2018年数学中考第一轮复习讲义2018年数学中考第一轮复习讲义第12讲一次函数综合应用

第十二讲一次函数的综合应用

知识回顾

1.一次函数和一元一次方程的关系

一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kx+b=O的；

若从图象上来看，则可看做函数y=kx+b的图象与x轴的交点的，即为方程kx

+b=0的解.

2.一次函数和一元一次不等式的关系

任何一元一次不等式都可以转化为类似ax+b>0或ax+b<0的形式，所以解一

元一次不等式可以看做：当一次函数y=ax+b的值大(小)于0时，求自变量相

应的取值范围；反之，求一次函数y=ax+b的值何时大(小)于0时，只要求出

不等式ax+b>0或ax+b<0的解集即可.

①如图1,一次函数y=)U+6的图象与x轴交于点(x。，0).当它在x轴上方的

部分时，对应不等式为，其解为；当它在x轴下方的部分时，对应不等式为，其

解为.

②如图2,一次函数M与必=&2*+优的图象交点的横坐标为工。・当

必=后》+仇的图象在弘=分》+々上方的部分时，对应不等式为，其解为；当

h=七%+。2的图象在必=4/+仇下方的部分时，对应不等式为，其解为.

3.一次函数的实际应用

(1)通过图象获取信息

通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，

要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看分别

代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系.

观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题

有很大的帮助.

(2)一次函数图象的应用

一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实

生活中有着广泛的应用.在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，

函数y=kx+b(kW0)的图象就不再是一条直线.要根据实际情况进行分析，其

图象可能是等等.

基础检测

1.如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向

右平移，到图③的位置停止运动.如果设运动时间为X,大小正方形重叠部分的

面积为y,则下列图象中，能表示y与X的函数关系的图象大致是（）

2.（2017山东聊城）端午节前夕，在东昌湖举行第七届全民健身运动会龙舟比

赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y（m）与时间x（min）之

间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）

A.乙队比甲队提前0.25min到达终点

B.当乙队划行110m时，此时落后甲队15m

C.0.5min后，乙队比甲队每分钟快40m

D.自1.5min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到

255m/min

3.（2017乌鲁木齐）一次函数丫=1«+6（k,b是常数，kWO）的图象，如图所示，

则不等式kx+b>0的解集是（）

A.x<2B.x<OC.x>OD.x>2

4.（2017湖北随州）如图，NAOB的边0B与x轴正半轴重合，点P是0A上的

一动点，点N（3,0）是0B上的一定点，点M是ON的中点，ZA0B=30°,要使

PM+PN最小，则点P的坐标为.

5.（2017宁夏）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种

商品的进价相同，具体情况如下表所示：

购进数量（件）购进所需费用（元）

AB

第一次30403800

第二次40303200

（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元?

（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售.为满足

市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品

数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润.

6.（2017宁夏）为确保广大居民家庭基本用水需求的同时鼓励家庭节约用水,

对居民家庭每户每月用水量采用分档递增收费的方式，每户每月用水量不超过基

本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费.为对基本

用水量进行决策，随机抽查2000户居民家庭每户每月用水量的数据，整理绘制

出下面的统计表：

用户每323334353637383940414243

月用水及及

量（m3）其其

以以

下上

户数200160180220240210190100170120100110

（户）

（1）为确保70%的居民家庭每户每月的基本用水量需求，那么每户每月的基本

用水量最低应确定为多少立方米？

（2）若将（1）中确定的基本用水量及其以内的部分按每立方米1.8元交费，超

过基本用水量的部分按每立方米2.5元交费.设x表示每户每月用水量（单位:

m3）,y表示每户每月应交水费（单位：元），求y与x的函数关系式；

（3）某户家庭每月交水费是80.9元，请按以上收费方式计算该家庭当月用水量

是多少立方米？

考点解析

知识点一、函数图象的交点

【例题】（2016•重庆市B卷・4分）为增强学生体质，某在体育课中加强了学

生的长跑训练.在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环

形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S（米）与所用的时间t（秒）

之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第」秒.

【考点】一次函数的应用.

【分析】分别求出OA、BC的解析式，然后联立方程，解方程就可以求出第一次

相遇时间.

