2023届上海市进才实验中学数学高二第二学期期末联考模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．将4名学生分配到5间宿舍中的任意2间住宿，每间宿舍2人，则不同的分配方法有（）A．240种 B．120种 C．90种 D．60种2．已知函数的导函数的图象如图所示，那么（）A．是函数的极小值点B．是函数的极大值点C．是函数的极大值点D．函数有两个极值点3．已知为的一个对称中心，则的对称轴可能为（）A． B． C． D．4．已知，则（）A． B． C．2 D．5．在用反证法证明“已知，且，则中至少有一个大于1”时，假设应为（）A．中至多有一个大于1 B．全都小于1C．中至少有两个大于1 D．均不大于16．函数的图像可能是（）A． B．C． D．7．已知变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为A．7 B．8 C．9 D．108．若复数满足，则复数在复平面上所对应的图形是（）A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．线段9．设在定义在上的偶函数，且，若在区间单调递减，则（）A．在区间单调递减 B．在区间单调递增C．在区间单调递减 D．在区间单调递增10．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列11．已知PA，PB是圆C:的两条切线(A，B是切点)，其中P是直线上的动点，那么四边形PACB的面积的最小值为()A． B． C． D．12．若，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．期末考试结束后，某老师随机抽取了本班五位同学的数学成绩进行统计，五位同学平均每天学习数学的时间（分钟）与数学成绩之间的一组数据如下表所示：时间（分钟）30407090120数学成绩35488292通过分析，发现数学成绩与学习数学的时间具有线性相关关系，其回归方程为，则表格中的的值是___．14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为__．15．已知不等式恒成立，其中为自然常数，则的最大值为_____．16．若正方体的表面积为，则它的外接球的表面积为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）己知角的终边经过点．求的值；求的值．18．（12分）设（Ⅰ）求的单调区间.（Ⅱ）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，说明理由.19．（12分）在某中学高中某学科竞赛中，该中学100名考生的参赛成绩统计如图所示．（1）求这100名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）记70分以上为优秀，70分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关？合格优秀合计男生18女生25合计100附：．0.0500.0100.0053.8416.6357.87920．（12分）已知抛物线，过焦点作斜率为的直线交抛物线于两点.（1）若，求；（2）过焦点再作斜率为的直线交抛物线于两点，且分别是线段的中点，若，证明：直线过定点.21．（12分）已知等差数列的前项和为，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．22．（10分）如图所示：在底面为直角梯形的四棱锥中，，面，E、F分别为、的中点.如果，，与底面成角.（1）求异面直线与所成角的大小（用反三角形式表示）；（2）求点D到平面的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据分步计数原理分两步：先安排宿舍，再分配学生，继而得到结果．【详解】根据题意可以分两步完成：第一步：选宿舍有10种；第二步：分配学生有6种；根据分步计数原理有：10×6＝60种．故选D．【点睛】本题考查排列组合及计数原理的实际应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题．2、C【解析】

通过导函数的图象可知；当在时，；当在时，，这样就可以判断有关极值点的情况.【详解】由导函数的图象可知：当在时，，函数单调递增；当在时，，函数单调递减，根据极值点的定义，可以判断是函数的极大值点，故本题选C.【点睛】本题考查了通过函数导函数的图象分析原函数的极值点的情况.本题容易受导函数的单调性的干扰.本题考查了识图能力.3、B【解析】

由题意首先确定的值，然后求解函数的对称轴即可.【详解】由题意可知，当时，，据此可得：，令可得，则函数的解析式为，函数的对称轴满足：，解得：，令可知函数的一条对称轴为，且很明显选项ACD不是函数的对称轴.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数对称轴方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4、B【解析】

直接利用和角公式和同角三角函数关系式的应用求出结果．【详解】由,得,则,故.故选B【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．5、D【解析】

直接利用反证法的定义得到答案.【详解】中至少有一个大于1的反面为均不大于1，故假设应为：均不大于1.故选：.【点睛】本题考查了反证法，意在考查学生对于反证法的理解.6、A【解析】

判断函数的奇偶性和对称性，利用特征值的符号是否一致进行排除即可．【详解】解：f（﹣x）f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，由f（x）＝0得sinx＝0，得距离原点最近的零点为π，则f（）0，排除C，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键．7、C【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可得答案．【详解】作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，有最大值为9，故选．【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法。8、D【解析】

