悬而未决的简单数学问题

悬而未决的

“简单〞数学(shùxué)问题王国(wángguó)俊陕西师范大学数学研究所第一页，共38页。1一.简单(jiǎndān)和不简单(jiǎndān)第二页，共38页。21.问：什么是“简单〞的数学问题？答：中学生都可以(kěyǐ)听懂是怎么回事的数学问题叫“简单〞数学问题.

第三页，共38页。32.不“简单〞的数学(shùxué)问题的例子2000年5月24日美国麻州剑桥(jiànqiáo)Clay数学研究所〔克莱数学所〕悬赏各100万美元征解以下七大数学难题：1.庞加莱猜测(2006年已解决)2.黎曼猜测3.戴尔猜测4.纳维-斯托克斯方程求解5.杨-米尔斯场问题6.霍奇猜测7.P对NP问题参看“七大世纪数学难题浅释〞〔王国俊2006，6，17〕第四页，共38页。4俄罗斯数学家格里高利(gāolì)佩雷尔曼第五页，共38页。5庞加莱猜测(cāicè)(1904年)第六页，共38页。6同胚和不同(bùtónɡ)胚的曲面第七页，共38页。7连续闭曲线可在其中连续收缩为一点的图形叫单连通的(或根本群等于0).庞加莱论断(lùnduàn)在二维情形可表述为：单连通的二维紧致无边闭流形同胚于二维球面。第八页，共38页。8

庞加莱猜测：单连通的三维紧致无边闭流形同胚于S3。Smale于1960年证明(zhèngmíng)了5维及以上的情形庞加莱论断成立。1982年，Freedman证明(zhèngmíng)了4维庞加莱猜测成立。第九页，共38页。9黎曼猜测(cāicè)〔1859年〕第十页，共38页。10第十一页，共38页。11第十二页，共38页。123.250个不简单(jiǎndān)的数学问题第十三页，共38页。13附注：在这250个数学问题(wèntí)中，只有极个别的问题(wèntí)比较简单，如欧拉常数问题(wèntí).设

第十四页，共38页。14二.悬过百年(bǎinián)才解决的“简单〞数学问题第十五页，共38页。151.哥德巴赫的猜测B内容:每个大于或等于(děngyú)9的奇数都可表示为3个奇素数之和.提出时间:1742年.解决时间:1937年.解决人:维纳格拉多夫.第十六页，共38页。162.费马大定理(dìnglǐ)内容:当n大于2时,xn+yn=zn没有非平凡的整数解.提出时间:1637年.解决时间:1995年.解决人:懐尔斯(Wiles,他用了七年時間，在不為人知的情況下，得出了證明的大局部).第十七页，共38页。173.三大几何作图问题内容:可否用不带标记的直尺和圆规解决三等分角、立方倍积和化园为方问题.提出人:以希比阿斯(Hippias)和安提丰(Antiphon)等人为代表的狡辩学派.提出时间:约公元前5世纪(古希腊).否认的解决时间:19世纪.解决人:旺策儿(Wantzer,P.-L.)等人.(参看(cānkàn):〞三等分角问题漫谈〞，王国俊2019)

第十八页，共38页。184.第五公设问题内容：“过直线L外一点可作L的一条平行线且只能作一条平行线〞.问题:第五公设可否由前面的公理(gōnglǐ)推出?提出时间:公元前古希腊.解决时间:1826年.解决人:罗巴切夫斯基.第十九页，共38页。195.高次方程的求根公式问题内容:寻求高于4次的整系数(xìshù)多项式的求根公式.提出人:意大利学派.提出时间:16世纪.解决时间:1826-1829.解决人:阿贝尔,伽罗华.第二十页，共38页。20

Abel

Galois第二十一页，共38页。21三至今仍悬而未决(xuánérwèijué)的简单数学问题第二十二页，共38页。221.哥德巴赫猜测A内容：大于或等于6的偶数(ǒushù)可表示为两个奇素数之和.提出人:哥德巴赫.提出时间:1742年.解决情况:至今只证明了1+2.第二十三页，共38页。232.3n+1问题内容:任取自然数K，假设K是奇数，将其乘以3后再加1；假设K是偶数，将其除以2.从任一自然数出发，不断施行上述运算必然得出(déchū)1.提出人：考拉茨〔Collatz，德国汉堡大学大学生〕.提出时间：1930年.例：17，52，26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1.进展情况：5260以内的K都成立.第二十四页，共38页。24在1960年，日本人角谷靜夫也研究過這個猜测。但這猜测到目前，仍沒有任何新的進展.它有着一大堆其他各种各样的名字，大概都是和研究和传播它的数学家或者地点关的：克拉兹(Collatz)问题，哈斯(Hasse)算法问题，乌拉姆(Ulam)问题等等。1996年B.Thwaites悬赏1100英镑来解决这个问题.看在钱大爷的份上，3n+1问题于是又多了个名字，叫Thwaites猜测.今天在数学文献里，大家就简单地把它称作“3n+1问题〞。角谷静夫在谈到这个猜测的历史(lìshǐ)时讲：“一个月里，耶鲁大学的所有人都着力于解决这个问题，毫无结果.同样的事情好象也在芝加哥大学发生了。有人猜测，这个问题是苏联克格勃的阴谋，目的是要阻碍美国数学的开展。〞不过我对克格勃有如此远大的数学眼光表示疑心。这种形式如此简单，解决起来却又如此困难的问题，实在是可遇而不可求。

第二十五页，共38页。253.完美数问题内容：除了自身外所有因子之和等于自身的自然数叫完美数，问完美数的个数是否无限(wúxiàn)？有没有奇完美数？早期的研究者：欧几里得〔他用公式2n-1〔2n-1)发现了前4个完美数6，28，496，8128，n=2，3，5，7〕.进展情况:到2019年为止，人们只发现了46个完美数，且都是偶数，其中最大的完美数是一个314位数.第二十六页，共38页。26字符串问题内容:〔1〕删去串的前3位；〔2〕假设首位是1，在串末添1101，假设首位是0，在串末添00.此程序是否必然(bìrán)停机或循环?例1:10101，011101，10100，001101，10100，…例2：011011011，01101100，0110000，000000，00000，0000，000，00.提出人：多值逻辑创始人之一的E.Post.提出时间：1920年，至今无人能答复.

第二十七页，共38页。275.瑞赛尔数问题内容:找出最小的Riesel数，即，奇自然数K，使K2n1对于(duìyú)每个n都是合数.提出人:H.Riesel.提出时间：1956年.已有结果:有无穷多个Riesel数，現時找到小於106的Riesel數有：509203，762701，777149，790841和992077共5个.问题:最小的Riesel数是什么?第二十八页，共38页。286.谢尔宾斯基数问题内容:找出最小的Sierpinski数，即，奇自然数K，使K2n+1对于(duìyú)每个n都是合数.提出人：Sierpinski.提出时间:1960年.已有结果:有无穷多个Sierpinski数，78557是Sierpinski数.问题:最小的Sierpinski数是什么?第二十九页，共38页。297.奇妙的Kilminster分数序列与停机问题(wèntí)内容：有如下的分数序列3/11,847/45,143/6,7/3,10/91,3/7,36/325,1/2,36/5〔*〕输入正整数n，在〔*〕中找出第一个分数，使与n相乘得整数m；假设没有，停机，否那么对m做同样的事.例1.n=13，停机.例2.n=10，依次得5,36,858,…102,…,103(36次),…,105(150次),…,107(304次),…1011,…问题(wèntí)：上述程序是否总会停机？第三十页，共38页。30附注1：Kilminster于1999年提出此分数，当时为西澳大利亚大学学生(xuésheng).附注2：康威〔〕于1987年提出程序Fractran，给出了一系列分数序列，有的可以用来依次作出2的素数次方幂，同样有停机问题参看C.Goodman-Strauss：Can’tdecide?Undecide！?NoticesoftheAMS?2010年，57卷，3第三十一页，共38页。31四.结束语第三十二页，共38页。321.久悬不决的简单数学问题往往(wǎngwǎng)是解开数学奥秘的引线化园为方问题---超越数理论(林德曼Lindemann,1882年)费马大定理---理想数理论(库默尔Kummer，1847年)第五公设问题---非欧几何诞生(罗巴切夫斯基，1829年)高次方程求根公式问题---群伦(伽罗华Galois，1830年)

第三十三页，共38页。332.青年时代、特别是大学时代是青年学习和成长(chéngzhǎng)的黄金时代考拉茨Collatz---汉堡大学学生1930年提出3n+1猜测Abel---27岁，Galois---21岁柯明斯特Kilminster---西澳大利亚大学学生懐尔斯Wiles---1986年33岁时研究费马定理第三十四页，共38页。343.我喜欢(xǐhuan)的故事和成语囊萤映雪---晋；悬梁刺骨---东汉、战国知识就是力量knowledgeispower(培根)Aninvestmentinknowledgepaysthebestinterest(