+y的

j—1W。

最大值是（）

A.0B.3C.4D.5

4.[2020•福州市高中毕业班质量检测]已知函数1x）为偶函数，当x＜0时，於）=f-In（一

x）,则曲线y=/（x）在x=l处的切线方程为（）

A.x—y=0B.x—y—2=0

C.x+y~2=0D.3x~y—2=0

5.[2020•郑州市高中毕业年级质量预测]若0（喏，兀），2cos2a=sin仔-a）,则sin2a的

值为（）

7711

A.—gB.gC.—gD.g

6.[2020•武昌区高三调研]从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，

余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）

7.[2020•合肥市高三第一次教学质量检测]''一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世

纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、

经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2013〜

2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是（）

2013年2014年2015年2016年2017年

口出口额=进口额一出口增速一进口增速

A.这五年，2013年出口额最少B.这五年，出口总额比进口总额多

C.这五年，出口增速前四年逐年下降D.这五年，2017年进口增速最快

8.[2020-武汉市部分学校高三在线学习摸底检测]已知函数於）={5sin（cox+夕）-cos（sx+

夕）（0＜夕＜兀，3＞0）为偶函数,且y=/（x）图象的两相邻对称轴间的距离为生则（目的值为（）

A.-1B.1C.小D.巾

D

AB

9.[2020•广东调研]最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早

500多年发现勾股定理.如图所示，XABC满足“勾三股四弦五”，其中股AB=4,D为弦

BC上一点（不含端点），且△48。满足勾股定理，则A万/方=（）

A竺R至r169D144

A，144u169J25J25

10.函数,/（x）=ln|x|+|sinx|（一兀WXWTT且xWO）的图象大致是（）

11.[2020•河南省豫北名校高三质量考评]如图为一个正方体A8CZ>AiBiGDi与一个半球

0\构成的组合体，半球01的底面圆与该正方体的上底面AIBIG。的四边相切，01与正方形

A1B1GD1的中心重合.将此组合体重新置于一个球0中（球0未画出），使该正方体的下底面

ABCD的顶点均落在球。的表面上，半球01与球。内切，设切点为P,若四棱锥P-A2C。

的表面积为4+4*7而，则球。的表面积为（）

.1217C_1217T__〜

A.-7—B.（）C.12KD.9兀

o9

12.[2020•湖北省部分重点中学高三起点考试]

92

如图，点A为双曲线C：，一方=l（a>0,人>0）的右顶点，点P为双曲线上一点，作P8L

轴，垂足为8,若4为线段0B的中点，且以A为圆心，AP为半径的圆与双曲线C恰有三个

公共点，则双曲线C的离心率为（）

A.^2B.小C.2D.^5

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在题中的横线上.）

13.[2020.南昌市模拟考试]已知函数4x)=・，则(lg£|+1/(lgO+/Ug2)+/(lg

5）的值为.

14.[2020•武昌区高三年级调研考试]已知一组数据10,5,4,2,2,2,x,且这组数据的平均数

与众数的和是中位数的2倍，则x所有可能的取值为.

15.[2020・广州市高三年级阶段训练题]设向量a=（"7,l）,6=（2,1）,且a力=*/+辰）则相

16.[2020•山西省六校高三第一次阶段性测试]函数y=5sin修+胃）（-15WxW10）的图象与

函数尸『，二2图象的所有交点的横坐标之和为_

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（12分）［2020•湖北省部分重点中学高三起点考试］已知数列｛小｝是等比数列，S”为数列

｛⑥）的前"项和，且43=3,53=9.

（1）求数列｛m｝的通项公式；

3.4

⑵设d=log2=—,且仅”｝为递增数列，若以=厂｝，求证：Cl+c2+c3H---Fc„<l.

白2〃+31

18.（12分）如图1是由正方形ABCG,直角梯形ABEQ,三角形BCF组成的一个平面图形,

其中AB=2Z）E=2,BE=BF=CF=y［i,将其沿AB,BC折起使得BE与B尸重合，连接QG,

如图2.

（1）证明：图2中的。，E,C,G四点共面，且平面ABO,平面QEC；

（2）求图2中点A到平面BCE的距离.

