2023届辽宁省本溪高级中学数学高二下期末学业质量监测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．定义域为的可导函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．2．函数的单调递增区间是（）A． B． C．(1,4) D．(0,3)3．若函数是奇函数，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．4．用数学归纳法证明“”,从“到”左端需增乘的代数式为()A． B． C． D．5．中，边的高为，若，，，，，则（)A． B． C． D．6．在的展开式中的系数是（）A．40 B．80 C．20 D．107．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．8．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下零件数（个）2345加工时间（分钟）264954根据上表可得回归方程，则实数的值为（）A．37.3 B．38 C．39 D．39.59．某单位为了了解用电量(度)与气温()之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温()101318－1用电量(度)38342464由表中数据得回归直线方程中的，预测当气温为时，用电量度数约为（）A．64 B．65 C．68 D．7010．已知x，y的取值如下表示：若y与x线性相关，且，则a=（）x0134y2.24.34.86.7A．2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.911．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是()A． B． C． D．12．在极坐标系中，方程表示的曲线是（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的前项和，则__________．14．已知可导函数，函数满足，若函数恰有个零点，则所有这些零点之和为__________．15．已知函数对于任意实数满足条件，若，则_________.16．设，其中、、、、是各项的系数，则在、、、、这个系数中，值为零的个数为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（I）解不等式：；（II）若函数的最大值为，正实数满足，证明：18．（12分）如图，已知三点，，在抛物线上，点，关于轴对称（点在第一象限），直线过抛物线的焦点.（Ⅰ）若的重心为，求直线的方程；（Ⅱ）设，的面积分别为，求的最小值．19．（12分）已知等轴双曲线：的右焦点为，为坐标原点，过作一条渐近线的垂线且垂足为，.（1）假设过点且方向向量为的直线交双曲线于、两点，求的值；（2）假设过点的动直线与双曲线交于、两点，试问：在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.20．（12分）某种设备的使用年限(年)和维修费用(万元),有以下的统计数据:34562.5344.5（Ⅰ）画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；（Ⅲ）估计使用年限为10年，维修费用是多少万元？（附：线性回归方程中，其中，）．21．（12分）已知复数满足：，且在复平面内对应的点位于第三象限.（I）求复数；（Ⅱ）设，且，求实数的值.22．（10分）男生4人和女生3人排成一排拍照留念.（1）有多少种不同的排法（结果用数值表示）？（2）要求两端都不排女生，有多少种不同的排法（结果用数值表示）？（3）求甲乙两人相邻的概率.（结果用最简分数表示）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

构造函数，利用导数可判断出函数为上的增函数，并将所求不等式化为，利用单调性可解出该不等式.【详解】构造函数，，所以，函数为上的增函数，由，则，，可得，即，，因此，不等式的解集为.故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2、B【解析】

求出函数的导数，在解出不等式可得出所求函数的单调递增区间.【详解】，，解不等式，解得，因此，函数的单调递增区间是，故选B.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，一般是先求出导数，然后解出导数不等式，将解集与定义域取交集得出单调区间，但单调区间不能合并，考查计算能力，属于中等题.3、C【解析】的定义域为，它应该关于原点对称，所以，又时，，，为奇函数.又原不等式可以化为，所以，所以，选C.点睛：如果一个函数为奇函数或偶函数，那么它的定义域必须关于原点对称，我们可以利用这个性质去求奇函数或偶函数中的参数的值.4、B【解析】

分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“从到”左端需增乘的代数式.【详解】由题意知，当时，有，当时，等式的左边为，所以左边要增乘的代数式为.故选：.【点睛】本题主要考查的是归纳推理，需要结合数学归纳法进行求解，熟知数学归纳法的步骤，最关键的是从到，考查学生仔细观察的能力，是中档题.5、D【解析】

试题分析：由，，可知6、A【解析】

把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数.【详解】解：由的展开式中，，令，可得，可得的展开式中的系数是：，故选：A.【点睛】本题主要考查二项式展开式及二项式系数的性质，属于基础题型.7、C【解析】

先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数在上连续单调递增，且,所以函数的零点在区间内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.8、C【解析】

求出，代入回归方程，即可得到实数的值。【详解】根据题意可得：,，根据回归方程过中心点可得：，解得：；故答案选C【点睛】本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点是关键，属于基础题。9、C【解析】

先求解出气温和用电量的平均数，然后将样本点中心代入回归直线方程，求解出的值，即可预测气温为时的用电量.【详解】因为，所以样本点中心，所以，所以，所以回归直线方程为：，当时，.故选：C.【点睛】本题考查回归直线方程的求解以及利用回归直线方程估计数值，难度较易.注意回归直线方程过样本点的中心.10、B【解析】

