建筑力学 第章 位移

第14章静定杆系结构的位移计算[内容提要]本章介绍了杆系结构的位移计算；阐述了运用图乘法计算静定梁和刚架位移的方法；简要介绍了弹性体系的互等定理。14.1概述14.1.1结构的变形和位移

结构位移计算的方法有多种，归纳起来大致可分为两类：一类是几何物理方法，它是以杆件的几何变形关系为基础，如前面章节中关于计算梁挠度的积分方法；另外一类是以功能原理为基础，其中以虚功原理为基础的单位荷载法应用最为广泛。实际工程中任何结构都是由可变形固体材料组成的，在荷载作用下将会产生应力和应变，从而导致杆件尺寸和形状的改变，这种改变称之为变形，变形是结构(或其中的一部分)各点的位置发生相应的改变。同时，由于外荷载的作用下引起的结构各点的位置的改变称为结构的位移，结构的位移一般可分为线位移和角位移。例如图14-1(a)所示的刚架在外荷载q作用下发生如虚线所示的变形，截面A的形心沿某一方向移到了 ，则线段 称为A点的线位移，用表示。也可以用竖向位移和水平位移 两个位移分量表示，如图14-1(b)所示。同时，截面A还转动了一个角度 ，称为截面的转角位移。(a)(b)图14-1图14-2又如图14-2所示的简支刚架，在荷载P作用下发生虚线所示的变形，杆AB截面A处产生转角位移θA

，截面B处产生转角位移θB，这两个截面的转角的和，构成了A、B两截面的相对转角，即： 。同时，C、D两点沿水平方向产生线位移、，这两点线位移之和称为C、D两点的水平相对线位移，即：=+。除荷载引起结构位移外，其他因素如支座移动、温度变化、材料收缩和制造误差等，也能使结构产生位移。θAB=θA+θB

14.1.2计算静定杆系结构位移的目的计算结构位移的主要目的有如下三个方面：1．校核结构的刚度结构的刚度是反映结构在荷载作用下抵抗变形的能力大小，刚度越大，变形越小。为保证结构在使用过程中不致发生过大的变形而影响结构的正常使用，需要校核结构的刚度。例如，对于混凝土结构构件而言，根据我国《混凝土结构设计规范》(GB50010―2002)的有关规定，建筑结构中楼面主梁的最大挠度一般不能超过跨度的1/400；工业厂房中的吊车梁的最大挠度不可超过跨度的1/500~1/600。又如，当车辆通过桥梁时，假如桥梁挠度过大，将会导致线路不平，在车辆动荷载的作用下将会引起较大的冲击和振动，轻则引起乘客的不适，重则影响车辆的安全运行。按照我国《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》(JTGD62―2004)的有关规定，梁式桥的最大挠度不能超过其计算跨径的1/300~1/600。2．便于结构、构件的制作和施工某些结构、构件在制作、施工架设等过程中需要预先知道该结构、构件可能发生的位移，以便采取必要的防范和加固措施，确保结构或构件将来的正常使用。例如图7-2(a)所示的桁架，在屋盖自重作用下其下弦各结点将产生虚线所示的竖向位移，结点C的竖向位移最大。为了减少桁架在使用时下弦各结点的竖向位移，在制作时要将下弦部分按“建筑起拱”的做法下料制作(图7-2b)，当拼接后结点C＇恰好落在C点的水平位置上。确定“建筑起拱”必须要计算桁架下弦结点C的竖向位移，以便确定起拱的高度。图14-33．为分析超静定结构创造条件因为超静定结构的内力计算单凭静力平衡条件是不能够完全确定的，还必须考虑变形条件才能求解，建立变形条件就需要进行结构位移的计算。另外，在结构的动力计算和稳定性计算中均要用到结构位移的计算。所以，结构位移计算在结构分析和实践中都具有重要的意义。应该指出的是，这里所研究的结构仅限于线弹性变形体结构，或者说，结构的位移是与荷载成正比直线关系增减的。因此，计算位移时荷载的影响可以应用叠加原理。换句话说，结构必须具备如下条件：(1)材料的受力是在弹性范围内，应力和应变的关系满足胡克定律；(2)结构的变形(或者位移)是微小的。线性变形结构也称为线性弹性结构，简称弹性结构。对于位移与荷载不成正比变化的结构，叫做非线性变形结构。线性和非线性变形结构，统称为变形体结构。14.2计算静定杆系结构位移的单位荷载法·图乘法对于如图14-3所示的结构，在两组荷载、分别独立作用下，有如下的等式： (14-1)式中，称为外力虚功，为与 的乘积，即： ；称为内力虚功，为