【解答】解：设直线0A的解析式为y=kx,

代入A(200,800)得800=200k,

解得k=4,

故直线0A的解析式为y=4x,

360=60k^b

设BC的解析式为r=kix+b,由题意，得

540=150kj+b*

解得:

lb=240

ABC的解析式为y,=2x+240,

当丫=》时，4x=2x+240,

解得：x=120.

则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒.

故答案为120.

【点评】本题考查了一次函数的运用，一次函数的图象的意义的运用，待定系数

法求一次函数的解析式的运用，解答时认真分析求出一次函数图象的数据意义是

关键.

【变式】

直线y=-2x+m与直线y=2x-l的交点在第四象限，则m的取值范围是()

A.m>-lB.m<1C.-l<m<lD.TWmWl

【答案】C

y=-lx+m

【解析】联立

y-2x-l

解得

•.•交点在第四象限,

5>0①

.I4

）,=丝11<0②

、2

解不等式①得，m>-l,

解不等式②得，m<l,

所以，m的取值范围是T<m<L

故选C.

知识点二、一次函数与一元一次不等式

【例题】（2015辽宁辽阳）如图，直线y=-x+2与y=ox+人（"0且a,b为

常数）的交点坐标为（3,-1）,则关于x的不等式-x+22以+b的解集为（）

A.x2-1B.x23C.xW-1D.xW3

【答案】D.

【分析】根据图形即可得到不等式的解集.

【解析】从图象得到，当xW3时，y=-x+2的图象对应的点在函数y=or+匕的

图象上面，...不等式-x+22or+〃的解集为xW3.故选D.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使

一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的

角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构

成的集合.要注意数形结合，直接从图中得到结论.

【方法技巧规律】一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用.解决

此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结

合.

【变式】（2016•广西百色•3分）直线y=kx+3经过点A（2,1）,则不等式kx+320

的解集是（）

A.xW3B.xe3C.x2-3D.xWO

【考点】一次函数与一元一次不等式.

【分析】首先把点A（2,1）代入y=kx+3中，可得k的值，再解不等式kx+320

即可.

【解答】解：•••y=kx+3经过点A(2,1),

/.l=2k+3,

解得：k=-1»

一次函数解析式为：y=-x+3,

-x+320,

解得:xW3.

故选A.

知识点三、方案设计

【例题】(2016•湖北荆门•12分)A城有某种农机30台，B城有该农机40台，

现要将这些农机全部运往C,D两乡，调运任务承包给某运输公司.已知C乡需

要农机34台，D乡需要农机36天，从A城往C,D两乡运送农机的费用分别为

250元/台和200元/台，从B城往C,D两乡运送农机的费用分别为150元/台和

240元/台.

(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x

的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不

同的调运方案？将这些方案设计出来；

(3)现该运输公司决定对A城运往C乡的农机,从运输费中每台减免a元(aW200)

作为优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？

【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用.

【分析】(1)A城运往C乡的化肥为x吨，则可得A城运往D乡的化肥为30-x

吨，B城运往C乡的化肥为34-x吨，B城运往D乡的化肥为40-(34-x)吨，

从而可得出W与x大的函数关系.

(2)根据题意得140x+12540216460求得28WxW30,于是得到有3种不同的

调运方案，写出方案即可；

(3)根据题意得到W=x+12540,所以当a=200时,y最小=-60x+12540,此时

x=30时y最小=10740元.于是得到结论.

【解答】解:(1)W=250x+200(30-x)+150(34-x)+240(6+x)=140x+12540

(0VxW30)；

(2)根据题意得140x+12540216460,

.•.x228,

Vx^30,

，28WxW30,

•••有3种不同的调运方案，

第一种调运方案：从A城调往C城28台，调往D城2台，从，B城调往C城6

台，调往D城34台；

第二种调运方案：从A城调往C城29台，调往D城1台，从，B城调往C城5

台，调往D城35台；

第三种调运方案：从A城调往C城30台，调往D城。台，从，B城调往C城4

台，调往D城36台，

(3)W=x+200(30-x)+150(34-x)+240(6+x)=x+12540,

所以当a=200时,y最小=-60x+12540,此时x=30时y最小=10740元.

此时的方案为：从A城调往C城30台，调往D城。台，从，B城调往C城4台，

调往D城36台.

