桥梁结构的有限元法

桥梁结构理论长安大学贺拴海桥梁结构及计算培训讲义

第1篇桥梁结构整体分析

桥梁结构分析的有限元法梁板式结构分析的有限条法能量原理及组合结构分析的变形协调法变截面连续梁、拱式结构分析的子结构法桥梁结构的材料几何非线性分析

桥梁结构分析的有限元法桥梁结构有限元法的分析过程桁架桥结构分析梁式桥结构分析刚架桥结构分析薄壁箱梁桥结构分析复杂组合截面桥梁结构分析的虚拟层合单元小结本章参考文献j

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1850年矩阵符号问世，1956年Turner等人将刚架位移法推广应用到弹性力学的平面问题，并在分析飞机结构获得成功现代有限元法在各个领域都得到广泛应用:1.由弹性力学平面问题扩展到空间问题和板壳问题：拱坝、涡轮叶片、飞机、船体及大型桥梁2.由平衡问题扩展到稳定问题与动力问题：结构地震、抗风与波浪力、动力反应3.由弹性问题扩展到弹塑性与粘弹性问题、土力学与岩石力学问题，疲劳与脆性断裂问题4.由结构计算问题扩展到结构优化设计问题5.由固体力学扩展到流体力学、渗流与固结理论、热传导与热应力问题（焊接残余应力、原子反应堆结构的热应力）、磁场问题（感应电动机的磁场分析）以及建筑声学与噪音问题6.由工程力学扩展到力学的其它领域（冰川与地质力学、血管与眼球力学等）传统的杆单元、板单元、块单元、壳单元不断完善，索单元、虚拟层合单元等使得复杂结构分析得以简化.本章--简述有限元法的基本思路汇总出桥梁结构分析中的常用单元刚度矩阵介绍一种通用三维单元构造方法虚拟层合单元在桥梁结构分析中的应用桥梁结构有限元法的分析过程

结构有限元法的分析过程六个步骤：（1）结构的离散化

将要分析的桥梁结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。（2）选择位移模式

假定位移是坐标的某种函数，称为位移模式或插值函数。根据所选定的位移模式，就可以导出用结点位移表示单元内任一点位移的关系式：贺:例如分析对象是桁架桥时，可以取每根杆件作为一个单元，因为桁架桥本来就是由杆件组成的。但如果分析的对象是连续体，如板桥，那末为了有效地逼近实际的连续体，就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元和结点的数目等问题。贺:选择适当的位移函数是有限单元法分析中的关键。通常选择多项式作为位移模式。其原因是因为多项式的数学运算（微分和积分）比较方便，并且由于所有光滑函数的局部，都可以用多项式逼近。至于多项式的项数和阶次的选择，则要考虑到单元的自由度和解的收敛性要求。一般来说，多项式的项数应等于单元的自由度数，它的阶次应包含常数项和线性项等。这里所谓单元的自由度是指单元结点独立位移的个数。（3）分析单元的力学特性

①利用几何方程，由位移表达式导出用结点位移表示单元应变②利用本构方程，由应变的表达式导出用结点位移表示单元应力

③利用变分原理，建立单元的平衡方程单元坐标系与结构坐标系不一致时，需用坐标转换

单元刚度矩阵是单元特性分析的核心内容（4）建立整个结构的平衡方程

两个方面：一是将各个单元的刚度矩阵，集合成整个物体的整体刚度矩阵；二是将作用于各单元的等效结点力列阵，集合成总的荷载列阵。常用方法---直接刚度法集合所依据的理由是要求所有的相邻的单元在公共结点处的位移相等。整个结构的平衡方程（5）求解未知结点位移

考虑几何边界条件将方程作适当修改之后，根据方程组的特点，选择合适的计算方法，可解出未知位移。（6）计算单元应力及所需要的结果利用已求出的结点位移，计算各单元应力，加以整理得出所要求的结果。

桁架桥结构一般均为空间结构，可按空间杆单元进行分析，每个桁架杆即为一个单元。取结构坐标系（），单元坐标系（）桁架桥结构分析单元坐标系下单元刚度矩阵经运算，在结构坐标系单元刚度矩阵为桁架桥及其单元在初步设计时，可将空间问题简化为平面问题，用平面桁架来计算，如图所示。结点位移列阵结点力列阵单元坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但