根据复数的几何意义知，复数对应的动点P到对应的定点的距离之和为定值2，且，可知动点的轨迹为线段.【详解】设复数，对应的点分别为,则由知：,又，所以动点P的轨迹为线段.故选D【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，动点的轨迹，属于中档题.9、D【解析】

根据题设条件得到函数是以2为周期的周期函数，同时关于对称的偶函数，根据对称性和周期性，即可求解．【详解】由函数满足，所以是周期为2的周期函数，由函数在区间单调递减，可得单调递减，所以B不正确；由函数在定义在上的偶函数，在区间单调递减，可得在区间单调递增，所以A不正确；又由函数在定义在上的偶函数，则，即，所以函数的图象关于对称，可得在区间单调递增，在在区间单调递增，所以C不正确，D正确，故选D．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与对称性的应用，以及函数的周期性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10、D【解析】

由折线图逐项分析即可求解【详解】选项，显然正确；对于，，选项正确；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故错.故选：D【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题11、C【解析】

配方得圆心坐标，圆的半径为1，由切线性质知，而的最小值为C点到的距离，由此可得结论．【详解】由题意圆的标准方程为，∴圆心为，半径为．又，到直线的距离为，∴．故选C．【点睛】本题考查圆切线的性质，考查面积的最小值，解题关键是把四边形面积用表示出来，而的最小值为圆心到直线的距离，从而易得解．12、C【解析】分析：由题意根据二项式展开式的通项公式可得，再分别求得的值，从而可得结果.详解：由常数项为零，根据二项式展开式的通项公式可得，且，，，故选C.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、63【解析】回归方程过样本中心点，则：，即：，解得：.点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．(2)回归直线方程必过样本点中心．14、【解析】

由三视图可分析，几何体应是相同的两个三棱锥，并排放置，并且三棱锥的某个顶点的三条棱两两垂直，根据图中数据直接计算体积.【详解】由三视图可分析，几何体应是相同的两个三棱锥，并排放置，并且三棱锥的某个顶点的三条棱两两垂直，.故填：.【点睛】本题考查了根据三视图计算几何体的体积，属于简单题型.15、【解析】

先利用导数确定不等式恒成立条件，再利用导数确定的最大值.【详解】令当时，，不满足条件；当时，，当时当时因此，从而令再令所以当时；当时；即，从而的最大值为.【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立以及利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.16、【解析】

由正方体的外接球的直径与正方体的棱长之间的关系求解.【详解】由已知得正方体的棱长为，又因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长，所以正方体的外接球的半径，所以外接球的表面积，故得解.【点睛】本题考查正方体的外接球，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果．（2）利用同角三角函数关系式的变换和诱导公式的应用求出结果．【详解】（1）由题意，由角的终边经过点，根据三角函数的定义，可得．由知，则．【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数的关系式的变换，诱导公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）0.【解析】

（Ⅰ）对分三种情况讨论，利用导数求的单调区间；（Ⅱ）先求出函数h(x)在上单调递减，在上单调递增，再求出，即得解.【详解】解：（I）时，令令故在单调递增，在上单调递减；0≤≤1时，恒成立，故在单调递增.时，令令故在单调递减，在上单调递增；综上：在单调递增，在上单调递减；时在单调递增.时，在单调递减，在上单调递增.（II）当时，由于在上单调递增且故唯一存在使得即故h(x)在上单调递减，在上单调递增，故又且在上单调递增，故即依题意：有解，故又故【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究不等式存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19、(1)(2)填表见解析，不能判断有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关【解析】

（1）由每一组数据的中点值乘以该组的频率求和得答案；（2）计算70分以上的频率和频数，由此填写列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．【详解】（1）由频率分布直方图，计算平均数为；（2）由题意，70分以上的频率为，频数为，∴70分及以下为，由此填写列联表如下；合格优秀合计男生183048女生272552合计4555100由表中数据，计算≈2.098＜6.635；不能判断有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关．【点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5时横坐标即可，平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，之后将以上计算得到的每一个数值相加得到值.20、（1）；（2）证明见解析【解析】

（1）设，，联立直线的方程和抛物线方程可得，然后利用即可求出（2）根据（1）中结果可得到，同理，由可推出，然后写出直线的方程化简即可.【详解】（1），设，由得，，解得（2），同理，，所以化简得：直线过定点【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）利用等差数列公式直接解得答案.（Ⅱ），，利用裂项求和计算得到答案.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，由，得，解得∴．（Ⅱ），从而