求出，代入回归方程可求得．【详解】由题意，，所以，．故选：B.【点睛】本题考查回归直线方程，掌握回归直线方程的性质是解题关键．回归直线一定过中心点．11、D【解析】分析：首先根据题意，求得函数在相应的区间上的解析式，之后在同一个坐标系内画出函数的图像，之后将函数的零点问题转化为对应曲线交点的个数问题，结合图形，得到结果.详解：当时，，，在同一坐标系内画出的图像，动直线过定点，当再过时，斜率，由图象可知当时，两图象有两个不同的交点，从而有两个不同的零点，故选D.点睛：该题考查的是有关函数零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定函数的解析式，之后在同一个坐标系内画出相应的曲线，将函数的零点个数转化为曲线的交点个数来解决，非常直观，在做题的时候，需要把握动直线中的定因素.12、B【解析】方程，可化简为：，即.整理得，表示圆心为(0,，半径为的圆.故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、64【解析】分析：由题意，根据数列的和的关系，求得，即可求解的值.详解：由题意，数列的前项和为，当时，，所以点睛：本题主要考查了数列中和的关系，其中利用数列的和的关系求解数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14、【解析】

根据为奇函数得到关于对称，，关于对称，所以关于对称，计算得到答案.【详解】函数为奇函数关于对称函数满足关于对称关于对称恰有个零点所有这些零点之和为：故答案为：【点睛】本题考查了函数的中心对称，找出中心对称点是解题的关键.15、3【解析】

根据题意，求得函数的周期性，得出函数的周期，然后利用函数的周期和的值，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数对任意实数满足条件，则，即函数是以4为周期的周期函数，又由，令，则，即，所以．【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的周期性的判定和函数值的求解，其中解答中根据题设条件求得函数的周期是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16、【解析】

求出的展开式通项为，列举出在的所有可能取值，从而可得出、、、、这个系数中值为零的个数.【详解】，而的展开式通项为.所以，的展开式通项为，当时，的可能取值有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个，因此，在、、、、这个系数中，值为零的个数为.故答案为.【点睛】本题考查二项展开式中项的系数为零的个数，解题的关键就是借助二项展开通项，将项的指数可取的全都列举出来，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）（2，6）；（II）详见解析.【解析】

（I）按零点分类讨论，去掉绝对值，分别求解不等式，即可得绝对值不等式的解集；（II）由函数，求得其最大值，得到，再利用基本不等式，即可求解.【详解】（I）当时，，解得，；当时，，解得，；当时，，解得，无解.综上所述，原不等式的解集为（2，6）.（II）证明：=，即（当且仅当时，等号成立）.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的证明问题，其中解答中合理分类讨论去掉绝对值号是解答含绝对值不等式的关键，同时注意基本不等式在不等式证明中的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.18、(Ⅰ)；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)设A,P,Q三点的坐标，将重心表示出来，且A,P,Q在抛物线上，可解得A,P两点坐标，进而求得直线AP；(Ⅱ)设直线PQ和直线AP，进而用横坐标表示出，讨论求得最小值。【详解】(Ⅰ)设,,则，所以，所以，所以(Ⅱ)设由得所以即又设由得，所以所以所以即过定点所以所以当且仅当时等号成立所以的最小值为【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线与抛物线的位置关系以及圆锥曲线中的最值问题，属于抛物线的综合题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.19、（1）；（2）存在，.【解析】

（1）根据双曲线为等轴双曲线，可求出渐近线方程，再根据点为过作一条渐近线的垂线的垂足，以及，可求出双曲线中的值，借助双曲线中，，的关系，得到双曲线方程．根据直线的方向向量以及点的坐标，可得直线的方程，与双曲线方程联立，解出，的值，代入中，即可求出的值．（2）先假设存在定点，使得为常数，设出直线的方程，与双曲线方程联立，解，，用含的式子表示，再代入中，若为常数，则结果与无关，求此时的值即可．【详解】（1）设右焦点坐标为，，双曲线为等轴双曲线，则渐近线为，由对称性可知，右焦点到两条渐近线距离相等，且．为等腰直角三角形，则由又等轴双曲线中，等轴双曲线的方程为：.设，，，为双曲线与直线的两个交点，，直线的方向向量为，直线的方程为，即代入双曲线的方程，可得，，，而（2）假设存在定点，使得为常数，其中，，，，为双曲线与直线的两个交点的坐标，①当直线与轴不垂直是，设直线的方程为，代入双曲线的方程，可得，由题意可知，，则有，，要使是与无关的常数，当且仅当，此时，.②当直线与轴垂直时，可得点，，若，亦为常数.综上可知，在轴上是否存在定点，使得为常数．【点睛】本题考查等轴双曲线的方程、直线与双曲线位置关系中定点、定值问题，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合应用，对运算求解能力的要求较高．20、(1)详见解析;(2);(3)当时，万元.【解析】（1）直接将四个点在平面直角坐标系中描出；（2）先计算，，再借助计算出，求出回归方程；（3）依据线性回归方程求出当时，的值：【试题分析】（1）按数学归纳法证明命题的步骤：先验证时成立，再假设当时，不等式成立，分析推证时也成立：(1)(2)；所求的线性回归方程：(3)当时，万元21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（I）设,利用复数相等的概念求出复数z;（Ⅱ）先计算出，再求a的值.【详解】解；（Ⅰ）设，则，解得或（舍去）..（Ⅱ），，，.【点睛】本题主要考查复数的求法和复数的运算，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.22、（1）5040；（2）1440；（3）.【解析】

（1）根据排列的定义及排列数公式,即可求得总的排列方法.