2023届江苏省苏州市吴中学、吴江、相城区中考一模数学试题含解析

2023年中考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）A．线段EF的长逐渐增长 B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长始终不变 D．线段EF的长与点P的位置有关2．如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD=4，连接AC，OD,若∠A与∠DOB互余，则EB的长是（）A．2 B．4 C． D．23．下列说法正确的是（）A．“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有一次正面朝上C．“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近4．下列运算正确的是（）A． B．C． D．5．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝.其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．16．如图，AD∥BC，AC平分∠BAD，若∠B＝40°，则∠C的度数是（）A．40° B．65° C．70° D．80°7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为（）A．60nmile B．60nmile C．30nmile D．30nmile8．﹣6的倒数是（）A．﹣16 B．19．一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是()A．8，6B．7，6C．7，8D．8，710．如图，点P（x，y）（x＞0）是反比例函数y=（k＞0）的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A，若△OPA的面积为S，则当x增大时，S的变化情况是（）A．S的值增大 B．S的值减小C．S的值先增大，后减小 D．S的值不变二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为_____cm1．（结果保留π）12．若a是方程的解，计算：=______.13．若两个相似三角形的面积比为1∶4，则这两个相似三角形的周长比是__________．14．如图，正方形ABCD内有两点E、F满足AE=1，EF=FC=3，AE⊥EF，CF⊥EF，则正方形ABCD的边长为_____．15．直线y=2x＋1经过点(0，a)，则a=________．16．有一枚质地均匀的骰子，六个面分别表有1到6的点数，任意将它抛掷两次，并将两次朝上面的点数相加，则其和小于6的概率是______．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BC＝EF，求证：AB=DE18．（8分）如图，在中，，是边上的高线，平分交于点，经过，两点的交于点，交于点，为的直径．（1）求证：是的切线；（2）当，时，求的半径．19．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于第二、第四象限内的A、B两点，与轴交于点C，过点A作AH⊥轴，垂足为点H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（，-2）.求该反比例函数和一次函数的解析式；求△AHO的周长.20．（8分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为．求口袋中黄球的个数；甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；21．（8分）如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC＝30°，∠APB＝60°．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长．22．（10分）如图1，在圆中，垂直于弦，为垂足，作，与的延长线交于.（1）求证：是圆的切线；（2）如图2，延长，交圆于点，点是劣弧的中点，，，求的长.23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝﹣x+b过点C．求m和b的值；直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动．设点P的运动时间为t秒．①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值；②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．24．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥AB于点E．（1）依题意补全图形；（2）猜想AE与CD的数量关系，并证明．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解析】试题分析：连接AR，根据勾股定理得出AR=的长不变，根据三角形的中位线定理得出EF=AR，即可得出线段EF的长始终不变，故选C．考点：1、矩形性质，2、勾股定理，3、三角形的中位线2、D【解析】

连接CO，由直径AB平分弦CD及垂径定理知∠COB=∠DOB，则∠A与∠COB互余，由圆周角定理知∠A=30°，∠COE=60°，则∠OCE=30°，设OE=x,则CO=2x,利用勾股定理即可求出x，再求出BE即可.【详解】连接CO，∵AB平分CD，∴∠COB=∠DOB，AB⊥CD，CE=DE=2∵∠A与∠DOB互余，∴∠A+∠COB=90°，又∠COB=2∠A，∴∠A=30°，∠COE=60°，∴∠OCE=30°，设OE=x,则CO=2x,∴CO2=OE2+CE2即(2x)2=x2+(2)2解得x=2，∴BO=CO=4，∴BE=CO-OE=2.故选D.【点睛】此题主要考查圆内的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理及勾股定理.3、D【解析】

根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案．【详解】解：A.“明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性较大，故A不符合题意；B.“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每次抛正面朝上的概率都是，故B不符合题意；C.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票有可能中奖．故C不符合题意；D.“抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．4、D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的法则逐项进行计算即可得.【详解】A.，故A选项错误，不符合题意；B.，故B选项错误，不符合题意；C.，故C选项错误，不符合题意；D.，正确，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的运算法则是解题的关键.5、B【解析】试题分析：由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2=，于是OA•OB=﹣，则可对④进行判断．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，而a＜0，∴＜0，所以②错误；∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，所以③正确；设A（x1，0），B（x2，0），∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1•x2=，∴OA•OB=﹣，所以④正确．故选B．考点：二次函数图象与系数的关系．6、C【解析】

根据平行线性质得出∠B+∠BAD＝180°，∠C＝∠DAC，求出∠BAD，求出∠DAC，即可得出∠C的度数．【详解】解：∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝40°，∴∠BAD＝140°，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAD＝70°，∵A∥BC，∴∠C＝∠DAC＝70°，故选C．【点睛】本题考查了平行线性质和角平分线定义，关键是求出∠DAC或∠BAC的度数．7、B【解析】

如图，作PE⊥AB于E．在Rt△PAE中，∵∠PAE=45°，PA=60nmile，∴PE=AE=×60=nmile，在Rt△PBE中，∵∠B=30°，∴PB=2PE=nmile．故选B．8、A【解析】解：﹣6的倒数是﹣169、D【解析】试题分析：根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．把这组数据从小到大排列：3，6，7，7，8，8，8，8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8；最中间的数是7，则这组数据的中位数是7考点：（1）众数；（2）中位数．10、D【解析】