GC

图1图2

19.（12分）［2020惠州市高三第一次调研考试试题］某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A

型、B型、C型汽车进行维修保养，汽车4s店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况,

整理得下表：

车型A型B型C型

频数204040

假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机取10辆进

行问卷回访.

(1)分别求抽取A型、B型、C型汽车的问卷数量.

(2)维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4s店的满意度，

按照大于等于80分为优秀，小于80分为合格，得到如下列联表：

优秀合格合计

男司机103848

女司机252752

合计3565100

问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为司机对4s店的满意度与性别有关系？请

说明原因.

(参考公式：一=//八、〃上八，其中〃=a+b+c+d.)

I(a+b)(c+a)(a+c)(b+a)J

附表：

尸(心》左)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

20.(12分)[2020•郑州市高中毕业年级质量预测]在平面直角坐标系xOy内，动点A到定

点F(3,0)的距离与A到定直线x=4的距离的比值为坐

(1)求动点A的轨迹C的方程；

(2)设点M,N是轨迹C上两个动点，直线。M,ON与轨迹C的另一交点分别为P,Q,

且直线OM,ON的斜率之积等于一:，问四边形MNP。的面积S是否为定值？请说明理由.

21.(12分)[2020•湖北省部分重点中学高三起点考试]已知函数兀v)=e'(-x+lnx+a)(e为

自然对数的底数，。为常数，并且"W1).

(1)判断函数段)在区间(1,e)内是否存在极值点？并说明理由;

(2)若当。=ln2时，./(x)<k(keZ)恒成立，求整数k的最小值.

选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分.)

22.(10分)［2020•广东省七校联合体高三第一次联考试题］在平面直角坐标系xOy中，已

k=2+2cos(0

知曲线Ci：x+y=］与曲线C2：(夕为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴

ly=2sin<p

为极轴建立极坐标系.

(1)写出曲线C”C2的极坐标方程；

(2)在极坐标系中，已知/：。=必)>0)与Ci，C2的公共点分别为A,B,aefo,2，当第

—4时，求a的值.

23.(10分)［2020•安徽省示范高中名校高三嵌考］已知函数凡1)=女一年一2|,k£R,且大工

+2)20的解集为

⑴求k的值；

(2)若a,b,c是正实数，且=+£+R=l，求证：

KCI乙K。JKCyyJ

2021年（老高考）数学（文）模拟试卷（四）

1.答案：c

解析：由已知，得a+.、.\=a+2+i,由题意得“+2=0,所以a=

1+21（1+21）（1—21）

-2,故选C.

2.答案：C

解析：由题意可知A可能为{0,1},{0,1,2},{0』,3},则满足条件的集合A的个数为3,

故选C.

3.答案：D

解析：解法一易知可行域是一个以。（0,0）,8（1』），C（2,l）为顶点的三角形区域（包括边

界），如图中阴影部分所示.作出直线y=-2x,并平移，当动直线y=-2r+z过点C（2,l）时,

截距z取得最大值5,故选D.

解法二直接求出三条直线的交点0（0,0）,8（1,1）,C（2,l）,分别代入目标函数z=2x+y,

求出相应的z的值，并通过比较得点C为最优解，此时z=5,故选D.

4.答案：A

解析：解法一当x>0时，一x<0,为偶函数，..../（x）=/（—x）=（-x）?—lnx=『一Inx,

（x）=2x—%x>0）,（1）=1,又41）=1,二曲线丫=段）在x=l处的切线方程为y=x,

故选A.

5.答案：A

解析：2cos2a=sin(g—a),2(cos2a—sin2a)=^(cosa—sina),'cos

y[2i

aWsina,cosa+sina—^~,(cosa+sina)27—1+2sin«cosa—1+sin2a=g,.".sin2a—

7

—g,故选A.

6.答案：C

解析：所有可能结果为（红，黄），（白，紫）；（红，白），（黄，紫）；（红，紫），（黄，白）；（黄,

白），（红，紫）；（黄，紫），（红，白）；（白，紫），（红，黄），共6种，其中红色和紫色的花在同

42

一花坛的结果有2种，不在同一花坛的结果有4种，故所求概率/>=]=5,故选C.