结构坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但

平面桁架及其单元多梁式简支、连续及悬臂梁桥，可取板梁组合单元，也可取抗扭梁单元。如图所示，此种梁单元的结点位移列阵为结点力列阵为

梁式桥及其单元梁式桥结构分析单元刚度矩阵梁及其单元

单梁式梁桥，单元坐标系和结构坐标系一致（下图），去掉扭转位移，单元结点位移向量可写为结点力列阵

虑剪切变形影响时，梁单元刚度矩阵

剪切影响系数杆截面沿轴方向的有效抗剪面积材料抗剪模量

分析悬臂梁桥时，会遇到一端铰接另一端刚接的梁单元，单元结点位移列阵

铰接悬臂梁铰接悬臂梁单元单元刚度矩阵结点力列阵刚架桥结构分析空间梁单元是分析刚架桥的常用单元，如图所示，单元两端各有6个自由度结点位移列阵空间梁单元结点力列阵单元刚度矩阵对称考虑剪切变形影响的单元刚弯矩阵对称对、轴方向的剪切影响系数、杆截面沿、轴方向的有效抗剪面积

单梁式刚哨架桥可按平面刚唤架进行分建析，如纺图所示刚架桥及谜其单元在结构坐克标系中，御单元刚度栽矩阵采用同摄样方法办，亦可浅考虑剪示切变形差的影响智。薄壁箱谣梁桥结殖构分析在初等福梁理论咽中，计斑入翘曲灵变形、芽剪力滞涂及畸变位影响后乞，发展啦起来的糕薄壁梁仪解析理拉论能合惕理地反彻映薄壁欧箱梁结困构的固钻有变形绣特性。马本节以右单箱室月对称截兴面箱形贩梁为对袜象，建西立结构壳空间分镇析的刚杯度矩阵米及其求雅解方程尘。薄壁箱梁浊断面及分询析采用的革坐标系（1）丝式位移模良型及平赢衡方程节点位移盘列阵——截狱面形心段位置；——截面缩慧剪切中心村位置；——截面虹畸变中心阅位置；——形抵心位置住沿光方向（讲梁轴方笔向）位蛮移；——剪切兄中心位置筝在深方明向（横向层）位移；——剪切疑中心位置休在铁方向（竖洞向）位移粮；——分规别为断尾面绕三船坐标轴浸的角位惧移；——扭编转翘曲若位移；——畸度使角；——墙，舍畸变翘曲疼位移；——上拆翼板最隔大相对嘉剪切转寨角位移堤差。翘曲和扩剪滞位胃移只在梅轴向产翅生，薄仿壁箱梁风的断面摩位移模割型单元平衡光方程由弯曲变喘形分析给枝出由扭转变软形分析给阻出由畸变分卵析给出直线梁的转弯、扭变距形互不耦亩联，可分震别讨论（2）弯曲变草形刚度弯曲变形伶刚度方程单元刚脏度系数——翼黄板局部麻坐标，饱其原点泰除悬臂乱板取在杯悬臂端判外，其余均取佳板中点，低且方向与番轴泛一致—翼轰板修正系姓数，可根特据试验或广解析取得除平面夫内阿的力素外织，在平面各力素尊如下（3）己扭转刊变形刚声度扭转变虑形刚度大方程刚度系疮数伏为（4）岔畸变刚厉度复杂组合哨截面桥梁乓结构分析运的虚拟层另合单元上世纪9烂0年代初脱，浙江大雾学徐兴教膝授从8-底20节点科三维实体还等参元出奴发，直接彩引进基本晓假定，构泽造了一系栗列退化的遇单元，形誓成了退化哀单元系列内：中厚板单阶元Kir割chh协off排板单元膜单元空间梁胃单元平面梁单蹈元等它们均袄是协调单元，单元自冠由度数与砍已有相应旷的单元相姑同。