的加载过程中，所引起的内力在引起的相应变形上做的功；为结构在荷载作用下 处发生的新的位移。

图14-4(14-1)式即是虚功原理(具体可参见有关书籍)的表达式，它是本章讨论结构在荷载作用的位移计算问题的理论依据。为计算图示14-5(a)所示一悬臂梁结构在给定荷载P作用下结构上某一点产生的变形，图14-5如C点沿α方向产生的位移分量Δ需通过在C点沿所拟求位移方向上虚设一无量纲的集中力=1(见图14-5(b))。其步骤如下：首先考虑结构上B点处微段ds的三类变形，求出微段两端截面上的三种相对位移(见图(c))：相对轴向位移dλ=εds；相对剪切位移dη=γ0ds；相对转角dθ=κds。然后将微段变形加以集中化，即ds趋向于零，但三种相对位移仍存在。最后运用虚功原理，根据截面B的相对位移，对前述的三种位移中的ε、γ0、κ分别运用材料力学的有关知识，同时考虑剪应力沿截面的非均匀分布而引入的修正系数μ，并对该悬臂结构全梁长采用叠加原理，就可求出C点的位移Δ表达式如下：上式中，、、 分别是虚设单位荷载在结构上引起的弯矩、剪力、轴力；、、分别是荷载P在结构上引起的弯矩、剪力、轴力。(14-2)(14-2)所表示的求解位移的方法称为单位荷载法。该法不仅适用于静定结构，而且也适用于超静定结构；并适用于线弹性材料和非线弹性材料结构。应用该方法一次只能求解一个位移，当计算结果为正时，表明所求位移Δ的实际指向与虚设的单位荷载的指向相同；若计算结果为负时，表明实际位移方向与所设单位力相反。运用式(14-2)来求解结构的位移时，需要对结构进行分段并按照不同的积分项来进行积分运算，这样的计算比较麻烦，下面将介绍一种图乘法来代替上述的积分运算，从而可以达到简化计算工作的目的。弯曲杆件包括弯曲、剪切、轴向变形，为叙述的方便且不过于繁琐，仅以(14-2)式中第一项弯矩部分为代表进行叙述，其它两项类同。运用图乘法时结构的各杆段符合下列条件：杆段的弯曲刚度EI为常数：杆段的轴线为直线：

和两个弯矩图中至少有一个为直线图形。对如图14-6所示的一等截面直杆段AB上的两个弯矩图，其中图形为直线图形，图为任意形状的图形，选直线图的基线(平行杆轴)为坐标轴x轴，它与图的直线的延长线的交点O为原点，建立xoy坐标系如图所示。图14-6由于A者B杆段徐为直杆锦且图为直线蝴变化，故ds可以用腥dx代岸替，E魔I为常颂数可以衔提到积古分号外选面。则注积分式弃可简化潮为式中，捕表示呆图中沃画有阴节影线的周微分面翼积。而表示该喂微分面府积对y艇轴的静先矩，则沉积分式良表示绣AB杆锁段上所陶有微分色面积对辽y轴的悲静矩之崇和，即鸽为整个玩图总谎面积对弟y轴的录静矩。根据合避力矩定斥理，它将应等于寸图面积叙乘作以其形佛心C到泉y的距拣离xc，即：(14纵-3)由直线图可知，，有(14-锻4)yC是图的形埋心C处对螺应于警图中的狸纵距。把蚕它代入式时(14-千3)，有绣：(14-嘴5)弯矩图鹅上的纵校距散，再嘉除以错。猪这就是长所谓的督图形互得乘法，委简称为垂图乘法套。若结构斜所有各羡杆件都泽符合图颈乘条件读，则对携式(1蓄4-5馒)求和详既得计迅算结构前位移的意图乘法妇公式：(14-谦6)根据推符导图乘鞭法计算衰位移公晕式的过骂程，可赶见在使敞用图乘李法时应章注意如裙下几点卫：结构的鸟各杆段失必须符系合前面蝴所述的碗三个条王件；纵距似的值咏必须从直耗线图形上临选取，且始与另一图妻形面积形摸心相对应饺；图乘法林的正负钻号规定黑是：面私积卧和膏纵距脚若在崖杆件的看同一侧挠，其乘陪积去正急号，否艇则取负岁号。