【变式】(2015•四川凉山州第22题8分)2015年5月6日，凉山州政府在邛海

“空列”项目考察座谈会上与多方达成初步合作意向，决定共同出资60.8亿元,

建设40千米的邛海空中列车.据测算，将有24千米的“空列”轨道架设在水上，

其余架设在陆地上，并且每千米水上建设费用比陆地建设费用多0.2亿元.

(1)求每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元？

(2)预计在某段“空列”轨道的建设中，每天至少需要运送沙石1600n?,施工

方准备租用大、小两种运输车共10辆，已知每辆大车每天运送沙石200m)每辆

小车每天运送沙石120m大、小车每天每辆租车费用分别为1000元、700元,

且要求每天租车的总费用不超过9300元，问施工方有几种租车方案？哪种租车

方案费用最低，最低费用是多少？

【解析】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用.(1)首先根据

题意，设每千米“空列”轨道的水上建设费用需要x亿元，每千米陆地建设费用

需y亿元，然后根据“空列”项目总共需要60.8亿元，以及每千米水上建设费

用比陆地建设费用多0.2亿元，列出二元一次方程组，再解方程组，求出每千米

“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元即可.

（2）首先根据题意，设每天租m辆大车，则需要租10-m辆小车，然后根据每

天至少需要运送沙石1600m）以及每天租车的总费用不超过9300元，列出一元

一次不等式组，判断出施工方有几种租车方案；最后分别求出每种租车方案的费

用是多少，判断出哪种租车方案费用最低，最低费用是多少即可.

【解答】解：（1）设每千米“空列”轨道的水上建设费用需要x亿元，每千米陆

地建设费用需y亿元，

„,f24x+（40_24）y=60.8

则<,

x-y=0.2

解得h=1.6.

ly=l.4

所以每千米“空列”轨道的水上建设费用需要1.6亿元，每千米陆地建设费用需

1.4亿元.

答：每千米“空列”轨道的水上建设费用需要1.6亿元，每千米陆地建设费用需

1.4亿元.

（2）设每天租m辆大车，则需要租10-m辆小车，

则200/120（10-m）>1600

'|1000irri-700（10-m）<9300

,5<戍孕

...施工方有3种租车方案：

①租5辆大车和5辆小车；

②租6辆大车和4辆小车；

③租7辆大车和3辆小车；

①租5辆大车和5辆小车时，

租车费用为：

1000X5+700X5

=5000+3500[

=8500（元）

②租6辆大车和4辆小车时，

租车费用为：

1000X6+700X4

=6000+2800

=8800（元）

③租7辆大车和3辆小车时，

租车费用为：

1000X7+700X3

=7000+2100

=9100（元）

V8500<8800<9100,

...租5辆大车和5辆小车时，租车费用最低，最低费用是8500元.

【点评】（1）此题主要考查了一元一次不等式组的应用，要熟练掌握，解答此题

的关键是要明确：一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题。

知识点四、分段函数

【例题】（2017青海西宁）首条贯通丝绸之路经济带的高铁线--宝兰客专进

入全线拉通试验阶段，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家

和地区的经贸合作、人文交流具有十分重要的意义，试运行期间，一列动车从西

安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的

时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的

函数关系，根据图象进行一下探究：

【信息读取】

（1）西宁到西安两地相距1000千米,两车出发后3小时相遇;

（2）普通列车到达终点共需12小时,普通列车的速度是娶千米/小时.

【解决问题】

（3）求动车的速度；

（4）普通列车行驶t小时后，动车到达终点西宁，求此时普通列车还需行驶多

少千米到达西安？

【考点】FH：一次函数的应用.

【分析】（1）由x=0时y=1000及x=3时y=0的实际意义可得答案；

（2）根据x=12时的实际意义可得，由速度=需善可得答案；

­

（3）设动车的速度为x千米/小时，根据“动车3小时行驶的路程+普通列出3

小时行驶的路程=1000”列方程求解可得；

（4）先求出t小时普通列车行驶的路程，继而可得答案.

【解答】解：（1）由x=0时，y=1000知，西宁到西安两地相距1000千米，

由x=3时，y=0知，两车出发后3小时相遇，

故答案为：1000,3；

（2）由图象知x=t时，动车到达西宁，

.•.x=12时，普通列车到达西安，即普通列车到达终点共需12小时，

普通列车的速度是喀=翠千米/小时，

故答案为：12,粤；

（3）设动车的速度为x千米/小时，

根据题意，得：3x+3X翠=1000,

解得：x=250,

答：动车的速度为250千米/小时；

（4）Vt=^J-=4（小时），

250

...4*颦="裂（千米），

.,.woo-1^22.=2021（千米），

JJ

...此时普通列车还需行驶噜千米到达西安.