随其突出的肆优点是：恭单元马列式简单渠划一，判各类退化片单元间及炭实体单元该连结十分厦方便后来发慎展了虚拟层合齐单元对于层合结托构（钢陡与co诊ncr北ete谈）复杂的箱伏形、T形彻结构的总体复分析十引分简单约有效，帅计算精乔度能够剃满足工夏程需要四。大大较提高了妥复杂组反合结构常的静、芳动力和传非线性蒸分析的带计算效四率。1）经典的同三维实矩体等参送元一般的实趣际问题都掘是空间问成题，解决问鲁题的方法颗就是建立用三维陕坐标描涂述的空悬间模型进行求村解。描邪述空间邻问题最婶简单的增单元是辽四面体股，但是遗一个空轿间区域骗分割一诞些四面定体小区妄域非常立困难，纳甚至有笼些使人违难以想没象，如岩果用六面体涌来分割空口间区域就能清楚赖地区分各捏个六面体选之间的相皆互关系，诉因此用六型面体来进多行有限元呈分割是最切方便的。导空间三维扁等参元常名用的是八耳节点～二迅十节点的深六面体，雹其中八节厅点六面体健的形状完书全由其八遍节点的位秤置或坐标球所决定，烟其棱边是歼直线，其扶侧面是由米两族直线腔所构成的转直纹面，并所以其计坛算精度和必逼近物体仙的弯曲边喷界有时显竟得不够理固想，二十节点亦六面体空匹间等参元能很好地牧满足计算瓶精度和逼瞧近物体的己弯曲边界呢的要求，危对空间问争题通常是蚕最有效的肯单元，而疗十二节点唉、十六节凯点六面体迫空间等参装元是空间展八节点等腔参元在一寸个或两个吓方向提高默了精度8-2胆0结点午等参元也母单元8-2罗0结点幼等参数畅单元实际单元概坐标与母烘单元坐标直之间的关扯系可表示同为形函数记三维等倚参元的节全点位移矢帐量为那么单绞元内任渡一点的层位移可悲表示为按几何糊关系可棚得应变优计算式有下列关欲系Jaco北bi矩阵本构关系弹性矩别阵三维等参眨元的刚度俘矩阵可分秒成跳个子矩阵尊，典型的牵子矩阵单元体耕积力悄等效芒到节点城上的等硬效节点叮力为将单元的给表面力Jaco制bi行列型式的值等效到喂节点上虽的等效叙节点力翅为（2）龙退化的涝实体单纺元经典的板票壳单元都扣是根据板壳理论构造出陕来的，办而经典枝板壳理性论则是蚀一般的辣三维弹爷性理论而根据板填壳结构煌特殊的袍几何形电状引入雹一定的仔简化假征定后得投到的，竿因此可糖以认为盼板壳理汗论是一附种特定网条件下焦简化的三维弹性菊理论。从三啦维弹性猪理论直毅接导出再的是三座维实体淹等参元冤。由此绢不难看偷出，板修壳单元软其实是翼一种特祖定条件迫下的简垂化的三输维实体糊等参元率，只要在三维实童体等参元晕中引入必键要的简化袜的假定即助可发展成丹由三维实贴体等参元招退化的板哗壳单元，如图会所示，蛾称之为退化的实岭体单元。三维弹性理论三维弹性理论薄板壳理论厚板假定薄板单元三维实体等参元中厚板壳单元薄板假定单元构造单元构造单元构造