图14呜-7给孙出了位戴移计算厌中几种源常见图宫形的面培积和形狭心的位叨置。在指应用抛拌物线图脆形的公押式时，拌必须注识意在顶屋点处的灭切线应陆与基线斗平行。图14洲-7下面就图翠乘法在应鸡用中所遇塔到的计算饲问题说明薯如下：如果和两个弯程矩图均亩为直线呜图形(图14-花8)，可取其中型任一个图霞形作为面闸积，乘上其喂形心所程对应的警另一直纷线图形腐上的纵拉距核，所离得计算晚结果不胜变，即图14临-8图1伪4-9如果一个宇图形是曲淋线，另一结个图形是谣由若干个碍直线段组巴成的折线陪图形(图14-随9)，则应割按折线聚分段进香行图乘。(14疲-7)3.如果两捎个图形逢都是在说同一边授的梯形(图14-镜10)，不必怒求出梯名形的形贡心位置找或面积慎，而是镇将屿图的顾梯形分誓解为两于个三角骗形(或一个矩竟形和一个蹈三角形)，分别驾与另一斜个梯形宽对应相毕乘后再失进行叠辩加，即图14翅-10图14泡-11上式中券，渔，，影，又如图残14-欠11所沉示的两阵个反梯躬形的直悠线图形条，仍可补以用梯阁形分解羽法，将源图分解为橡位于基线睬两侧的两粱个三角形副，其面积君分别为恐、敏，它们所洒对应的爱图形纵注距分别冤为疾、害。则有上式中，病，介，呀，(14-帽8)(14-与9)4.如果遇到招均布荷载译q作用下冲某段杆段玻较复杂的印图坟(图14宫-12)传，可根据粗弯矩图叠元加原理将暮其分解为锹一个梯形甚和一个标季准二次抛鸽物线图形开的叠加。妙再分别与棋图躲相乘，取斧其代数和巡寿，就能较唱方便的求映出计算结死果。图14-升12应当指姐出，所常谓弯矩醒图的叠敲加，是辜指其纵汉距的叠律加，而溉不是原册图形的计简单拼母合。理雾解上述雀道理，河对于分杠解复杂详的弯矩肯图是非设常有用逃的。14.狱1.1观用图乘桨法计算姻梁的位蹄移对于梁而筋言，它受帝弯变形时熄产生的位户移，远大崭于因剪力喇和轴力产纷生的位移派。故计算痰梁的位移熟时，我们销只考虑由组弯矩产生生的位移。捉下面将通除过几个算畅例对图乘助法的使用绣予以说明丢。【例14强-1】试用图朋乘法求遵图14毕-13灿所示悬喊臂梁端应点B和辰中点C难的竖向皆位移桌和蜡截面B雪的转角棋，匆在图中谎杆截面底的积为常耕数。解：1、摔在B、久C点施疾加竖向滴单位荷侮载辉=1闪和黑=络1求B蜜、C点品的竖向果位移辜、，在B点施疼加单位力流偶待=1求B膛点的转角摄。2.堵分别作察出梁在雨实际荷柜载作用反下的锁图、虚弯单位力零和虚单政位力偶米作用下郑的绞图鸽、狡图和握图如口图14带-10冻所示3.计暑算B端出的竖向打位移图14废-13取图中的再图作为傅面积，再从耻图中闹取形心授对应的伏纵距滚。挽应用图浑乘法便译得由于吼、歼图码都在基叉线同一滩边取正鲁值，即令位移向饮下。4.计算大C端的竖者向位移取图中的作为面挽积，再从图鼠中取盏形心对烧应的纵治距。应用图年乘法便得5.计算贿B端截面哲的转角仍取图中监的鞠图歪为面积又从图遮中取形心劈燕对应的纵膜距()由于挣、锻图舟形均在店基线同寄一边取段正值，把故转角岭顺时针尼转动。【例1源4-2宵】试用科图乘法据求图1摆4-1娇4所示树简支梁哑在均布去荷载q献和跨中校集中荷痰载P作曲用下中碍点C的硬竖向位环移是和筋截面B李的转角线,在尾图中杆衰截面的择为常宽数。图14湖-14解：1、分范别作出简护支梁在均啦布荷载q丽和跨中集付中荷载P啦作用下的Mp1图和Mp2图(如图病14-1堆4(b)肢、(c)国所示)2、分别吗在中点C爬、端点B珍施加单位批竖向荷载碧和单位力闭偶矩并做涉出相应的等图读、图腰(如图1触4-14完(d)、车(e)所扬示)3、求C拢点的竖向脸位移鬼。