7.答案：C

解析：由题图可知，这五年，2013年出口额最少，出口总额比进口总额多，2017年进口

增速最快，故选项A、B、D正确，而这五年，出口增速2013年到2014年是递增的，故选项

C是错误的，故选C.

8.答案：B

解析：因为函数/（x）=Ssin（<wx+0）-cos（<ox+9）=2sin（ox+9—专）为偶函数，所以夕一技=

E+],k《Z,令k=0,可得夕=笔又尸危）图象的两相邻对称轴间的距离为参所以去普=看

所以3=2,所以7(x)=2sin(2x+T)=2cos2JG所以H)=2cos,=1,故选B.

9.答案：D

解析：根据题意得，AC=3,AB=4,BC=5.

因为△A3。满足勾股定理，所以AC8c.

则可得4。=亨=当，

A

所以诵.Ab=|4M|Ab|.cos(AB,AD)=H/|AZ7|.COSND4B=H万HA百•匹S=|A方F

IAmI

144

=皆，故选D.

10.答案：D

解析：由于火一x)=ln|x|十|sinx|=y(x),所以函数兀0为偶函数，图象关于y轴对称，由此

排除B选项../(兀)=ln兀+sin7t=lnjc>0,由此排除C选项.当0<xW?r时，,/(x)=lnx+sinx,

令g(x)=/(x)=：+cosx,则g'(x)=-(5+sinx)<0,故/'(x)在区间(0,扪上单调递减，且

f0=亳>0,f(兀)=/一1<0,所以/(x)在区间(0,兀］上有唯一零点，段)在区间(0,可上有

唯一的极值点，由此排除A选项.故选D.

11.答案：B

解析：如图，设球。，半径01的半径分别为R,r,由题意知正方体ABCC-AIICQI的

棱长为2r,四棱锥P-A8CD为正四棱锥.设正方体ABCD-AIBICQI的底面48CD的中心为

G,连接AC,PG,则四棱锥P-A8CZ)的高PG=3r,其各侧面的高为#(3r)2+户=四八由题

意得(2r)2+4X；：X2rX，lbr=4+4A画，解得r=1.易知球。的球心在线段O|G上，连接OC,

则在RtZ\OGC中，OC=R,OG=3~R,CG=%C=；X2吸=也，于是由勾股定理，得(3—

村+(g)2=叱，解得R=,所以球。的表面积S=4兀/广空，故选B.

12.答案：A

解析：解法一由题意可得A(a,0),又A为线段08的中点，所以可得B(2a,0),令x=2a,

则y=±\/5b,可取P(2a,—yfib).

由题意可得圆A经过双曲线的左顶点(一〃,0),即|AP|=2m即2。=后RR,可得。=乩

e=^=N1+"=巾'故选A.

解法二设双曲线的左顶点为圆4与x轴的正半轴交于点M由已知易得尸8|=小儿

|BM|=3a,|8N|=a,连接PM,PN,

在RtZ\PMN中，PB上MN,所以|P3F=|3M|.|8V|,所以3〃=3〃2,因为/=〃+/,所以

e=5=，5,故选A.

13.答案：4

解析：令x>0,则/)+大一加2—2<+2,=2,又lg|=—lg5,lg|=-lg2,所以小g1)+

•/(1或)+•川g2)+/Ug5)=4.

14.答案：-11,3,17

25+x25+x

解析：数据的平均数为一亍一，众数为2,若xW2,则中位数为2,所以>—+2=4,解

25+x

得”=一11；若2〃<4,则中位数为x,所以一y—+2=2x,解得工=3；若无24,则中位数为

25+x

4,所以七一+2=8,解得x=17.

15.答案：2

解析：由题意，得机义2+1X1=；(m2+]2+2?+]2),整理，得利2—4m+4=0,解得m=

2.

16.答案：一7

解析：函数y=5sin&+§(xGR)的图象关于点(一1,0)对称.对于函数当

5(x+l)5

x=—\时，y=0,当xW—1时，易知函数在(-1,0)上单调递增,

V-?+2%+2=H1

■Zx+i

在(0,+8)上单调递减，且当XG(-1,+8)时，)'=/轼"的最大值为1，函数图象关于

点(-1,0)对称.对于函数y=5sin每+三)，当x=0时，y=5sin^>5sin^=|,

所以在(一1,0)内两函数图象有一个交点.根据两函数图象均关于点(-1,0)对称.可知两函

数图象的交点关于点(-1,0)对称，画出两函数在[-15,10]上的大致图象，如图，得到所有交点

的横坐标之和为一1+(—2)X3=-7.

