2019年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学文

2019年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（文史类）

满分150分考试时间120分钟

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.在等差数列｛4｝中，十=2,%=4,则%=

A.12B.14C.16D.18

2.设。=凡知=｛划尤2_2%>0｝,,则=

A.[0,2]B.(0,2)

C.(-oo,0)u(2,+00)D.(-oo,0]u[2,+oo)

3.曲线y=—在点(1,2)处的切线方程为

A.y=3x-lB.y=-3x4-5

C.y=3x4-5D.y=2x

4.从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)

12512012210513011411695120134

则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

5.已知向量。=(1«)]=(2,2),月。+匕与。共线，那么的值为

A.1B.2C.3D.4

]?4

6.设a=log]-,Z?=log[-,c=log3—，则。也c的大小关系是

a2□33

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

7.若函数/(只二无+―1—(〃>2)在x=a处取最小值，则。=

n-2

A.1+^2B.1+百C.3D.4

8.若△ABC的内角，A,B,C满足6sinA=4sinB=3sinC,则cosB=

人屈33A/1511

A.----B.-C.-----D.—

441616

9.设双曲线的左准线与两条渐近线交于AB两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的

离心率的取值范围为

A.(0,5/2)B.(1,72)D.(V2,+00)

10.高为血的四棱锥S-A3CO的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、。均在半径为

1的同一球面上，则底面ABCO的中心与顶点S之间的距离为

x/ioV2+V33/-

A.--B.-----C.-D.<2

222

二、填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上

11.(1+2x)6的展开式中%4的系数是

,,3□,3%、

12.7fCOSU----，且ClG(7T,------)则tana=_________

52

13.过原点的直线与圆2x—4y+4=0相交所得弦的长为2,则该直线的方程为

14.从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为

15.若实数a,c满足2"+2〃=T+b,X+2"+2。=2a+b+c,贝肥的最大值是

三、解答题，本大题共6小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分13分，(I)小问7分，(H)小问6分)

设｛屋｝是公比为正数的等比数列，4=2,q=。2+4。

(I)求｛a,J的通项公式;

(H)设也,｝是首项为1,公差为2的等差数列，求数列伍”+4｝的前〃项和S,,。

17.(本小题满分13分，(I)小问6分，(II)小问7分)

某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且

申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：

(I)没有人申请A片区房源的概率；

(II)每个片区的房源都有人申请的概率。

18.(本小题满分13分,(I)小问7分,(II)小问6分)

设函数/(x)=sinxcosx—V3cos(万+x)cosx(xGR).

(1)求，(x)的最小正周期；

(ID若函数y=/(x)的图象按6=平移后得到函数、=8。)的图象，求丁=8(%)在

(0,＜TT］上的最大值。

4

19.(本小题满分12分，(I)小题5分，(II)小题7分)

设/(x)=2d+办2+笈+1的导数为/，(幻，若函数y=r(x)的图像关于直线x=-g对

称，且/'(1)=0.

(I)求实数。力的值

(II)求函数/(X)的极值

20.(本小题满分12分，(I)小问6分，(H)小问6分)

如题(20)图，在四面体ABCO中，平面ABCJ_平面ACO,AB1BC,AC=AD=2,BC=CD=\

(I)求四面体ABCD的体积；

(II)求二面角C-AB-D的平面角的正切值。

题(20)图

21.（本小题满分12分。（I）小问4分，（H）小问8分）

如题（21）图，椭圆的中心为原点0,离心率e=Y2,一条准线的方程是x=2行

2

（I）求该椭圆的标准方程；

（II）设动点P满足：OP=OM+2ON,其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率

之积为一;，问：是否存在定点F,使得|P目与点P到直线/：》=2面的距离之比为定

值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。

参考答案

一、选择题

1—5DAACD6—10BCDBA

二、填空题：

11.240

4

12.-

3

13.2x-y=Q

7

14.—

30

15.2-log23

三、解答题：满分75分

16.（本题13分）

解：（I）设q为等比数列｛4｝的公比，则由q=2,4=%+4得2d=24+4,

即</2—<7—2=0,解得4=2或q=-1（舍去），因此q=2.

所以｛4｝的通项为an=2-2"T=2"（〃GN*）.

2（1-2"）,〃（〃一1）

（II）S〃=—-------+〃x1+------x2.

1-22

=2,,+l+n2-2.

17.(本题13分)

解：这是等可能性事件的概率计算问题。

(I)解法一：所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24种。

记“没有人申请A片区房源”为事件A,则

…、2416

P(A)=—=—.