作PB⊥OA于B，如图，根据垂径定理得到OB=AB，则S△POB=S△PAB，再根据反比例函数k的几何意义得到S△POB=|k|，所以S=2k，为定值．【详解】作PB⊥OA于B，如图，则OB=AB，∴S△POB=S△PAB．∵S△POB=|k|，∴S=2k，∴S的值为定值．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、【解析】试题分析：根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．试题解析：如图所示：连接BO，CO，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CO=1，∠ABC=110°，△OBC是等边三角形，∴CO∥AB，在△COW和△ABW中，∴△COW≌△ABW（AAS），∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC=．考点：正多边形和圆．12、1【解析】

根据一元二次方程的解的定义得a2﹣3a+1=1，即a2﹣3a=﹣1，再代入，然后利用整体思想进行计算即可．【详解】∵a是方程x2﹣3x+1=1的一根，∴a2﹣3a+1=1，即a2﹣3a=﹣1，a2+1=3a∴故答案为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．也考查了整体思想的运用．13、【解析】试题分析：∵两个相似三角形的面积比为1：4，∴这两个相似三角形的相似比为1：1，∴这两个相似三角形的周长比是1：1，故答案为1：1．考点：相似三角形的性质．14、【解析】分析：连接AC，交EF于点M，可证明△AEM∽△CMF，根据条件可求得AE、EM、FM、CF，再结合勾股定理可求得AB．详解：连接AC，交EF于点M，∵AE丄EF，EF丄FC，∴∠E=∠F=90°，∵∠AME=∠CMF，∴△AEM∽△CFM，∴，∵AE=1，EF=FC=3，∴，∴EM=，FM=，在Rt△AEM中，AM2=AE2+EM2=1+=，解得AM=，在Rt△FCM中，CM2=CF2+FM2=9+=，解得CM=，∴AC=AM+CM=5，在Rt△ABC中，AB=BC，AB2+BC2=AC2=25，∴AB=，即正方形的边长为．故答案为：．点睛：本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质，构造三角形相似利用相似三角形的对应边成比例求得AC的长是解题的关键，注意勾股定理的应用．15、1【解析】

根据一次函数图象上的点的坐标特征，将点（0，a）代入直线方程，然后解关于a的方程即可．【详解】∵直线y=2x+1经过点（0，a），∴a=2×0+1，∴a=1．故答案为1．16、【解析】

列举出所有情况，看两个骰子向上的一面的点数和小于6的情况占总情况的多少即可．【详解】解：列表得：

两个骰子向上的一面的点数和小于6的有10种，

则其和小于6的概率是，

故答案为：．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件树状图法适用于两步或两步以上完成的事件解题时还要注意是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．三、解答题（共8题，共72分）17、证明见解析．【解析】证明：∵AC//DF∴∠C=∠F在ΔACB和ΔDFE中∴△ABC≌△DEF（SAS）18、（1）见解析；（2）的半径是.【解析】

（1）连结，易证，由于是边上的高线，从而可知，所以是的切线．（2）由于，从而可知，由，可知：，易证，所以，再证明，所以，从而可求出.【详解】解：（1）连结．∵平分，∴，又，∴，∴，∵是边上的高线，∴，∴，∴是的切线.（2）∵，∴，，∴是中点，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，在中，，∴，∴，，而，∴，∴，∴的半径是.【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识的能力．19、（1）一次函数为，反比例函数为；（2）△AHO的周长为12【解析】分析：（1）根据正切函数可得AH=4，根据反比例函数的特点k=xy为定值，列出方程，求出k的值，便可求出反比例函数的解析式；根据k的值求出B两点的坐标，用待定系数法便可求出一次函数的解析式．（2）由（1）知AH的长，根据勾股定理，可得AO的长，根据三角形的周长，可得答案.详解：（1）∵tan∠AOH==∴AH=OH=4∴A（-4，3），代入，得k=-4×3=-12∴反比例函数为∴∴m=6∴B（6，-2）∴∴=，b=1∴一次函数为（2）△AHO的周长为：3+4+5=12点睛：此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式．20、(1)1;(2)【解析】

（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据从中任意摸出一个球是红球的概率为和概率公式列出方程，解方程即可求得答案；（2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；【详解】解：（1）设口袋中黄球的个数为个，根据题意得：解得：=1经检验：=1是原分式方程的解∴口袋中黄球的个数为1个（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况∴两次摸出都是红球的概率为：.【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．21、（1）见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）连接OB，证PB⊥OB．根据四边形的内角和为360°，结合已知条件可得∠OBP=90°得证；（2）连接OP，根据切线长定理得直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得结果．（1）连接OB．∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=30°．∴∠AOB=80°-30°-30°=20°．∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°．∵四边形的内角和为360°，∴∠OBP=360°-90°-60°-20°=90°．∴OB⊥PB．又∵点B是⊙O上的一点，∴PB是⊙O的切线．（2）连接OP，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=，∠APB=30°．在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，∴OP=2OA=2×2=1．∴PA=OP2-OA2=2∵PA=PB，∠APB=60°，∴PA=PB=AB=2．考点：此题考查了切线的判定、切线长定理、含30度角的直角三角形的性质点评：要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．22、（1）详见解析；（2）【解析】

（1）连接OA，利用切线的判定证明即可；

（2）分别连结OP、PE、AE，OP交AE于F点，根据勾股定理解答即可．【详解】解：（1）如图，连结OA，

∵OA=OB，OC⊥AB，

∴∠AOC=∠BOC，

又∠BAD=∠BOC，

∴∠BAD=∠AOC

∵∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠BAD+∠OAC=