弹性力学之薄板弯曲问题

第一节有关概念及计算假定第二节弹性曲面的微分方程第三节薄板横截面上的内力第四节边界条件扭矩的等效剪力第五节四边简支矩形薄板的重三角级数解第六节矩形薄板的单三角级数解第七节矩形薄板的差分解第八节圆形薄板的弯曲第九节圆形薄板的轴对称弯曲例题第九章薄板弯曲问题薄板是厚度远小于板面尺寸的物体。§9-1有关概念及计算假定定义薄板的上下平行面称为板面。薄板的侧面，称为板边。平分厚度的面,称为中面。比较薄板受到横向荷载（⊥板面）的作用--

薄板的弯曲问题。薄板受到纵向荷载（∥板面）的作用--

平面应力问题；杆件受到横向荷载（⊥杆轴）的作用--

梁的弯曲问题。杆件受到纵向荷载（∥杆轴）的作用--

杆件的拉压问题；

薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根据其内力及变形的特征，又提出了3个计算假定，用以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯曲理论。特点 当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板的弹性曲面。定义小挠度薄板--这种板虽然薄，但仍有相当的抗弯刚度。它的特征是：(3)在内力中，仅由横向剪力与横向荷

载q成平衡，纵向轴力的作用可以不计。(2)在中面位移中,w是主要的，而纵向位

移u,v很小，可以不计；(1)具有一定的刚度，横向挠度；1.

垂直于中面的线应变可以不计。取，由，得 故中面法线上各点，都具有相同的横向位移，即挠度w。

本章研究小挠度薄板的弯曲问题。

根据其内力和变形特征，提出了3个计算假定：计算假定弯应力（合成弯矩）及扭应力（合成扭矩）横向切应力（合成横向剪力）挤压应力

2.

次要应力分量远小于其他应力分量，它们引起的形变可以不计。薄板中的应力与梁相似，也分为三个数量级：

所以为次要应力，为更次要应力。略去它们引起的形变，即得并在空间问题的物理方程中，略去引起的形变项。因此，当略去后，薄板弯曲问题的物理方程为

(1)在薄板弯曲问题中，略去了次要应力引起的形变;但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。说明：⑵薄板弯曲问题的物理方程(b)与平面应力问题的物理方程相同。但沿板厚方向，对于平面应力问题的应力为均匀分布，合成轴力而薄板弯曲问题的应力为线性分布，在中面为0，合成弯矩和扭矩。⑶从计算假定1、2，得出故中面法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。因此，中面在变形后，其线段和面积在xy面上的投影形状保持不变。由于故3.中面的纵向位移可以不计，即实践证明，只要是小挠度的薄板，薄板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的精度。类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问题中提出了上述3个计算假定，并应用这3个计算假定,简化空间问题的基本方程，建立了小挠度薄板弯曲理论。 1.试考虑在材料力学梁的弯曲问题中，是否也应用了这3个计算假定？2.在材料力学的梁弯曲问题中，采用了平面截面假设。在薄板中有否采用此假设？思考题§9-2弹性曲面的微分方程

本节从空间问题的基本方程出发，应用3个计算假定进行简化，导出按位移求解薄板弯曲问题的基本方程。薄板问题解法2.将其他未知函数─纵向位移u,v；主要应变分量;主要应力分量；次要应力分量及最次要应力均用w来表示。

薄板弯曲问题是按位移求解的，主要内容是：

4.导出板边的边界条件。3.导出求解w的方程。

1.取挠度w(x,y)为基本未知函数。

具体推导如下：

1.取挠度为基本未知函数。应用几何方程及计算假定1，2.

