2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学

参考公式：

2

(1)样本数据…,X"的方差s'=—£(七-X),其中x=—.

〃Mnl=1

(2)直棱柱的侧面积S=ch,其中c为底面周长，h为高。

(3)棱柱的休憩积V=Sh,其中S为底面积，h为高.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。

1.已知集合人={-1,1,2,4},8={-1,0,2},则Ac8=

2.函数/(x)=log5(2x+l)的单调增区间是

3.设复数z满足i(z+l)=—3+2i(i是虚数单位)，则z的实部是

4.根据如图所示的伪代码，当输入a,b分别为2,3时，最后输出的m的值是

5.从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为

6.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6,则该组数据的方差$2=__

7.已知tan(x+工)=2,则网上的值为________

4tan2x

2

8.在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数/(x)=—的图象交于P、Q两点，则

x

线段PQ长的最小值是

9.函数/(x)=Asin(wx+0),(Aw,0是常数，A>0,w>0)的部分图象如图所示，则#0)=

―>—>2->—>—>—>—>—>—»—>

10.已知6],是夹角为5了的两个单位向量，a=et-2e2,b=ke1+e2,若。〃=0,则k的值

为.

2x+a,x<\

11.已知实数aw(),函数/(x)=1,若/(I—a)=/(l+a),则q的值为________

-x-2a,x>\

12.在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数/(x)="(x>0)的图象上的动点，该图象在P处的

切线/交y轴于点M,过点P作/的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则l

的最大值是_________

13.设W…其中％,a3M5M7成公比为q的等比数列，a2M4，。6成公差为1的等

差数列，则q的最小值是

14.设集合A={(x,y)|£W(X-2)2+y2<m2,x,y^R},

B[(x,y)\2m<x+y<2m+\,x,y&R},若AcBw。，则实数m的取值范围是

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解解答适应写出文字说明、

证明过程或演算步骤

15.在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,。,C

TT

(1)若sin(A+—)=2cosA,求A的值;

6

(2)若cosA==3c,求sinC的值.

3

16.如图，在四棱锥尸一A5C£>中，平面PAD_L平面ABCD,AB=AD,ZBAD=60°,E、F分别是

AP、AD的中点

求证：(1)直线EF〃平面PCD；

(2)平面BEF_L平面PAD

17.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示

的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A8CO四个点重合于图中的点P,正好形

成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设

AE=FB=xcm

(1)某广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问X应取何值？

(2)某广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问X应取何值？并求出此时包装盒的高与底

i呼长的比值。

18.如图,1的顶点，过坐标原点的直线

交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC,并延长交

椭圆于点B,设直线PA的斜率为k

(1)当直线PA平分线段MN,求k的值；

(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

(3)对任意k>0,求证：PA±PB

19.已知a,I是实数,®Ikf(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,/'(x)和g'(x)是/(x),g(x)的导函

数，若/'(x)g'(x)20在区间/上恒成立，则称/(%)和g(x)在区间I上单调性一致

(1)设a>0,若/(x)和g(x)在区间［-l,+oo)上单调性一致，求b的取值范围；

(2)设a<0,且。工沙，若/(%)和g(x)在以a,匕为端点的开区间上单调性一致，求|“出的最

大值

20.设M部分为正整数组成的集合，数列｛《,｝的首加।=1,前n项和为5.，己知对任意整数keM,

当整数〃>如寸,Sn+k+Sn_k=2(S„+Sk)都成立

(1)设“=⑴必=2,初5的值；

(2)设"=｛3,4｝,求数列｛4｝的通项公式

参考答案

一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法，每小题5分，共计70分。

1.{—1,—2}2.3.14.3

14J65

5.-6.3.27.-8.49.—10.

3924

11.--12.~(e+e-')13.^314.[-,2+V2]

422

二、解答题:

15.本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力。满

分14分.

解：(1)由题设知sinAcos工+cosAsin工=2cosA从而sinA=J5cosA,所以cosAw0,

66

tanA=因为0<Q<肛所以A=—.

3

(2)由cosA=',〃=3c及/

-b2+c2-2/?ccosA得。2=h2

3

jrj

故AABC是直角三角形，且8=一，所以sinC=cosA=—.