分别取Mp1、Mp2作为面积区并取嫁图中形震心对应的送纵距进行夺图乘，得4、求绒B点的绸转角米。同崖理，分献别用Mp1、Mp2作为面绪积并取蔬图中形杰心对应跪的纵距镰进行图骆乘，得计算结掌果为负院值，表袋明B点奖的实际因转角和贷虚设单画位荷载锄的转角甘相反。【例1冤4-3今】试用摩图乘法废求图1倘4-1岩5(a谣)所示巧静定多历跨梁在义边跨跨怜中集中宇荷载P取作用下粱点D的关竖向位旷移，昂在图中蛛杆截面退的堂为常虑数。()图14-叙15解：1、分叔别作出集仿中荷载P伯和虚设竖框向单位荷闲载作用下逐的Mp图和木图2、取Mp为面积并救取维中形心对忌应的纵距饱进行图乘夹，得14.园2.2聪用图旨乘法计驳算刚架诞的位移对于刚煮架而言寻，弯矩闻是使刚竟架产生焦变形的版主要内壁力，计篇算位移茄时可忽督略剪力肤和轴力或的影响竿。从而吐计算刚辜架的位章移时，华可只考姜虑对弯荣矩进行锦图乘。内下面将简通过两打个算例舌对图乘喊法计算此刚架的膜位移来纺进行说钞明。【例14内-4】试馋用图乘法这求图14弓-15(聪a)所示朵静定刚架奖在水平集挥中荷载P站作用下点潜B的水平熄位移誓，在流图中杆截掉面的键为常俩数。图14藏-15解：1、辟分别作宾出刚架难在水平俩荷载P井和虚设捷水平单鸽位荷载堤作用下顷的Mp图和释图2、根据诉图乘法各痒杆分别图廉乘然后叠走加，得计算结找果为负事值，表刷明B点较的实际岸位移与嘴假设单慨位荷载茄指向相歉反，即寻位移向搂右。例14-懒5试用吧图乘法求坛图14-膨16所示销静定刚架建在竖向均含布荷载作辣用下点C婶、D两点斗的相对位错移紫(广义位奔移)，在拐图中杆截安面的茫为常数果。图14霜-16解：绘出Mp图如图1宣4-16疯(b)所恒示，沿C醋、D点连皆线上加一稿对大小相辰等，方向掠相反的单巴位荷载，护并作出刚赴架的漠图如图田14-1薯6(c)寇所示。由文图乘法可计算结陕果为正吃值，表角明假设让方向与柿实际方混向一致铃，即C缘瑞、D两龄点相互掘靠拢。※14乱.3识由支座会移动引仰起的静清定杆系态结构位耻移的计改算设如图峰14-瓶14所等示的静休定结构击，其支梅座发生堵了水平陷位移C1，竖向妥位移C2和转角C3，现要站求由此引驴起的任一我点沿任一僻方向的位痛移，例如学K点的竖较向位移朝。图14-畜14对于静定石结构，支宋座发生位既移并不引悦起内力，粗因而材料明不会发生刃变形，故被此时结构辆的位移属们于刚体位子移，通常招不难由几翁何关系求月得，但是买这里仍用填虚功原理苍来计算这处种位移。属此时，位纲移的计算罪一般公式笑为：这就是静豆定结构在麻支座移动查时的位移牛计算公式购。式中半为虚拟状于态的支座艺反力，续为反力川虚功，当叠与实际牌支座位移毕方的向一致时段其乘积为赏正，相反乔为负。此辨外，上式月前面还有甘一负号，直系原来移瓣项时所得对，不可漏继掉。(14葬-10浅)【例14嚼-5】图吓14-1尝9所示一薪静定刚架长，若支座裕A发生如拾图所示的鸣移动，试涛求C点的童水平位移甘和竖向位零移。其中c1=5m炮m，c2=20恨mm。图14-岁19解：在C点肾上分别加蔬上一水平晓单位力和齿竖向单位劲力，求出拖其支座反胳力，如图爸所示，由凯公式得到艰C点的水伯平位移和叮竖向位移亦为*14.抚4弹性温体系的互阶等定理本节简要超介绍线弹靠性体系的忧四个互等捆定理，其固中最常用孝的是功的山互等定理请，其它三带个互等定跌理都可以炮由此推导窃出来。这鉴些定理在姥以后的章听节中是经圆常用到的伸。1、功肝的互等尾定理如图14阶-20所蚕示的一简圆支梁分别表承受两组为外力P1和P2，我们称唯之为两种翻状态，其午中为第一希种状态，无图为第二景种状态。部在力P1作用下位逆置2处产晨生的位移早为21，在力牧P2作用下位逐置1处产楼生的位移菌为12，则根据功虚功原理屯有外力P1和12的乘积等羊于外力P2和21的乘积属，图14降-20即：P1×12=P2×式(14步-8)表然明：第一开状态的外腥力在第二捐状态的位尤移上所做祥的虚功，览等于第二航状态的外多力在第一嫩状态的位维移上所做裤的虚功。所这就是功富的互等定骑理。2、位移租互等定理功的互返等定理誉是最基锈本的。堡根据该涨定理，饱假设两怪个状态神的荷载撤都是单厘位力，忧即P1=1、P2=1，则嘉由功的互工等定理即拘式(14州-8)有21(14咽-11弊)1×屠=卖1×即穴=此处的12、21都是由于抱单位力所货引起的位败移，为了挎明显起见茫，改用小柿写字母煎和枪表示登，于是将暗上式写成=这就是位州移互等定属理。它表翁明：第二扣个单位力门所引起的专第一个单邀位力作用累点沿其方枣向的位移戴，等于第狼一个单位唇力所引起页的第二个斤单位力作像用点沿其剃方向的位火移。12211221(14-腹12)需要指出春的是，这狐里的力可浊也是集中饥力，也可暂以是力偶禁，即可以犯是广义单膜位力。位散移也可以必包括角位备移，即是帝相应的广餐义位移。3、反童力互等杰定理这个定宅理也是洽功的互组等定理蜡的一个缸特殊情骑况。它促用来说湖明在超拔静定结板构中假秒设两个洒支座分寨别产生晓单位位迟移时，逮两个状田态中反贱力的互漫等关系掠。图1肢4-2缓1(a钟)表示泳支座1巩发生单霞位位移图14-挤21=1时扔的状态寺，此时数使支座悔2产生枕的反力罚为响，图葡14-刺12(字b)表怀示支座较2发生殖单位位域移方=1时郊的状态省，此时潮使支座乏1产生振的反力尾为聚。rij称为反捧力影响年系数。辜根据功娃的互等分定理，寇有而床=寇=凶1故得=这就是拴反力互鉴等定理具。它表陶明：支素座1发单生单位刻位移所廊引起的制支座2飘的反力陈，等于第支座2背发生单枝位位移店所引起摧的支座英1的反系力。(14-寄13)这一定理街对结构上洲任何两个稼支座都适过用，但应区注意反力雁和位移在圆做功的关骂系上应相菠对应，即冠力对应线没位移，力最偶对应角廉位移4、反力妇位移互等钩定理这个定理玻是功的互旗等定理的匠又一特殊石情况，它疾说明一个运状态中的跑反力和另绸一个状态尾中的位移狮具有互等损的关系。拖图中表示势单位荷载啦F2=1翁作用时，绩支座1的消反力偶为匠，其方向雹设图14-蛋22如图所示制。图表示骂支座1顺弊的既方向发生啄单位转角袍=船1时，绪作用点热沿其方向池的位移为绝。净对这两个续状态应用哨功的互等样定理，就乓有现在雁=吐1，F2=1，故辰有这就是反霉力位移互川等定理。循它表明：趣单位力所至引起的结割构某支座狠反力，等茄于该支座渔发生单位蝇位移时所痛引起的单元位力作用施点沿其方莲向的位移框，但符号两相反。(14-允14)小猾结本章主要仅介绍了梁灰和刚架两脏种静定杆纯系结构的长位移计算维和弹性体包系的互等述定理，并眨着重介绍罗了利用图哥乘法计算文梁和刚架颜的位移的崭适用条件饼及有关步狸骤。静定杆系颂结构的位上移计算是尼以虚功原歼理为基础惯，利用虚架设单位荷怎载来求解蔑结构的位浅移。鉴于段单位荷载衣法要进行业积分计算帅，为避免兄计算过程擦的复杂，份在一定的缘瑞条件下，很可利用图磨乘法来进陕行求解。图乘法的肝适用条件问是：杆段的曾弯曲刚销度EI为常数：杆段的轴克线为直线：和琴两超个弯矩图摩中至少有薄一个为直督线图形。图乘法怨的求解古步骤是君：1、在拟求卸的位置和阅位移方向察虚设相应翁的单位力负荷载；2、分别作鞭出在实际竟荷载和虚肯设的单位达力荷载作镇用下结构错的弯矩图河；3、按照图量乘法的有载关规则进昂行位移的擦计算。此外，本俗章还介绍协了弹性体晶系的四个都互等定理煮，即：功泻的互等定畅理、位移叙互等定理荷、反力互饺等定理、粉反力位移冻互等定理蔬。其中功遣的互等定炊