将，用表示。应用几何方程及计算假定2，得对积分，又由计算假定3，

故得3.主要应变用表示。

应用其余三个几何方程，并代入(a)，得：(b)4.主要应尝力果用颤表示。应用薄板启的三个物习理方程及称式(b)，得碑：(c)5.次要应郊力锡用都表示。应用平衡奇微分方程载的前两式动（其中纵向体力狗）茄，有代入式(c)，并白对z积分，播得：其中因为上下板摩面是大边烫界，必敞须精确满足提应力边界贪条件由此求奋出非及子，代桥入得到6.更次要陷应力芬用贸表示悲。应用第三柏个平衡微水分方程，谊将体力及线板面上的盒面力等效当地移置到左上板面，抽有代入式(d)，并对z积分，得由下板面的俯边界条件求出洁，故请更次要刘应力为7.导出求宁解w的基本方巨程。由上板面边乌界条件（属于静愁力平衡条舍件）得出在A域中求w的方程，(f)(g)为薄板的境抗弯刚汗度求w方顾程说明：⑴在三个楼计算假稻定下，纵向位携移u,v；主要应嘉变吊；主要应力晋；沿谁z向均妙为线性屠分布，在浆中面赶为0治；次要应力莲（横向切传应力）帝沿z向为抛物线分盟布；－－均与夹材料力学鼠相似。更次要偏应力（惊挤压应卧力）苦沿z为三次曲线分挥布。⑵按膜位移求送解薄板伶弯曲问意题，只达取振为基本未知束函数。在炎导出求筑的基奸本方程中应用拒了3个计陪算假定，规与材料力学解梁烦的弯曲傻问题相梦似。⑶从上述推曾导过程可针见,空间问题挥的6个几食何方程，庸6个物理越方程和3皇个平衡微理分方程都猫已考虑并斩满足（其中应勒用了3个形计算假定梨）；并且间在（福）的大边界膛板面上，3个应坑力边界触条件也候已精确膝满足。⑷具只有板边的边退界条件尚未考虑评，它们将掏作为求解犬微分方程璃（f）的第边界条件阅。思考题试比较六梁的弯陪曲问题贴和薄板况弯曲问区题的异辽同。薄板内力，是薄板每单撇位宽度的才横截面上,由哄应力合顿成的主骨矢量和渗主矩。求薄板内拦力的目的唯：§9-3塑薄板横酿截面上的僚内力⑵在免板边（俗小边界龙）上，盲要用内樱力的边界条件捧代替应纯力的边描界条件仰。⑴薄编板是按匠内力设病计的；薄板内抚力求内力沟：取出割的六面体份，x面上，有应力纺，馒，y面上，有应力育，，建。其中，，=，沿z为直线分故布，在中唱面为0；，，庆沿z为二次丘分布，拨方向∥凳横截面累。x面坑面积副上，应力的透主矢量和衰主矩为：x面内力─合成主狗矢量称为横向剪力,─合成主顷矢量为0,合成肚主矩称制为扭矩,─合成肠主矢量死为0,合成隐主矩称顾为弯矩,类似地即，求出y面姜面积著上的内力腊：y面内力弯矩扭矩横向剪踢力内力的正灶负号规定，根据应纯力符号确咐定:正的应力工方向的主盯矢量为正喝;正的应力蜡×正的矩旋臂的力矩尚方向为正走,如图。xyz内力符才号内力均斜为单位枯宽度上款的主矢咳量和主似矩，所核以其量箭纲均应坐降低一雄次长度隔量纲。(e)(f)中面内施力平衡毅条件考虑上鸦图的中面平旨衡条件，可得母：薄板内您力是横占截面上捧，应力短向中面找合成的数主矢量眯和主矩拌。再将买用w来表示岭，同样表地得出颗挠曲线痰微分方乞程将前两式撑代入后式忌，得§9－矩4边酸界条件剧扭矩验的等效劫剪力薄板的边突界条件：在上下思板面（大边界崭），已精束确地满足绿了3个应接力边界条店件。边界条件板边为小糕边界，可以应携用圣维南原造理来简化边顶界条件,除将板边的边仍界条件归结为中面的饲位移边宿界条件或中面的厨内力边粉界条件。板边（小边届界）的边界嗓条件尚那未考虑设,是求宇解挠曲央线微分凑方程的膝边界条裹件。，可看成邀是中面的孙挠曲微分方程,倦或中面的提平衡方程蛇；边界条醋件薄板板河边的边乖界条件分为三耳类：1.固定边--若极为广义苦固定边，较则其中额为给定的约束才位移。若完全维固定，则固定边(a)2.简支边--若斜为广义简火支边，则其中务，绑分别蚁为给定的恳约束位移鲁和弯矩。若没，则一辜般的简支泪边条件为简支边故揉第二个匠条件可肯以简化型。简支萄边的条捏件为因简支边3.自由边--若弄为碑一般的自镰由边，则上式边界踩条件共有纺3个，与熊四阶微分立方程不相阅对应。约经过约2前0年后，惕基尔霍夫严指出，薄踢板板边上准的扭矩可锻化为等效冒的横向剪接力。自由边在EF=dx微分段上，总扭系矩观，化妖为E、F上等效的排一对力冈，藏分别向下缎（E）和向上站（F）；在FG=dx微分段上，总扭山矩晨，越化为F、G上等效率的一对偏力惨，分别碗向下（F）和向葛上（G）。图中，块取出板边AB（y面），扭矩的等剩效剪力在F点，合腊成集中独力投,向湖下。再笑化为衔宽度翁上的分布剪力。故AB边界总的燃分布剪力为此外，在A，B两端，还有两迈个未被抵什的集中剪力用挠度表哄示为因此，自由边搬的边界艰条件成为同理可匪导出衫的衔自由边加条件。4.自由被边交点的篮角点条件─在角乎点B，集中力为若B点有支承枣，阻止挠慎度的发生袭，则有若B点无支承疲，应无集碎中力，有角点条爱件角点集错中力的袄正负号订及方向限，根据鸽扭矩确勿定，见盗习题9-2。固定边款是位移章边界条妄件，自屠由边是泪内力边被界条件努，简支驾边是混增合边界临条件。小挠度薄栋板的弯曲奋问题，已改经归结为仇求解挠度w，w应满足挠曲线微跃分方程和板边的伐边界条俭件。§9－姓5四榨边简支惩矩形薄杂板录的重三背角级数弊解求w条件对于四边简数支的矩形板，边界邪条件为(b)四边简支纳维将w表示为重三角友级数，其中m，n为正整数杆。代入式(b)，邮全部边界霸条件满足粘。将q(x,y)也斗展为重三带角级数，再代入式竹(a)，液得将q代入上寺式，比弄较两边馆系数，克得纳维解喊答是用伴多种正叔弦波形的叠加登来表示样挠度w的。对严于各种锅形式的局荷载q，均可方锁便地求出天解答。它滥的主要是弃，只能适用于仆四边简支功的薄板。当q为集中狂荷载F，作用于响一点练时，可用深代替q，并且膨只在化处的微据分面积坊上存在意，其余爬区域q=0，逆于是累中当q为均布床荷载时最，盛代入灰式(轻f)，雪便可求焰出菊，币并得出w解答。设矩形板的抹两对边克为简支毛边，其余两僻边为任意垒边界。§9－6伙矩形薄榴板的单三纽奉角级数解两对边咽简支其中但是待浊定的函数染，m为正整宰数。式纲(a)晚已满足桑了创的简究支边条阴件,莱维采孕用单三角牲级数表示挠缴度，将式(忙a)代脊入挠曲社线微分爷方程，仅得两对边启简支将傲也展开获为单三权角级数灾，两对边简缝支代入式(信b)，比叨较系数，连得出求距的赚常微分方秀程，其中感为式(湾d)的特革解；其余窄四项为齐扮次方程的固通解。将租代入式秀(a)，园得w解，其敢中的系数塑由其余仰两边界蚀条件来怎确定。式(d含)的解爬为书中列里举了受释均布荷铜载傲时乒,四边呆简支板非的解答挨。矩形薄紧板应用步重三角尸级数和阿单三角袖级数求烫解，是教非常重路要的解观法。下葬面我们进一步说明几你点。从求解无薄板弯皆曲问题微来看，展两者比狸较如下：适用性四边简支炸两伍对边简支香，另两边辱可任意求解较困难，评须求解系浓数收敛性慢狸快应用局限于四边简询支颂可推广但应用到胳其他各壳种边界纳维解法俭莱维解法简便2.应用叠加方法，可将截莱维提吉出的单停三角级数刑解，用标于解决各种矩形薄情板的边界条件问河题。3.纳维解法自和莱维解烂法，不仅串在薄板的骄静力（弯曲桑）问题中稠得到了广巷泛的应用布，而且可以骗推广应用脆于薄板的撕动力、稳王定问题,俗以及能稍量法中闪。1.试考阔虑四边固网定的矩形未板，受任践意荷载鼓，如何引应用莱维磁法求解？2.试考绍虑一边固剪定三边自能由的矩形鞭板，受任殖意荷载宋，如何崖应用莱维惩法求解？思考题应用差分法求解薄板献弯曲问题乐，是比较呈简便的。首先将挠曲线甚微分方益程变换为倾差分方情程,插分方程§9－伸7矩源形板的缴差分解对血点伤，即固定边和奴简支边附阅近的w值，如柴下图所合示。若AB为简支边，对于o点，若AB为固定边，则对于o点，(a)块固定边(b)简支边对于自由边的情形，甘边界点的w值是未保知数，再须列式睡(a)排的差分进方程，岸其中涉灾及边界承外一、师二行虚闲结点的w值，用自椒由边的边石界条件来炉表示，所黄以求解时峰比较麻烦您。对于具裙有支承边（简支苗边，固保定边）脏的矩形傻板，每轻一内结骄点的w值为未知演数，对每假一内结点唱应列式(棚a)的方饺程。其中纵涉及边界涝点和边界逐外一行虚卖结点的w值，如设式(b书)或(三c)所罚示。例1四边简支虫的正方形扫薄板，促，受到均务布荷载抵的补作用，桌试取名的网富格，如图，用泳差分法求目解薄板中袭心点的挠测度和内力（取折）。2121012120网格精确解答案:例2同上题弟，但四个曾边界均户为固定简边。网格精确解答案:总之，对性于具有支惜承边的矩结形板，采萍用差分法绵求解是十战分简便有绑效的，取肯较少的网辫格便可求苹得精度较旱好的挠度籍值w。而由w求内力时宽，因为对叠近似解w求导数后案会降低精北度，所以何须适当地留加密网格管。对于的的正批方形薄昆板，受愁均布荷腊载作用，脚试取敏的狂网格，伪分别求佳解下列边界问朽题的中心训点挠度，械并进行比副较：边（1穴）四边勿简支；（2）铸三简支说，一边颠固定；思考题（3）研两对边较简支，鸟另两对逮边固定纵；（4）两教邻边简支医，另两邻石边固定；（5）降一边简享支，三劝边固定系；（6）含四边固刃定。§9－优8圆款形薄板丘的弯曲圆板弯曲猪问题的方赠程和公式花，都可以嘴从直角坐螺标系的方驶程和公式莫导出。1.挠曲微分糕方程仍为其中圆板方送程将对x，y的导数变器换为对蚁的呀导数，并组代入讨，纠得2.内力公四式--类似地可妖利用公式叠，例如，内力公雁式同样，得斗出类似地，差横截面上构的总剪力为3.边界条番件可以表示滥为⑵设告为简支边，则⑴设膨为固定边，则边界条件前一条故件使w对的映导数在诱边界上均为0，故简支寺边条件为⑶设临为自由边，则若圆板的荷糠载q和边界唇条件均饰为轴对僵称，则薄逆板的挠度和内啄力必然也皆为轴对称。所以有§9－9相圆形薄适板的轴对背称弯曲挠曲微分麦方程为轴对称宗弯矩对于无孔板，则除2个外边界耻条件外，填还应考虑纹挠度和内齿力在踢的俩有限值条别件，所以得暖。式(a轮)的全解为对于有孔板，由内统外边界顾共4个边界条用件来确定证。通解的系队数段由随边界条件把来确定：其中特解为边界条件上述的轴锯对称解答惩(b)，浴是轴对称零弯曲的一广般解，可徐以应用于蒜一切轴对绿称弯曲问泽题。读者揭可参考教浩科书的解趴答和有关让力学手册寇。第九章调例题例题1例题2例题3例题4例题5例题受均布雀荷载荡作用，孩如图，饶试求其搂挠度和薯内力。固定边质椭圆板馋的边界隶方程为Oabyx例题1由象，显然命。幸因此，从般方向解：固定淡边的边馅界条件厌是(a)(b)导数的公喉式可推出恋，为了满足漂边界条件部(a)，炸可以令便可满声足式(贿a)的偶边界条矛件。对于均布搬荷载集，将式(熄c)代入床方程得出贷，认并从而得因此，闻只需取(c)内力尘为读者可以护检验，最大和择最小弯蹄矩分别为当乞时沟，便由市上述解议得出圆涝板的解麦答;辰若令著则椭圆渔板成为拔跨度为朋的平粘面应变顺问题的挑固端梁挡。四边简吼支矩形喝板，如秘图，受亚有分布偶荷载的作用凯，试用昌重三角甩级数求壁解其挠哀度。例题2解：将行代入积携分式，由三角函侄数的正交餐性，及得代入顶，得挠丙度的表达汽式为四边简胃支