【变式】（2015•青海西宁第27题10分）兰新铁路的通车，圆了全国人民的一个

梦，坐上火车去观赏青海门源百里油菜花海，感受大美青海独特的高原风光，暑

假某校准备组织学生、老师到门源进行社会实践，为了便于管理，师生必须乘坐

在同一列高铁上，根据报名人数，若都买一等座单程火车票需2340元，若都买

二等座单程火车票花钱最少，则需1650元：

西宁到门源的火车票价格如下表

运行区间票价

上车站下车站一等座二等座

西宁门源36元30元

（1）参加社会实践的学生、老师各有多少人？

（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（参加社会实践的学生人数

VxV参加社会实践的总人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员

都有座位坐并且总费用最低的前提下，请你写出购买火车票的总费用（单程）y

与x之间的函数关系式.

【解析】一次函数的应用；二元一次方程组的应用.（1）设参加社会实践的

学生有m人，老师有n人，根据都买一等座单程火车票需2340元，若都买二等

座单程火车票花钱最少，则需1650元，列出方程组即可；

（2）当50VXV65时，费用最低的购票方案为：学生都买学生票共50张，（x

-50）名老师买二等座火车票，（65-x）名老师买一等座火车票，然后列出函数

关系式即可.

【解答】解；（1）设参加社会实践的学生有m人，老师有n人.

若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，根据题

意得：

（36nH-36n=2340,

130X0.8nri-30n=1650,

解得:1np50

ln=15

答：参加社会实践的学生、老师分别为50人、15人；

（2）由（1）知所有参与人员总共有65人，其生有50人.

当50<xV65时，费用最低的购票方案为：

学生都买学生票共50张，（x-50）名老师买二等座火车票，（65-x）名老师买

一等座火车票.

...火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=30X0.8X50+30（x

-50）+36（65-x）即y=-6x+2040（50<x<65）.

答：购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式是y=-6x+2040（50

<x<65）.

【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用和列函数关系式，分别求得购

买二等座火车票的教师的人数和一等座火车票的人数是解题的关键.

知识点五、求最值

【例题】(2016•湖北武汉•10分)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种

生产并销售，每年产销x件.已知产销两种产品的有关信息如下表：

产每件售价(万每件成本(万每年其他费用(万每年最大产销量

品元)元)元)(件)

甲6a20200

乙201040+0.05/80

其中a为常数，且3WaW5.

(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为为万元、先万元，直接写出刀、

%与x的函数关系式；

(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；

(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由.

【考点】二次函数的应用，一次函数的应用

【答案】(1)%=(6-a)x-20(0VxW200),y2=~0.05^+10%-40(0VxW80)；

(2)产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年

利润为440万元；(3)当3WaV3.7时，选择甲产品；当a=3.7时，选择甲乙产

品；当3.7VaW5时，选择乙产品

【解析】解：⑴乂=(6-a)『20(0VxW200),乃=-0.051+10尸40(0VxW80)；

(2)甲产品：•；3WaW5,，6-a>0,.•.%随x的增大而增大.

.•.当x=200时,%皿=1180-200a(3WW5)

乙产品：%=-0.05/+10尸40(0VxW80)

.,.当0VxW80时，必随x的增大而增大.

当x=80时，%*=440(万元).

二产销甲种产品的最大年利润为(H80-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润

为440万元；(3)1180-200>440,解得3WaV3.7时，此时选择甲产品；

1180-200=440,解得a=3.7时，此时选择甲乙产品；

1180-200<440,解得3.7VaW5时,此时选择乙产品.

.•.当3WaV3.7时，生产甲产品的利润高；

当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同；

当3.7VaW5时，上产乙产品的利润高.

【变式】

（2016•湖北荆州•8分）为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种

的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7

元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函

数关系.

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请

设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用.

【分析】（1）利用得到系数法求解析式，列出方程组解答即可；

（2）根据所需费用为W=A种树苗的费用+B种树苗的费用，即可解答.

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b,

把（20,160）,（40,288）代入y=kx+b得:

解得：，k=6.4

lb=32

:.y=6.4x+32.