23

16.本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考察空间想象能力和推理论证能力。满分

14分。

证明：(1)在△PAD中，因为E、F分别为"k

AP,AD的中点，所以EF//PD./\

又因为EF<Z平面PCD,PDU平面PCD,AJV\

所以直线EF〃平面PCD.'I''\；

(2)连结DB,因为AB=AD,ZBAD=60°,Jt---V

所以AABD为正三角形，因为F是AD的<,16a，

中点，所以BFJ_AD.因为平面PADJ_平面

ABCD,BFu平面ABCD,平面PAD八平面ABCD=AD,所以BF_L平面PAD。又因为BFu平

面BEF,所以平面BEF_L平面PAD.

17.本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读能

力及解决实际问题的能力。满分14分.

解：设像盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),由己知得

a=41x,h=一F=V2(30-x),0<x<30.

72

(1)S-Acih—8x(30-x)=—8(x—15)"+180Q

所以当x=15时，S取得最大值.

(2)V=a2h=2y[2-(x2+3Ox2),V'=6ax(20—x).

由V'=0得x=0(舍)或x=20.

当xw(0,20)时,V'>0;当Xe(20,30)时V'<0.

所以当x=20时，V取得极大值，也是最小值.

此时4=_1即_1装盒的高与底面边长的比值为

a22

18.本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等

基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分.

解：(1)由题设知，a=21=后,故W(—2,0),N(0,—正),所以线段MN中点的坐标为

(-1,由于直线PA平分线段MN,故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐

2

一_rV2

标原点，所以a=—

(2)直线PA的方程y=2x代入椭圆方程得3+三=1,•

9?424

解得x=土一，因此P(一,一),A(,--).

3333

20+|2

于是CG,0),直线AC的斜率为=1,故直线48的方程为x—y-*=0.

3223

3+3

,242

因此d=3；33二迪.

尸3

(3)解法一：

入2222

将直线PA的方程y=丘代入—+—=1,解得x=土,~,，记

42g2k2

则尸(〃,必),A(—于是C(〃,0)

故直线AB的斜率为^—,

〃+〃2

k—

其方程为y=5(x-代入椭圆方程得(2+&2)炉_2必2光-&2+342)=0,

必?

2+P-^k3-k(2+k2)1

于是直线PB的斜率占

〃(3父+2)-3k2+2-(2+k2)~~~k

2+k2

因此匕左=—1,所以PA_LPB.

解法二：

设尸（工”必）,8（>2，%），则玉>0,x2>0,xt^x2,A（-xf，-^）,C（X1,0）.

设直线PB,AB的斜率分别为占#2因为C在直线AB上，所以女2=0T"）=』-5.

x,-（-xI）2x,2

从而

力一（一弘）।J

%/+1=2匕3+1=2.，2一%

%2—（一%）

2货-2y；(k+2负)4-4

=0.

X；-X12X；-X：X；-X：

因此匕斤=一1,所以

19.本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思

想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分.

解：f'（x）=3x2+a,g'（x）=2x+b.

（1）由题意知/'（x）g'（x）20在［―l,+8）上恒成立，因为a>0,故31+”>0,

进而2x+b20,即82—2x在区间［T,+oo）上恒成立，所以匕22.

因此6的取值范围是［2,+0。）」

⑵令（（幻=0,解得x=

若力〉0,由a<0得0e(a,b).又因为y'(0)g'(0)=ab<0,

所以函数/（x）和g（x）在（a,切上不是单调性一致的，因此匕<0.

现设人40当xe(—8,0)时,g'(x)<0；

当XG(-00,时，f\x)>0.

因此，当XG(-OO,十多时，f\x)g'(X)<0.

故由题设得aN-Ji且bN-旧，

从而—4a<0,于是—4。W0.

33

因此1。一。区;，且当“=——=0时等号成立，

又当a=-3，。=0时,/'0)8'(幻=6%。2-9),从而当xw(-：,0)0Vly'(x)g'(x)>0

故当函数/(x)和g(x)在(-g,0)上单调性一致，因此的最大值为g.

20.本小题考查数列的通项与前〃项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探

究及逻辑推理的能力，满分16分。

解：⑴由题设知，当〃220寸,5用一§1T=2(S.+E),

即(S“M—SJ—(S“—S.T)=2E，

从而an+l-a”=2q-2,又4=2,故当〃>刑,。“-a2+2(〃-2)=2〃一2.

