材料力学讲义三

Additionalremarksforbending第十二章弯曲的几个补充问题§12–1非对称弯曲

(Unsymmetricalbending）

§12–2

开口薄壁杆件的切应力弯曲中心

(Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexural

center)第十二章弯曲的几个补充问题

(Additionalremarksforbending）BA§12-1非对称弯曲(Unsymmetricalbending)一、非对称弯曲(Unsymmetricalbending)

横向力虽然通过截面的弯曲中心，但与形心主惯性平面存在一定夹角。在这种情况下，梁弯曲后的轴线不在力的作用平面内，这种弯曲变形称为斜弯曲.yzxFyFzF二、斜弯曲的分析方法

(Analysismethodforunsymmetricalbending)2.叠加(Superposition)对两个平面弯曲进行研究，然后将计算结果叠加起来FzFyyzFjBAyzxFyFzF1.分解(Resolution)

将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲梁在垂直纵向对称面xy面内发生平面弯曲。z轴为中性轴yxz挠曲线梁的轴线对称轴垂直纵向对称面xyz梁的轴线对称轴水平纵向对称面梁在水平纵向对称面xz平面内弯曲，y轴为中性轴。挠曲线

三、梁内任意横截面上的内力分析

(Analysisofinternalforceonanycrosssection)BAFyFzyzxxMy

=Fz

x=Fxsin(使梁在xz平面内弯曲，y为中性轴)Mz

=Fy

x=Fxcos(使梁在xy平面内弯曲，z为中性轴)mmmmzyMyxMz

四、横截面上的应力分析（Stressanalysisofcrosssections)

mmzyMyxMz1.与My

相应的正应力为(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMy)2.与Mz

相应的正应力为(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMz)C点处的正应力(ThenormalstressatpointC)C(y,z)五、横截面上中性轴的位置(Locationofneutralaxisoncrosssection)中性轴上的正应力为零假设点e(z0

,y0

)为中性轴上任意一点zyxMzOe(z0,y0)中性轴方程为中性轴是一条通过横截面形心的直线(theneutralaxisisalinewhichcrossthecentroidofanarea)

中性轴My中性轴的位置由它与y轴的夹角确定

zyx中性轴

公式中角度

是横截面上合成弯矩

M的矢量与y轴的夹角。

横截面上合成弯矩M为y0yzO

公式中角度y

是横截面上合成弯矩

M的矢量与y轴的夹角.M中性轴MzMyyxyM中性轴

z

yO

讨论：（1）一般情况下，截面的IzIy,故中性轴与合成弯矩M所在平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征。所以挠曲线与外力（合成弯矩）所在面不共面,此为斜弯曲的变形特征。z

（2）对于圆形、正方形等Iy=Iz

的截面，有=y，梁发生平面弯曲(planebending)，正应力可用合成弯矩M按正应力计算公式计算。梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线，故梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。中性轴

z

yOMyzy中性轴六、最大正应力分析（Analysisofmaximumnormalstress)

作平行于中性轴的两直线分别与横截面周边相切于D1、D2两点，D1、D2

两点分别为横截面上最大拉应力点和最大压应力点。D2D1OD1D2zyzyO中性轴中性轴

对于矩形、工字形等有两个相互垂直的对称轴的截面，梁横截面的最大正应力发生在截面的棱角处。可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉、压应力点的位置，无需定出中性轴。D2D1O七、强度条件(Strengthcondition)斜弯曲的危险点处于单向应力状态，所以强度条件为强度条件的应用设计截面强度校核确定许可载荷八、斜弯曲的挠度(Deflectionofunsymmetricalbending)分别求出Fy

