扩散问题的偏微分模型

扩散问题的偏微分模型第1页，共14页，2023年，2月20日，星期一物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着。凡与反映扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决。第2页，共14页，2023年，2月20日，星期一

有衰减的扩散问题：设有一扩散源，某物质从此扩散源向四周扩散，沿x，y，z三个方向的扩散系数分别为常数，衰减（例如吸收、代谢等）使质量的减少与浓度成正比，扩散前周围空间此物质的浓度为零，估计物质的分布。第3页，共14页，2023年，2月20日，星期一设u(x,y,z,t)是t时刻点(x,y,z)处某物质的浓度。任取一个闭曲面S，它所围的区域是，由于扩散，从t到t+t时刻这段时间内，通过S流入

的质量为其中a2，b2，c2

分别是沿x，y，z方向的扩散系数。第4页，共14页，2023年，2月20日，星期一由高斯公式

由于衰减，内的质量减少为

其中k2

为衰减系数。由物质不灭定律，在t到t+t时刻间内由于扩散与衰减的合作用，积存于内的质量为M1

M2。第5页，共14页，2023年，2月20日，星期一换一个角度看，在t到t+t时刻间内由于浓度的变化引起的质量增加为第6页，共14页，2023年，2月20日，星期一显然，M3

=M1M2，即由t，t，的任意性得：

上述方程是常系数线性抛物型方程，它就是有衰减的扩散过程的数学模型。第7页，共14页，2023年，2月20日，星期一设扩散源在点(x0,y0,z0)处，则此扩散问题满足Cauchy问题：其中M为扩散源的质量。用傅立叶变换可求得Cauchy问题的解析解为第8页，共14页，2023年，2月20日，星期一但值得注意的是，在实际应用中，参数a，b，c，k往往是很难获得的，通常都是利用观测取样值进行估计，从而得出u(x,y,z,t)的近似表达式。

参数估计：目的是对上式中出现的参数a，b，c，k进行估计。已知条件：①点源（扩散源）的质量M；②点源（扩散源）的位置：(x0,y0,z0)；③t0

时刻的观测取样值(xi,yi,zi,mi)，mi

为t0

时刻(xi,yi,zi)处物质的浓度，i=1,…,n。第9页，共14页，2023年，2月20日，星期一首先考虑取样时刻。事实上，取样时刻是未知的，但若设取样时刻为t0，作变量替换t=t0，则有

=t/t0，从而即第10页，共14页，2023年，2月20日，星期一上式仍然是常系数线性抛物型方程，与有衰减的扩散过程的数学模型形状完全一致，故可令观测取样值的取样时刻为t0=1。于是，(xi,yi,zi,mi)满足第11页，共14页，2023年，2月20日，星期一其次考虑参数估计。对上式两端取对数，有

第12页，共14页，2023年，2月20日，星期一令第13页，共14页，2023年，2月20日，星期一则有关系式：W=lnu(x,y,z,1)=X+Y+Z+由于我们获得的观测取样值(xi,yi,zi,mi)可以转化为相应的观测取样值(Xi,Yi,Zi,Wi)，于是利用多元回归分析可以求出、、、的估计值，从而得到参数a，b，c，k的估计值