所以火的值为8。

(2)由题设知，当攵eM={3,4},且《>的，3什《+5,修=2S.+2S«

且S〃+i+*+S“+]_*=25n+1+25%,

两式相减得4+i+*+«„+1_*=2«„+1,BP«„+1+t-an+i_k=an+l-an+i_k

所以当〃之8f时,an_3,an,a“+3,an+(t成等差数列，且a„_6,an_2,an+2,an+b也成等差数列

从而当〃28时，2%=%+3+4_3=%+6+4-6・(*)

且%+6+%-6=4+2+4-2，所以当心丽,2%=4+2+a,.-2，

即4+2-an=an~an-2•于是当"之训寸，%-3，%,%+1，%+3成等差数列，

从而%+3+4-3=4+1+%,

故由(*)式知2a„=an+]+%,即％-a“=an-an_r

当“29时，设d=a“一4+].

当24加<丽,m+6>8,从而由(*)式知2am+6=4.+4”+i2

故2am+7~am+\+am+l3-

从而2(。,“+7-q“+6)=-4”+(4”+13—4用2)，于是q“+i_a”,=2d-d=d.

因此，a.—%=d对任意”22都成立，又由Sn+k+Sn_k-2Sk=2Sk(kG｛3,4｝)可知

⑸+«-S,)-⑸-S„_,)=2&,故9d=2邑且16。=2s4,

73d

解得。4=]”,从而%=5""|='.

因此，数列｛%｝为等差数列，由q=l知d=2.

所以数列｛%｝的通项公式为an=2/2-1.

数学n（附加题）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多

做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，圆口与圆&内切于点A,其半径分别为4与弓（;；>外），

圆q的弦AB交圆仪于点C不在AB上），

求证：A3:AC为定值。

第2M图

B.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

-111,

已知矩阵4=2]，向量/=之，求向量a，使得4-。=尸.

C.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

x=5cos（of%=4—2z

在平面直角坐标系中，求过椭圆《"（S为参数）的右焦点且与直线1（t

y=3sin°[y=3-r

为参数）平行的直线的普通方程。

D.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

解不等式：x+|2x-l|<3

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应

写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22.(本小题满分10分)

如图，在正四棱柱ABCD-ABGA中，A4,=2,AB=1,点N是的中点，点M在eg上,

设二面角A-DN-M的大小为6。

(1)当8=90°时，求AM的长；

(2)当cos6=Y5时，求CM的长。

6

第22题图

23.(本小题满分10分)

设整数〃，4,尸①,份是平面直角坐标系xOy中的点，其中a,bw{l,2,3,,n],a>b

(1)记4为满足4一人=3的点P的个数，求人；

(2)记纥为满足g(a-3是整数的点P的个数，求纥

附加题参考答案

21.【选做题】

A.选修4-1：几何证明选讲

本小题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力，满分10分。

证明：连结AO”并延长分别交两圆于点E和点D连结BD、CE,因为圆01与圆O2内切于点

A,所以点。2在AD上，故AD,AE分别为圆O”圆。2的直径。

所以AB：AC为定值。（第21Am

B.选修4-2：矩阵与变换

本小题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力。满分10分。

2

3

xs2x13x+2y=1,

设。=.由A%=△得，从而＜

4

\_y]L3」24x+3y=2.

解得x=—l,y=2,所以。=

C.选修4-4：坐标系与参数方程

本小题主要考查椭圆与直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力，满分10分。

解：由题设知，椭圆的长半轴长。=5,短半轴长。=3,从而c=It?—廿=4,所以右焦点

为（4,0）,将已知直线的参数方程化为普通方程：x-2y+2=0.

故所求直线的斜率为；，因此其方程为y=g（x-4）,即x-2y-4=0

D.选修4-5：不等式选讲

本小题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力，满分10分。

2%—120,

解：原不等式可化为4或

x+(2x—1)v3,x—(2x—1)<3

141

解得一工工＜一或一2＜工＜一.

232

所以原不等式的解集是，x\-2＜x＜^

22.【必做题】本小题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力，满分10

分。

解：建立如图所示的空间直角坐标系。一种，

设CM=，(0W2)