引起的挠度wy

和Fz

引起的挠度wz方法：叠加原理wzwywy总挠度为w总挠度与轴的夹角为y

xABCzyF2=2kNF1=1kN

0.5m

0.5m

4080zyO

ad

b

c例题1矩形截面的悬臂梁承受荷载如图所示.试确定危险截面上危险点所在的位置，计算梁内最大正应力的值.解:（1）外力分析梁在F2的作用下将在xOz

平面内发生平面弯曲(y

为中性轴）故此梁的变形为两个相互垂直平面弯曲的组合----斜弯曲梁在F1的作用下将在xOy平面内发生平面弯曲（z为中性轴）

xABCzyF2=2kNF1=1kN

0.5m0.5m

（2）绘制弯矩图绘出Mz

(x)图绘出My(x)图

A截面为梁的危险截面

Mz

=1kN·m

My=1kN·m

xABCzyF2=2kNF1=1kN

0.5m

0.5m

1kN·mxMz(x)图1kN·mxMy(x)图Mz使A截面上部受拉，下部受压My使A截面前部受拉，后部受压zyxMyzyxMzzyx（3）举应力古分析D1是最大拉想应力点D2是最大飘压应力涂点两点正易应力的姻绝对值薄相等拉压拉压D2D18040zyzyxMyzyxMz拉压拉压（4）欢中性轴菠的位置8040zy中性轴（5）贩绘制总饰应力分银布图8040zy中性轴D1D2+-D1=7.0仪2D2=-7.朋02拉压例题2闻20晒a号工字瓶形悬臂梁弊受集度为q的均布畅荷载和宣集中力F=qa/2靠作用,宵力F作用在yOz平面内竟.已知培钢的许苹用应力[]=1迟60M泽Pa，a=1m。试求此卡梁的许弊可荷载犁集度盒[q].40°FqaaACByz解：将力F向y轴和z轴分解Fy与均布荷兴载q使梁在xy平面内扯产生弯捐曲(z为中性战轴)Fz使梁在xz平面内产煮生弯曲(y为中性轴叶)z40°FqaaACByFyFzFzACBxz面qFyACBxy面DD0.61亚7abcda0.45冬6qa20.26镰6qa20.38而3qa2Mz图adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My图（1）军画弯矩图A、D两截面宵可能是它危险截闭面MzA=0戚.26嚼6qa2MzD=0.商456qa2MyA=0.笛642qa2MyD=0怀.44渠4qa2A截面D截面（2）计捉算应力查工字捷钢表舅20a恒号A截面D截面梁的危狼险点在A截面棱晨角处§12–邻2开口薄朗壁杆件湿的切应迁力弯及曲中心(Sh伶ear狱st壤res概so以fo贞pen迫th胁in-魔wal穗l毕mem悟ber参s.Fle剂xur手alcent葬er)一、非对壁称截面梁怠平面弯曲旱的条件(Con燃diti书ons理ofp殖lane剖ben念ding携for鱼uns该ymme互tric角alb是eams狐)前面讨无论的平芝面弯曲合,仅限惩于梁至向少有一麦个纵向兔对称面作,外力她均作用排在该对企称面内捞且垂直肌于轴线蹄.对于非芬对称截棒面梁.榨横截面赵上有一碰对形心背主惯性与轴y,z,形心主悬惯性轴y,z与轴线x组成两电个形心僵主惯性以平面xOy,xOz形心主惯性平面y,z轴为形心主惯性轴zxy1.实体缎梁（Bod份ybe侦ams)当横向外史力作用在俱形心主惯扁性平面的样平面内,梁发生平内面弯曲.否则将会席伴随着扭州转变形.但由于实瓦体构件抗草扭刚度很弱大.扭转变蜘形很小,其带来的晒影响可以适忽略不计.2.开影口薄壁尸截面梁(Op税en厉thi湾n-w播all成s脑ect宁ion诊s)对于开俯口薄壁夸截面梁,即使横泰向力作拣用于形哭心主惯腿性平面派内(非替对称平赌面),则梁除巧发生弯昆曲变形朱外,还将发盾生扭转否变形.只有当馋横向力交的作用租线平行都于形心饲主惯性酒平面并胶通过某攻个特定存点时,梁才只发吩生平面弯施曲,而无扭转学变形.这个特定辱点称为横驳截面的弯曲中心(Sh压ear陪ce栏nte怠ro墙rf坡lex慌ura这lc兰ent芳er),用A表示.3.弯曲词中心的确沈定（Det即ermi箱nati羽ono货fth撇esh满ear史cent午er)（1）弯曲中心(Sh倾ear军ce工nte退ro贿rf野lex奖ura磁lc筋ent甘er)切应力龙合力的诸作用点击就是截尖面弯曲领中心(使杆不发巡寿生扭转的酒横遇向力作用质点).（2）弯曲中浑心的位锻置(Loc涛ati俘on麦of滨the尘sh拘ear磨ce钱nte侄r)（b）具跳有一个对泄称轴的截长面,其弯盆曲中心一苦定在这个滔对称轴絮上.（c）若筐截面的中葛线是由若旗干相交于妙一点的直钳线段所组丑成，则此摸交点就招是截面的衰弯曲中心惧.AAA（a）能具有两稿个对称头轴或反良对称轴圈的截面芽,其弯脸曲中心饲与形心致重合.例3树试画出翅下列各薄闷壁截面弯同曲中心的影大致位置侵;若剪羽力FS的方向阀垂直向烧下,试歇画出切晶应力流监的方向含.AAAAAAAAAA例题4柱一庙槽钢制成思的梁受方浑向平行于章其腹板的蜜横向荷载井作用.钢监槽截面简辈化后的尺亿寸见图.（2）皂确定横京截面上臣剪力作炒用线的础位置（1）弹分析横崇截面上龄腹板,屋翼缘两包部分切应力t和t1的变化福规律q(x)F1F2tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ解：（1）分析腹板上切应力的变化规律腹板上切坡应力沿高痕度按二次境抛物线规沾律变化.tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ（2）蒸横截面称翼缘上领的切应崖力q(x)F1F2mmnnxdxFSMFSM+dMnmmndxxs1nmnmdxs11沿翼缘厚仆度用纵向年截面AC截出一啊体积元病素C-m在C-m的两个玩截面D-m,C-n上分兴别有由锯法向内跑力元素在C-m的两个截皆面D-m,C-n上分别彻有由法喷向内力询元素组滩成的拉丝式力FN1*,FN11*.mnOzydxmDCAξdAAξDmCdxδB由于翼缘狱很薄,故牧可认为1,11,沿翼缘腔厚度保持累不变,且末其值与翼纤缘中线上腰的正应力奴相同.δ为翼缘厚度ξ为从翼缘外端到所取纵截面AC间的长度mnOzydxmDCAξAξDmCdxδBdAA*所以在AC截面上猎一定存丽在着切登向内力之元素dFS’，因为翼循缘横截落面也是箩狭长矩含形,故庙可采用糖切应力扶沿壁厚泄不变及孝其方向徐平行于警翼缘长充度的假忙设.由于根据剪耽应力互生等定理盏,横截坚面上的切应力绪和AC上的切应华力如图所徒示.AξDmCdxδB平衡方程Fx=0经过整理,即得AξDmCdxδB由切应力互等定理可知得横截面上的切应力mnOzydxmDCAξ式中FS—为横截