17.解析：(1)设数列｛斯｝的公比为小当9=1时,符合条件，0=6=3,斯=3,

当q/1时，|“攻2=卬1_：)=9,所以｛“同2=s(1+q+q2)=9,解得

[“1=q=-g,“"=12x(一护1

综上，。”=3或12x(-

注：列方程组｛。4="i+aq+aq2=9求解可不用讨论.

(2)若%=3,则b“=0,与题意不符，所以%=12X(一

所以3I+3=12X(—"2=3X(弓)'"，h„=log2^一■=log222，，=2/7,

___4______1____1__1_

Cn

hnbn+\n(n+1)n〃+l'

C|+C2+C3+…+C“=(T)+G-扔…+(，日=1—占<1.

18.解析：(1)因为正方形ABCG中，AB//CG,梯形ABEZ)中，DE//AB,所以QE〃CG,

所以D,E,C,G四点共面.

因为4G_LAB,所以AGJ_OE.因为A£>J_£>E,ADDAG=A,

所以£)E_L平面ADG.

因为DGU平面ADG,所以DEJ_OG.

在直角梯形AB£»中，AB=2,DE=\,BE=45.可求得AD=啦，

同理在直角梯形GCEZ)中，可求得£>G=也，又AG=BC=2,

所以AZ52+DG2=AG2,由勾股定理的逆定理可知ACQG.

因为AOJLOE,DEQDG=D,所以A。_L平面。EG.

因为AOU平面AB。，故平面A3。_L平面DEG,即平面ABO_L平面DEC.

(2)在等腰直角三角形AOG中，AG边上的高为1,所以点。到平面4BC的距离等于1.

因为OE与平面ABC平行，所以点E到平面ABC的距离加=1,

连接AC,AE,三角形4BC的面积Si=；ABBC=2,

△BCE中，BC边上的高为^^序一段十二地，

△BCE的面积S2=领7.啦=近

设点A到平面8CE的距离为h2,由三棱锥A-BCE的体积VA-BCE=VE-ABC,

得〃2=也，故点A到平面8CE的距离为小.

19.解析：(1)抽取A型、B型、C型汽车的问卷数量分别为需X10=2,斋X10=4,器

X10=4.

八100X(10X27-38X25)2

(2)根据通思侍，K-=4.乂3

4yx52X33X03

^8.1431.

因为8.1431>6.635,

所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为司机对4s店的满意度与性别有关系.

20.解析：⑴设A(x,y),由题意，曲高产=坐，

化简得r+4y2=12,

所以动点A的轨迹C的方程为为+]=1.

(2)设历(X1,yi),N(X2,>2),则=7(XI-X2>+(y1—竺)2,

由直线。M,ON的斜率之积为一点得黑=一；，

因为点M,N在椭圆C上，

所以行=3-m，货=3一学代入黑=一:化简得x?+忌=12.

直线MN的方程为(以一yi)x—(及一即加+田巾一为)；2=0,原点。到直线MN的距离d=

M.V2—X2.V1I

\l(,X2-Xl)2+(y2—y\)2'

所以△MON的面积SAMO/V=1-d=^x\y2—X2y\\,

根据椭圆的对称性，四边形MNPQ的面积S=4S^MoN=2\xly2-x2y]\,

所以$2=4。|y2一》2%)2=4国强-2xiX2”>2+冠弗=12华+就=144,所以S=12.

所以四边形MNP。的面积为定值12.

21.解析：(l)f(x)=e(lnx—x+1+〃-11

令g(x)=lnx—x+；+〃-1,x£(l,e),则，(©=厘2(1)，

jp"—r-1-1

g'(*)=——p—<0恒成立，所以g(x)在(1,e)上单调递减,

所以g(x)<a—1W0,所以/'(x)=0在(1,e)内无解.

所以函数./U)在区间(1,e)内无极值点.

(2)当a=ln2时，式x)=e%—x+lnx+ln2),定义域为(0,+<=°),

f(x)=e{l