（2）...B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，

./x435

x>45-x

A22.5WxW35,

设总费用为TV元，贝DN=6.4x+32+7（45-x）=-0.6x+347,

Vk=-0.6,

.♦•y随x的增大而减小，

.•.当x=35时,W总费用最低，W城低=-0.6X35+347=137（元）.

【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据一次函数的增减性得出费用最省

方案是解决问题的关键.

【典例解析】

【例题1】（2016•吉林•8分）甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线

从A地出发前往B地，甲出发lh后，y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示.

（1）甲的速度是60km/h；

（2）当l〈xW5时，求y乙关于x的函数解析式;

（3）当乙与A地相距240km时，甲与A地相距220km.

【考点】一次函数的应用.

【分析】（1）根据图象确定出甲的路程与时间，即可求出速度；

（2）利用待定系数法确定出y乙关于x的函数解析式即可；

（3）求出乙距A地240km时的时间，乘以甲的速度即可得到结果.

【解答】解：⑴根据图象得:3604-6=60km/h；

(2)当1WXW5时，设y『kx+b,

fk+b=0

把（1,0）与（5,360）代入得:

I5k+b=360

解得:k=90,b=-90,

则y乙=90x-90；

（3）令y乙=240,得到x=?,

则甲与A地相距60X*220km,

故答案为:（1）60；（3）220

【例题2】（2016•黑龙江龙东•8分）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整

个行程中，两车离开A城的距离y与t的对应关系如图所示：

（1）A、B两城之间距离是多少千米？

（2）求乙车出发多长时间追上甲车？

（3）直接写出甲车出发多长时间，两车相距20千米.

【考点】一次函数的应用.

【分析】（1）根据图象即可得出结论.

（2）先求出甲乙两人的速度，再列出方程即可解决问题.

（3）根据y甲-y4=20或y乙-y甲=20,列出方程即可解决.

【解答】解：（1）由图象可知A、B两城之间距离是300千米.

（2）设乙车出发x小时追上甲车.

由图象可知，甲的速度=缪=60千米/小时.

乙的速度=乎=75千米/小时.

4

由题意（75-60）x=60

解得x=4小时.

/5k+b=0税徨心=60

(3)设y甲=kx+b,则Lok+b=3OO解得［=-300'

.*.yMI=60X-300,

则雷建。。=100

设y乙=k'x+b'解得

=-600,

Ayz.=100x-600,

•.♦两车相距20千米,

Ay甲-y乙=20或y乙-y甲=20或y单=20或y甲=280,

即60x-300-=20或100x-600-(60x-300)=20或60x-300=20或60x-

300=280

解得x=7或8或号或空，

V7-5=2,8-5=3,*-5=春，学-----*=萼

333J（）3

...甲车出发2小时或3小时或卷小时或警小时，两车相距20千米.

【例题3】（2016•陕西）昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加生科

技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距

西安的距离y（千米）与他离家的时间x（时）之间的函数图象.

根据下面图象，回答下列问题：

（1）求线段AB所表示的函数关系式；

（2）已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？

【考点】一次函数的应用.

【分析】（1）可设线段AB所表示的函数关系式为：y=kx+b,根据待定系数法列

方程组求解即可；

（2）先根据速度=路程+时间求出小明回家的速度，再根据时间=路程+速度，

列出算式计算即可求解.

【解答】解：（1）设线段AB所表示的函数关系式为：y=kx+b,

产192

依题意有

12k+b=0

fk=-96

解得

lb=192

故线段AB所表示的函数关系式为：y=-96x+192（0WxW2）；

(2)12+3-(7+6.6)

=15-13.6

=1.4（小时），

1124-1.4=80（千米/时），

4-80

=804-80

=1（小时），

3+1=4（时）.

答：他下午4时到家.

中考热点

考点1：（2017湖北咸宁）小慧根据学习函数的经验，对函数y=|x-1|的图象与

性质进行了探究.下面是小慧的探究过程，请补充完整：

（1）函数y=lx-11的自变量x的取值范围是任意实数；

（2）列表，找出y与x的几组对应值.

X•••-10123・・・

y・・・b1012・・・

其中，b=2；

（3）在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中对对应值为坐标的点，并画出该

函数的图象；

（4）写出该函数的一条性质：函数的最小值为0（答案不唯一）.

【考点】F5：一次函数的性质；F3：一次函数的图象.

【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论；

（2）把x=-1代入函数解析式，求出y的值即可；

（3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；

（4）根据函数图象即可得出结论.

【解答】解：（1）..飞无论为何值，函数均有意义，

.♦•X为任意实数.

故答案为：任意实数；

（2）..•当x=-1时，y=|-1-1|=2,

/.b=2.

故答案为：2；

（3）如图所示；

（4）由函数图象可知，函数的最小值为0.

故答案为：函数的最小值为0（答案不唯一）.

考点2：（2017湖北咸宁）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6

元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营

销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成

图象，图中的折线0DE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关

系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件.

（1）第24天的日销售量是330件,日销售利润是660元.

（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利

润是多少元？

【考点】FH：一次函数的应用.

【分析】（1）根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5

件，即可求出第24天的日销售量，再根据日销售利润=单件利润义日销售量即可

求出日销售利润；

（2）根据点D的坐标利用待定系数法即可求出线段0D的函数关系式，根据第

22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出线段DE

的函数关系式，联立两函数关系式求出交点D的坐标，此题得解；

（3）分0WxW18和18VxW30,找出关于x的一元一次不等式，解之即可得出

x的取值范围，有起始和结束时间即可求出日销售利润不低于640元的天数，再

根据点D的坐标结合日销售利润=单件利润义日销售数，即可求出日销售最大利

润.

【解答】解：（1）340-（24-22）X5=330（件），

330X（8-6）=660（元）.

故答案为:330；660.

（2）设线段0D所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx,

将（17,340）代入y=kx中,

340=17k,解得:k=20,

，线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=20x.

根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y=340-5（x-22）=

-5x+450.

联立两线段所表示的函数关系式成方程组，

得（尸2°x,解得：归:

y=-5x+450ly=360

交点D的坐标为（18,360）,

；.y与x之间的函数关系式为y=f个工2

[-5x+450（18<x430）

（3）当0WxW18时，根据题意得：（8-6）X20x^640,

解得：x216；

当18VxW30时，根据题意得：（8-6）X（-5x+450）2640,

解得:x<26.

.•.16WxW26.

26-16+1=11（天），

日销售利润不低于640元的天数共有11天.

•••点D的坐标为（18,360）,

•••日最大销售量为360件，

360X2=720（元），

试销售期间，日销售最大利润是720元.

考点3：（2017•新疆）某周日上午8：00小宇从家出发，乘车1小时到达某活动

中心参加实践活动.11：00时他在活动中心接到爸爸的，因急事要求他在12：

00前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/小时的平均速度快步

返回.同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立

即保持原来的车速原路返回.设小宇离家x（小时）后，到达离家y（千米）的

地方，图中折线OABCD表示y与x之间的函数关系.

（1）活动中心与小宇家相距22千米,小宇在活动中心活动时间为2小时,

他从活动中心返家时，步行用了0.4小时;

（2）求线段BC所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不必写出

x所表示的范围）；

（3）根据上述情况（不考虑其他因素），请判断小宇是否能在12：00前回到家，

并说明理由.

【考点】FH：一次函数的应用.

【分析】（1）根据点A、B坐标结合时间=路程小速度，即可得出结论；

（2）根据离家距离=22-速度义时间，即可得出y与x之间的函数关系式；

（3）由小宇步行的时间等于爸爸开车接到小宇的时间结合往返时间相同，即可

求出小宇从活动中心返家所用时间，将其与1比较后即可得出结论.

【解答】解：（1）•.•点A的坐标为（1,22）,点B的坐标为（3,22）,

...活动中心与小宇家相距22千米，小宇在活动中心活动时间为3-1=2小时.

（22-20）4-5=0.4（小时）.

故答案为:22；2；0.4.

（2）根据题意得：y=22-5（x-3）=-5x+37.

（3）小宇从活动中心返家所用时间为：0.4+0.4=0.8（小时），

V0.8<1,

.•.所用小宇12：00前能到家.

【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计

算；（2）根据离家距离=22-速度X时间，找出y与x之间的函数关系式；（3）

由爸爸开车的速度不变，求出小宇从活动中心返家所用时间.

考点4：（2017山东烟台）数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现

该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度-20℃时，制冷停止，此后冷柜中的

温度开始逐渐上升，当上升到-4C时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜

自动制冷至-20C时，制冷再次停止，…，按照以上方式循环进行.

同学们记录了44min内15个时间点冷柜中的温度y（℃）随时间x（min）的变

①当4WxV20时，写出一个符合表中数据的函数解析式y=-世;

X

②当20WxV24时，写出一个符合表中数据的函数解析式y=-4x+76；

（2）a的值为-12；

（3）如图，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余

【分析】⑴①由x・y=-80,即可得出当4<x<20时，y关于x的函数解析式；

②根据点（20,-4）、（21,-8）,利用待定系数法求出y关于x的函数解析式，

再代入其它点的坐标验证即可；

（2）根据表格数据，找出冷柜的工作周期为20分钟，由此即可得出a值；

（3）描点、连线，画出函数图象即可.

【解答】解：（1）①'FX（-20）=-80,8X（-10）=-80,10X（-8）=

-80,16X(-5)=-80,20X(-4)=-80,

_80

.•.当4WxV20时,y--—•

故答案为：y=------.

x

②当20WxV24时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b,

将(20,-4)、(21,-8)代入y=kx+b中,

r

20k+b=-4,解得:fk=-4

21k+b=-8lb=76

...止匕时y=-4x+76.

当x=22时，y=-4x+76=-12,

当x=23时，y=-4x+76=-16,

当x=24时,y=-4x+76=-20.

，当20WxV24时，y=-4x+76.

故答案为:y=-4x+76.

（2）观察表格，可知该冷柜的工作周期为20分钟，

.•.当x=42时,与x=22时,y值相同,

，a=-12.

故答案为：-12.

（3）描点、连线，画出函数图象，如图所示.

达标测试

一、选择题

1.甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的

函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）

A.甲、乙两人进行1000米赛跑

B.甲先慢后快，乙先快后慢

C.比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等

D.甲先到达终点

2.（2017春•韶关期末）如图1,在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、

CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x,ZSABP的面积为y,如果y关

于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长是（）

A.18B.20C.22D.26

3.（2017春•韶关期末）对于一次函数y=2x+4,下列结论中正确的是（）

①若两点A（X）,y）B（x2,y2）在该函数图象上，且x^Vx2,则yVy2.

②函数的图象不经过第四象限.

③函数的图象与x轴的交点坐标是（0,4）.

④函数的图象向下平移4个单位长度得y=2x的图象.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2015•鄂州，第9题3分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个

行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）

之间的函数关系如图所示.则下列结论：

①A,B两城相距300千米；

②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；

③乙车出发后2.5小时追上甲车；

④当甲、乙两车相距50千米时，土=或11

4

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

5.把直线y=-x-1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为.

6.（2015•甘肃庆阳，第18题，3分）如图，定点A（-2,0）,动点B在直线

y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为.

7.（2017春•韶关期末）如图，一次函数y=kx+b与y=-x+5的图象的交点坐标

为（2,3）,则关于x的不等式-x+5>kx+b的解集为.

8.正方形OABG、AAB2c2、A2A3B3C3,按如图放置，其中点4、卜八As在x轴的

正半轴上，点3、B?、B3在直线y=-x+2上，则点As的坐标为.

9.一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A,B两种型号，单个盒子的容量和价

格如表.现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A型号盒子正做

促销活动：购买三个及三个以上可一次性返还现金4元，则购买盒子所需要最少

费用为元.

型号AB

单个盒子容量（升）23

单价（元）56

三、解答题

10.（2017贵州）某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼

重新装修，现招用了甲、乙两个工程队.若两队合作，8天就可以完成该项工程；

若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成.

（1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？

（2）甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，要求在12天内将学生公寓

楼装修完成，若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求需支付的总工资w

（元）与甲队工作天数m（天）的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小

值.

11.（2016•江西•6分）如图，过点A（2,0）的两条直线L，k分别交y轴

于点B,C,其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知

（1）求点B的坐标；

（2）若AABC的面积为4,求直线L的解析式.

12.（2016•四川攀枝花）某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制

度.若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；

若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费.小明家3月份用

水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元.

（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？

（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；

（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？

13.（2017齐齐哈尔）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越

来越多的人再次选择自行车作为出行工具，小军和爸爸同时从家骑自行车去图书

馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速

度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分

钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：

（1）a=10,b=15,m=200；

（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆

的距离；

（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距

100米？

（4）若小军的行驶速度是v米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、

图书馆两地），请直接写出v的取值范围.

答案与解

【知识归纳】

一、一次函数和一元一次方程的关系：解；横坐标.

二、一次函数和一元一次不等式的关系

为kx+b>0,其解为x>x()；为kx+bVO,其解为xVx().

②kex+bzAkix+b”其解为x>x()；当y?=%4+包的图象在y=-/+仇下

方的部分时，对应不等式为Lx+b'kix+bi，其解为x<xp.

二、一次函数的实际应用

(1)通过图象获取信息：横轴、纵轴

(2)一次函数图象的应用：射线、线段或折线等等.

【基础检测答案】

1.如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速

向右平移，到图③的位置停止运动.如果设运动时间为x,大小正方形重叠部分

的面积为y,则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()

【分析】小正方形运动过程中，y与x的函数关系为分段函数，即当OWxV完全

重叠前，函数为为增函数；当完全重叠时，函数为平行于x轴的线段；当不再完

全重叠时，函数为为减函数.即按照自变量x分为三段.

【解答】解：依题意，阴影部分的面积函数关系式是分段函数，

面积由“增加一不变一减少”变化.

故选：C.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象.关键是理解图形运动过程中的几个分

界点.本题也可以通过分析s随x的变化而变化的趋势及相应自变量的取值范围,

而不求解析式来解决问题.

2.(2017山东聊城)端午节前夕，在东昌湖举行第七届全民健身运动会龙舟比

赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y(m)与时间x(min)之

间的函数关系如图所示，下列说法错误的是()

A.乙队比甲队提前0.25min到达终点

B.当乙队划行110m时，此时落后甲队15m

C.0.5min后，乙队比甲队每分钟快401n

D.自1.5min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到

255m/min

【考点】E6：函数的图象.

【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，根据图

象上特殊点的意义即可求出答案.

【解答】解：A、由横坐标看出乙队比甲队提前0.25min到达终点，故A不符合

题意；

B、乙AB段的解析式为y=240x-40,当y=110时，x*；甲的解析式为y=200x,

O

当乂=^1■时，y=125,当乙队划行110m时，此时落后甲队15m,故B不符合题意；

O

C、乙AB段的解析式为y=240x-40乙的速度是240m/min；甲的解析式为y=200x,

甲的速度是200m/min,0.5min后，乙队比甲队每分钟快40m,故C不符合题意；

D、甲的解析式为y=200x,当x=1.5时，y=300,甲乙同时到达士（2.25-1.5）

=266m/min,故D符合题意；

故选：D.

3.（2017乌鲁木齐）一次函数y=kx+b（k,b是常数，kWO）的图象，如图所示，

则不等式kx+b>0的解集是（）

A.x<2B.x<0C.x>0D.x>2

【考点】FD：一次函数与一元一次不等式；F3：一次函数的图象.

【分析】从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式

kx+b>0的解集.

【解答】解：函数y=kx+b的图象经过点（2,0）,并且函数值y随x的增大而减

小，

所以当xV2时，函数值大于0,即关于x的不等式kx+b>0的解集是xV2.

故选A.

4.（2017湖北随州）如图，NAOB的边0B与x轴正半轴重合，点P是0A上的

一动点，点N（3,0）是0B上的一定点，点M是ON的中点，ZA0B=30°,要使

PM+PN最小，则点P的坐标为（~|，亨）.

【考点】PA：轴对称-最短路线问题；D5：坐标与图形性质.

［分析］作N关于0A的对称点N',连接N'M交0A于P,则此时，PM+PN最小，

由作图得到ON=ON',NN'0N=2ZA0N=60°,求得△NON'是等边三角形，根据

等边三角形的性质得到N'M±ON,解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：作N关于0A的对称点N',连接MM交0A于P,

则此时，PM+PN最小,

•；0A垂直平分NN',

.*.ON=ON,,NN'0N=2ZA0N=60°,

.,.△NON'是等边三角形，

•.•点M是ON的中点，

.•.N'M±ON,

•.,点N（3,0）,

.\0N=3,

•.•点M是ON的中点,

.\OM=1.5,

.•.PM=叵

2

...p（号，返）.

22

故答案为：T，¥）.

22

5.（2017宁夏）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种

商品的进价相同，具体情况如下表所示：

购进数量（件）购进所需费用（元）

AB

第一次30403800

第二次40