板壳理论与板壳单元厚板假定薄板假定（a）胶相对位仗移的引架入如图所示窗的16节呆点板壳单尤元，每个选节点有扎、礼、介三恨个自由度锈，共48脖个自由度骑。单元坐愁标和位移庸插值形函弊数和三维愁实体单元宽相同。考迈虑到扁平晶单元会使贸刚度矩阵洪病态，采照用R.D箩.Woo倒d的建议幼，用相对俱位移的办丧法克服。矛记16节酸点三维等衬参元的节喘点位移矢俗量为16节坡点板壳决单元引入相柴对位移荡后，单沃元节点高位移矢诸量改为…………党…………治……….担.（b）R熔eiss乖ner厚丹板单元板的弹械性理论昌是三维己弹性理稻论的退凳化形式四，我们未在写出粮Rei么ssn盯er板发的弹性见本构关锣系时仍垦保留三魄维弹性视理论的初形式，曾为方便甲起见，拿取坐标命方弄向为板已法线方究向，根烂据Re树iss衰ner耳板理论倘的假定受，君，因高此可以粪忽略逢不计，昌有即现为史不独立俊的应变蒙分量，蛋对上式镇沿厚度粗方向积愚分，得虏相对挠库度假定约束疮后16谈节点的单戏元自由度唉数从48摸降至40劈燕，与8节拦点40自尸由度厚壳侦单元相同超，但在所有自由逢度中没有撑转角自由位度而只有称位移自由船度，这样笔产生的挖单元，醋可以方溉便地与塔其它单屯元连接签，而且昏有限元怪列式更截加简单娱统一。如果引愉入中面岁不伸长遗的假定又将约惠束窜自旨由度，星单元变悬成16闹节点2锤4自由竭度厚板有单元，险与8节今点24陈自由度于厚板元颗相同。激为了与粱三维单亿元的形邮式一致典，温和的约束窗也可用退罚系数晌的方法码来实现走。在三维棍弹性应纤力应变路关系中拼引入一膨个罚系反数筋，当贯计算刚沃度矩阵遵时，槽取一大狸数，一蔑般可取秩100明0，使胀得财，当计蔑算应力幅时，取呢=1长或勇=0鼻，使这样在三芳维弹性理饭论中，引即入了Re萍issn邀er板的螺假定，将利三维弹性篇理论退化丑成Rei拿ssne多r板理论锦，具体的是Reis遇sner扮板的应力匀应变关系辰为（c）胳Kir岗chh趣off应板单元根据Ki浮rchh堆off板锈理论假定禁，更，即薄板刮横向的剪碑切刚度无们限大，为扶此对相应尚的刚度系门数进行修摔正，即乘捕以一个大布数=100梯0。此时庙应力应变锦关系修正目为其它约谜束处理听同Re矮iss酷ner砍板（d）薄卫膜单元根据类鱼似分析袭如果引部入约束可得到1机6节点2姿4自由度饼膜单元（e）疤单元刚忽度矩阵上述分析锣表明，通勾过修正应胞力-应变躁关系和约尺束一部分猜相对位移咏可引入R超eiss仿ner板棚、Kir性chho想ff板和脸膜的理论障的基本假妙定。简单柱比较可见泛Reis解sner烂板、Ki船rchh面off板沃和膜结构精的应力-烤应变关系榜扩阶后与它三维弹性麦问题相似屿，因此板主、膜单元董的元素矩拿阵和三维巾块体等参护元元素矩走阵的具有桑完全相同茫的形式。（f）报相对位峰移引入惩后刚度值矩阵的极修改考虑如犯下形式会的单元惨平衡方黄程作变换则单元平鸦衡方程变屯为整理得对于一进般的壳疤问题，振上述推领导在以盐法向唤方向色的局部腔坐标系易内仍然跨成立。银适当的眼坐标变古换可把崖上述推塑导推广岸到一般堡壳单元龟，也可猾以得到菌一系列倍的正交颠曲线坐晃标系下贵的壳单砍元。采层用类似毫的方法稼，可以达从平面俩单元退汇化得到狂平面梁或单元。（3）三维梁徐单元在12-树20节点湿三维等参玻单元中，着引入梁的扫基本假设低，便可得职到三维梁石单元。它魄可以用以娘分析各种驻截面形状票（包括变搭截面的）亮的空间梁三的弯曲、她扭转，也割能很方便障地与三维猴块体单元亮、三维板坡壳单元连心接，以解浴决复杂桥全梁结构分茧析问题。根据梁手的几何盆特点引拣入以下滨假定：①横向正晌应力相对倾于其他应蹄力是小量脊，可以忽沾略。即②由假构设①可尝知贴，棕不独邻立，东，兔也不独枕立，且疤为小量烦，也应贿约束掉解。③如果不协考虑剪切美变形，则咱还有为梁的轴馅线方向。嘉考虑横向接剪切变形本的梁的应非力—应变饶关系可以哨表示为不考虑横猜向剪切变配形的梁的仗应力—应变关扔系与一维摊梁单元邪比较，晃不考虑帮扭转翘止曲的梁傲单元每花个节点踏有6个咽自由度伯，煤。矩棚形截面井三维梁锦单元，刺每个截等面4个脊节点，必每个节跑点3个愚自由度绕，共押12个塌自由度围。根据士假定令平截面假饥定有共有6个蚕约束方程逮，故每个眉截面也只愧有6个自疼由。与一圈维单元相园同。除应除力——应捐变关系略砌有不同外狡，单元的惯元素矩阵技相同，同篇样可以构专造虚拟的挥层合的梁外单元。可以方便状地分析杆俗件的约束奏扭转问题（4）虚拟层蚁合单元由不同材节料组成的持桥梁结构侦（如结合梁、螺钢筋混凝茄土结构、悦钢管混凝策土、钢箱汉混凝土等）的陵总体分处析是一肺个比较网烦琐的系力学问覆题，目脆前对这舟类结构眼的有限幕元分析城常采用掉两种方缝法（a）用拼三维实体值单元对桥取梁结构进复行细致的支离散。这忠一方法的舟优点是能醉够准确地霉描述桥梁请的几何形锐状，它的乌缺点是庞持大的计算状量对总体鹿分析而言肉是一种浪来费（b）另毒一种方法愿则是把结解构简化为惕杆、梁、伶板、壳或芽它们的组机合结构。象这种方法否的优点是稳计算量少掀，但很难孩描述复杂男桥梁结构茄的实际几障何特性，血特别是变声截面主梁谷和有中空稼的区域箱总梁，因此双其结果往尿往不能反库映桥梁的乐整体特性灶。如何建立念一个能描争述结构几汪何形状、芬受力特征湿的简洁有帮效的有限倍元模型是松整体分析翻的关键。（1）集层合板鞭壳单元在上节烟三维等希参元的件单元刚碎度和单攀元外力属计算公气式中，车我们可低以看出镰这些计藏算都是德在单元遵内的积醒分，如棉果将区家域积分畏用一些遍小区域君（m个）的积喊分之和来棚替代，或抬者说将区企域积分分疾解成一些烛小区域的屠积分，如用上可旅对八节夜点～二攻十节点缸空间三房诚维等参围实体单妻元进行辰改进。太由于同悔一单元录中可能雄包含m个不同掀的材料裁区域，屈单元元伤素矩阵事的积分哨按m个不同饱的材料腥区域分棵区进行砖，为不失一船般性，榜假定每悉种材料谊区域可赤以由8霞-20从个单元扛内节点里描述。鬼每个单涨元内节锈点可由圈该节点夜在母单昼元中的倚坐标表惹示。记舍第浇个材依料区域遣第道个节药点的母弦单元坐辆标为姨，则材椅料区域社中任意拐点的母击单元坐拼标为则单元的突元素矩阵红可改为——材惹料分区搬数——区皮域内坐狱标变换壳矩阵的般Jac屡obi菊行列式粘的值在每个材令料区域采严用高斯积饮分，有——分别棵为一个材岔料区域内碌的各个方撒向的高斯捎积分点与数目；——高屑斯积分烧点的权第系数。（2）虚放拟层合何单元对图所示档的一矩形各箱梁，如沿用传统有束限元分析梅，为了反剖映箱梁有阴中空的区滨域的结构对特征，划率分单元的巡寿必须采用相当多键的实体崇单元来离散铺箱梁结烛构如图押a），紫如果将孙该箱梁克划分成间三个经疮典的二瓶十节点蒙空间三而维等参透元如图丝式b），佳那么箱驳梁的中毛空结构境特征就逐描述不窗出来了闹。ab悬臂矩形毒箱梁用上述的求分区积分恶的办法，像将单元积卧分区域分慕成两个区甲域（a）虚有真实净材料的近区域（番顶板、全底板和奇腹板）（b）记没有材字料的区兆域（中脸空区域套）在这个中乎空区域中炕由于没有旅材料，它析的积分值欢将是零，害因此单元定的积分只铁要在有材得料的区域疑内积分就呼可以了，畅这样就可光以将箱梁汇有中空区治域的复杂烈结构整体远特征反映匆出来了。再进一借步分析足如果有坝材料的协区域（熔顶板、赠底板和炼腹板）居有不同争的材料谋特性（耳弹性模区量、质励量密度屑），还送可以分粉为不同超材料特牺性参数出的区域忽（如顶歼板、底杀板与腹肝板的材古料特性需参数不朴同）的果积分没有材散料的区炮域（中敬空区域号）可以廉认为是拿材料特印性（弹疏性模量岗、质量眉密度）星为“零爬”的材恨料。将单元栗的积分过区域人命为地分茎为几个姻小的积奋分区域都，在每乔个小的烈积分区午域内有宽不同的沃材料特识性参数猾，包括鞠“零”悼材料特静性参数挥，此概野念亦可裂在虚拟段上，无论虚拟此层，还是关虚拟段，弄或者二者霉兼有，均养称为虚似虚层合单元。这就改痛进了原来鸣的空间实婶体单元，樱达到用较黎少段单元吸来描述复管杂空间结屿构整体特猎征的要求之，大大的前提高有限肿元的效率僵。有虚拟内区域单库元示意●——真实节点○——虚拟节点（3）虚拟三易维层合板滴壳单元图为一丝式典型的践虚拟层压合板壳驰单元，该在该单匙元中，曲母单元畏的边界披定义为喂、、茎。疾的表面疫为层合板崭壳底面，奏的第表面为层灯合板壳顶福面，渣和滩之间流分为狐层私，底面、巨每层界面夹和顶面的搁坐标辱由底到顶押依次为震；同孕理，在每割一层中，陡对坐标订也类肢似的边界育及界面定探义。为保徒证在计算脱单元刚度拒矩阵、单腹元质量矩诵阵和应力购时，分层捉或分层段炊高斯积分警简单易行自，必需注鸡意使各层镰或各段的栋界面坐标针值及扰为莫常数，各该单元堵与母单蛇元间的延变换关难系为单元位晕移插值庭模式为单元刚度穷矩阵元素为层数妙，社为段座数为在每层央及层中的棕每一段采哨用高斯积珠分，将上胀式进行线抚性变换（5）桥偷梁结构的窑虚拟层合猾单元建模（a）趁肋梁式先桥常见的跑肋梁式辰桥梁结卫构截面输形式不道外乎T涉型、带袜马蹄T枯形和I唯字形，猴由于所错采用的归材料不田同（如宜组合结慕构）或辱配筋不依同（混右凝土结姨构）而步使得结煤构的承泛载能力蒸特性在晌各个方爪向上并苏不相同位，表现辜出各向头异性的擦特性。穷初步分包析时，制可按上醉、下翼称板（马品蹄）、塞腹板划来层、根词据纵向倾钢筋的枝疏密程迫度划段心；精细坡分析时株，需将敞不同性柳质的材求料单独元划层或办段。（b）箱巴梁桥空心板担或箱梁贺桥是典谋型的带盛有中空茂截面结异构，除盒考虑横甲、纵截啄面上材柄料的不俩同性质漠分层外清，对空抄腔部分兆按虚拟挡层（段桌）进行肌处理（c）服力筋的绸等效连瞎续化力筋（存钢筋或葛预应力欺钢筋）当在混凝猪土中的竞铺设一碰般在某感一个或誓几个确矩定的方样向上，古对结构揪整体分露析而言惯，纵向毒主筋的创影响最群大，横姑向主筋胃对横向汁变形及知内力的叶贡献较讨大，分捏析时，膜可按正堡交异性页材料处嫂理。而寻将离散平分布的梨钢筋按罪下图等网效为连笼续钢筋森层钢筋等效出层小结（1）有限括元分析已塔经渗透到瓣桥梁结构踪蝶分析的各涉个领域，铲其分析精没度亦因所积采用的单详元形式，宣单元数量候和单元划分分情况等驰不同而有林所差异。锯在大型通韵用分析软湾件普级及遇广泛应用偷情况下，众桥梁结构幸建模在有干限元分析好中非常重母要，科学遍合理的建擦模，不仅探可以得到领更为精确裂和期望结息果，而且机可节约计草算时间，忠提高计算锦效率。（2）亿桥梁结交构的恒扛载内力太与施工紧方法关腹系密切右，变形椅、内力交等有累和计、重渠分布等预特点，未同一座惧桥如采双用不同纯的施工林方法，欢其恒载熔内力差挑异很大让，大多葛情况下趋需跟踪内分析，衰活载内你力计算邻时的动续态加载姑非常重丢要，除逗桥梁专嫩用分析吃软件外奋，通用怠软件一戚般不具爆备此功唐能，其姑基本方调法可参悼见文献么。（3）退们化单元及从虚拟层合城单元为桥流梁结构分进析提供了叉全新建模尘思路，具孕有划时代爪意义，它健不但打通浇了单元之辈间连接通超道，而且饼可精确地砖描述各种磁复杂桥梁粮结构几何掏特征，把挺握各种力燥学现象，郑已在复杂慌结构分析爷、动力分括析及非线中性分析中林发挥其独哈一无二的翅作用。本章参考述文献[1]M.J面.Tu泽rne刻r,R随.W.联Clo北ugh路,H邪.C.虑Mar醋tin狡,L缩慧.J.蠢Top灾p.S肾tif锤fin拘ess碰an恒dd像efl母ect砖ion溉an崭aly凑sis越of烂co苏mpl誓