苏教版必修一函数函数的概念“衡水杯”一等奖

《函数的概念和图象》随堂练习一、选择题1．（2010·天津南开区调研）已知ab＝1，函数f（x）＝ax与函数g（x）＝－logbx的图象可能是（）解析：∵ab＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，0<b<1，ax为增函数，－logbx为增函数,0<a<1，b>1，ax为减函数，－logbx为减函数)).答案：B2．函数y＝lncosx（－eq\f(π,2)<x<eq\f(π,2)）的图象是（）解析：本小题主要考查复合函数的图像识别．y＝lncosx（－eq\f(π,2)<x<eq\f(π,2)）是偶函数，可排除B、D，由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C，选 A.答案：A3．（2009·安徽）设a＜b，函数y＝（x－a）2（x－b）的图象可能是（）解析：由已知条件可知：x（－∞，a）a（a，b）b（b，＋∞）y－0－0＋答案：C4．（2010·山东烟台调研）已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x＋2）＝f（x），且x∈（－1,1]时，f（x）＝|x|，则y＝f（x）与y＝log7x的交点的个数为（）A．4B．5C．6D．7解析：y＝f（x）与y＝log7x的交点即为图象的交点如图，由图象可知有6个交点．答案：C二、填空题5．（2009·湖南十二校联考）已知函数f（x）＝eq\f(x－5,2x＋m)的图象关于直线y＝x对称，那么m＝________.解析：f（x）＝eq\f(x－5,2x＋m)的反函数为f－1（x）＝eq\f(－mx－5,2x－1).因为函数图象关于直线y＝x对称，所以f（x）＝f－1（x），即eq\f(x－5,2x＋m)＝eq\f(－mx－5,2x－1)，对一切x≠eq\f(1,2)的实数恒成立．∴m＝－1.答案：－16．（2010·江苏扬州调研）若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析：曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示．由图象可得|y|=2x+1与直线y=b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[-1,1]．答案：[-1,1]7．（情景题）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如下图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如下图丙所示．（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水；则一定能确定正确的论断序号是________．解析：由题中图丙，可知0点到3点时水增加速度等于2个进水口的进水速度，则①正确；3点到4点时“一进一出”，所以②错误；③与已知（至少打开一个水口）不符．答案：①三、解答题8．已知函数f（x）＝eq\f(x,1＋x).（1）画出f（x）的草图；（2）指出f（x）的单调区间．解：（1）f（x）=eq\f(x,1＋x)=1-eq\f(x,x＋1)，函数f（x）的图象是由反比例函数y=-eq\f(1,x)的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．（2）由图象可以看出，函数f（x）有两个单调递增区间：（-∞，-1），（-1，+∞）．9．（2010·福建厦门模拟）设函数f（x）＝x＋eq\f(1,x)的图象为C1，C1关于点A（2,1）对称的图象为C2，C2对应的函数为g（x）．（1）求g（x）的解析式；（2）若直线y＝m与C2只有一个交点，求m的值和交点坐标．解：（1）设点P（x，y）是C2上的任意一点，则P（x，y）关于点A（2,1）对称的点为P′（4－x,2－y），代入f（x）＝x＋eq\f(1,x)，可得2－y＝4－x＋eq\f(1,4－x)，即y＝x－2＋eq\f(1,x－4)，∴g（x）＝x－2＋eq\f(1,x－4).（2）由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝m，,y＝x－2＋\f(1,x－4)，))消去y得x2－（m＋6）x＋4m＋9＝0Δ＝（m＋6）2－4（4m＋9）∵直线y＝m与C2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m＝0或m＝4.当m＝0时，经检验合理，交点为（3,0）；当m＝4时，经检验合理，交点为（5,4）．10．已知函数y＝f（x）的定义域为R，并对一切实数x，都满足f（2＋x）＝f（2－x）．（1）证明：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称；（2）若f（x）是偶函数，且x∈[0,2]时，f（x）＝2x－1，求x∈[－4,0]时的f（x）的表达式．证明：（1）设P（x0，y0）是函数y＝f（x）图象上任一点，则y0＝f（x0），点P关于直线x＝2的对称点为P′（4－x0，y0）．因为f（4－x0）＝f[2＋（2－x0）]＝f[2－（2－x0）]＝f（x0）＝y0，所以P′也在y＝f（x）的图象上，所以函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称．（2）解：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，所以f（－x）＝－2x－1.又因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝f（－x）＝－2x－1，x∈[－2,0]．当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0,2]，所以f（4＋x）＝2（4＋x）－1＝2x＋7，而f（4＋x）＝f（－x）＝f（x），所以f（x）＝2x＋7，x∈[－ 4，－2]．所以f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋7，x∈[－4，－2]，,－2x－1，x∈－2，0].))1．某地一年内的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如右图所示，已知该年的平均气温为10℃.令C（t）表示时间段[0，t]的平均气温，C（t）与t图象表示，则正确的应该是（）,解析：由图可以发现当t＝6时，C（t）＝0，排除C；t＝12时，C（t）＝10，排除D项； 在大于6的某一段气温超于10，所以排除B项，故选A项． 答案：A2.（★★★★★）不等式eq\r(1－x2)<x＋a在x∈[－1,1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（－∞，－eq\r(2)） B．（－1，eq\r(2)）C．[eq\r(2)，＋∞）