3481

解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.

记”申请A片区房源”为事件A,则P(A)=1.

由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，没有人申请A片区房源的概率为

(II)所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有

C戏G(或仁C；)种.

记”每个片区的房源都有人申请”为事件B,从而有

P®=,=%或P(8)=等=》

18.(本题13分)

解：(I)/(x)=~s^n2x+V3cos2x

1._5/3八、

=—sin2x4-——(1+cos2x)

22

1..V3-G

——sin2xH---cos2xH----

222

71G

=sin(2x+-)4——.

故/(幻的最小正周期为

.2万

T=——=71.

2

(II)依题意g(x)=/(x)-?+坐

.S/兀兀66

=sin[2(x---)+—]+——+——

4322

=sin(2九一生)+G.

6

jr-TT7t7T

当xw[0,—]时,2x——e[——|,g(x)为增函数,

4663

19.(本题12分)

解：(I)因/(x)=2d+分2+笈+i,^^(x)=6x?+2czx+0.

2

从而/(左)=6(犬+3)2+8一幺，

66

即y=f\x)关于直线X=—幺对称，从而由题设条件知一2=-L解得。=3.

662

又由于/'⑴=0,即6+2。+/?=0,角军得人=-12.

(II)由(I)知/(x)=2d+3d-12x+l,

f\x)—6JT+6x-12

=6(x-l)(x+2).

令f\x)=0,艮历(x—1)(尤+2)=0.解得％=—2,w=1.

当xe(T»,-2)时,/''(x)>0,故f(x)在(一8,-2)上为增函数；

当xe(—2,1)时,/'(x)<0,故/"(X)在(―2/)上为减函数;

当xe(1,-H»M/,(X)>0,故/"(X)在(1,+OO)上为增函数;

从而函数/(x)g=-2处取得极大值/(-2)=21,在马=1处取得极小值/(1)=-6.

(本题12分)

解法一：(I)如答(20)图1,过D作DF_LAC垂足为F,

故由平面ABCJ_平面ACD,知DF_L平面ABC,即DF

是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点,

则由AC=AD,知AG_LCD,从而

22A

AG=VAC-CG=(2_夕=半.

由94G得,=”=半

由R/AA8C中,AB=VAC2-BC2=5S

MBC:ABBC当

故四面体ABCD的体积•。尸="

3zA/tnv&

(n)如答(20)图1,过F作FEJ_AB,垂足为E,连接DE。由⑴知DF_L平面ABC。由三

垂线定理知DE_LAB,故/DEF为二面角C—AB—D的平面角。

在RfAAFD中,AF=4ADr-DF2=卜?_(浮y=Z,

AF-BC7

在R/A48C中，EF//BC,从而EF：BC=AF：AC,所以族=--------=一.

AC8

DF_2厉

在RtaDEF中，tanDEF

~EF~7

解法二：(I)如答(20)图2,设。是AC的中点，过。作OHLAC,交AB于H,过O作OM

1AC,交AD于M,由平面ABC_L平面ACD,知OH_LOM。因此以O为原点，以射线OH,

OC,OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系o—xyz.己知AC=2,故点A,

C的坐标分别为A(0,—1,0),C(0,1,0),

设点B的坐标为及X,x,0),由ABA.BC,\BC\=\,有

片+犬=1，

x：+(y=1)2=1,

玉■2\x\-一"7"，

解得2(舍去).

1

h1

即点B的坐标为6（也,一,0）.

22

又设点D的坐标为D（0,%，Z2）,由ICD\=1,1AD1=2,有

(%-IT+z：=1,

2

(y2+1)+Z；=4,

33

解得L(舍去).

V15V15

Z2=——,Z2=F

4

3

即点D的坐标为。（0,—,从而AACD边AC上的高为hHz,|=

4

J(|)2+(g+l)2=^,|BC|=1.

又|A81=

LxL\AB\\BC\h=^-

故四面体ABCD的体积V

32o

(II)由(I)知48=(也,3,0),40=(0,?,

224

设非零向量〃=（/,〃[,〃）是平面ABD的法向量，则由〃_LA8有

3/+，=().

(1)

22

由有

(2)

44

（2）,可得/==今，＞即〃=（J5,—1,

取加=一1,由（1）,

显然向量氏=(0,0,1)是平面ABC的法向量，从而

7后

7V109

cos<n,k>=15

L.49109