数学专业毕业优秀论文

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求矩阵特征向的三种方法数学专业学生指导教师

张廷杨波摘要关词Differentfromthoughtofonlyconsideringtouserowelementaryofmatrix,thispaperof“characteristicrootandeigevectorsynchronouslyrequestsolutiondeducethemethodofusing“ierelementarycounterchangetorequesttheeigenvector”.Theyarededucedtheoreticallythetext.ifmethodoftheofwillcalculation.Keywords:rowelementarycounterchange;tierelementarycounterchange;matrix;eigenvector.、义定义

所谓数域P上矩的初等变换是指下列三种变换：）））

以P中个非零的数乘矩阵的某一行（列.把矩阵的某一行（列）的c倍加另一行（列）互换矩阵中两行（列）的位.定义

设A是数域P上性变换果于数域P中一数一个非零向量，使得A

.那么为A的一特征值，而称属于特征值一特征向量.定义3

设A是域P上n阶阵

是一个文字.矩

E

的行列式|

A|

称为A的特多项式是数

n1

域P上的一个n次多式定义4设向量组,...,(1s

不线性相关即没有不全为零的数

k,...,k1

使3

0006k

11

...2

就称为线性无关或者说向

1

2

称为线性无关，如果由k

1

2

可以推出kkk1s

.、行等换矩的征量此方法求n阶阵的特征向量，常是解齐次线性方程

(

EA0

，而解齐次线性方程组一般是用行初等到变换要时变换列化系数为阶梯形

Er

C

rn

然后给自由变量一些赋值进而求.具体求解步骤是：1线性空间V中取组基，写出A在组基下的矩阵A；2出A的征多项式

在数域P中全的根，它们也就是线性变换的全特征值；3所得的每一个特征值逐代入方程组，对于每一个特征值解方程组，求出一组基解系它们是于个征值的n个线无的特向量在基,...,2向量.

下的坐标这我也求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征例设域P上维空间V线性变换关于基的特值与特征向.解因特征多项式为

,

的矩阵为A=

33

求f(E-A|=

=

2)

2

(所以特征值是

=-2(两)和=4求相应于A的特征值

的征向量（

33E-A00即

1

-

2

-

3

=0，它的基础解系是4

161201612022D（E-A）=因此，属于

1

=-2的两个线性无关的特征向量

=

1

+

，

=-

1

+

而属于

1

=-2的全部向量就是

K

1

+

K

2

，

K

，1

取遍数域P中全为零的全部数.求相应于A的特征值

2

=4的征向量（

2

31E-A1212即

+-

=012-6

=0它的基础解系是：因此属于

=4的个线性无关的特征向量是

=

1

+

2

+2

，而属于=4的全部特征向量就是K是域P中任意不等于零的.、列等换矩的征量设n阶阵A的特根列初等变换化为

)

的同时，对单位阵E施同样的列初等变换就得到矩阵

n

D

n)

，则矩阵D的一个列向量都是A的于征根

的特征向量们构成特征子空间V

的一个基（这里r=秩（）事实上，由矩阵的初等变换和分块矩阵运算性质可得n)n)

（E-AD

n)

=0.由于D是位阵E经干初等列变换得到的分块矩阵；因而它的n-r个列量线性无关，且每个列向量都是（）x=0的解向量从而结得.5

44103100200011Kj例2求R上阵A=

321

的特征根与特征向量

解：f(x)=A

=(x-4)(xx

矩阵A只一个实根

=4I=

3..................1从而

为A的属于特征根4的个特征量，而

，K

0,K

R,是A的属的全特征向量要求出矩阵A的一个特征根征量，只需对每一个上述方法一一求解便.推：若n阶矩阵A仅两个特根且秩（

i

E-A

j

的重数（i

j,i,j=1,2对（

i

E-A）经列初等变换化为（

B

j

n)

B的一个列向量都是的属特征根

j

的特征向量，且它们恰好构成特征子空间V

的一个基.j事实上，秩（

i

E-A）=

j

的重数（i

j,i,j=1,2A可对角化存在可逆阵P

1

A=

P

1

2

2

P=QP6

i0A0xi0A0x1027

（jE-AiE-A=（

j

E-

P

QP

i

E-

P

QP）=

j

E-Q（

i

E-Q=

P

（

j

E-Q

i

E-Q）P=0而B的向量恰（E-A的空间的一个基所以（jE-A）x=0的一基础解系

r

j

个列向量是齐次线性方程组即B的r列量是从属于j

j

的线性无关的特征向.例3求矩A=

3

的特征根与特征向量0解f(x)=0x2A的征根是5和1

=

(x2(xI

=

...

...

1

...

20......00

...

A的于特征根5的特征向量是1

，

，K12

不全为0，

K1

RA的于特征值1的征向量是K

3

K3

0，

K

R对于只有两个特征根的矩阵来说求它的属于不同特征根的特征向量常重数较大的那个特征根，这样作初等变换时比起另一个来更方便.0还有一些矩阵比如

等然保有两个特征根并满秩7

E00E001（

i

E-A

j

的重

j,i,j=1,2条件，因而只对

作列初等变换即可当然，并不是所有矩阵运用此法求特征向量都相对简便，仅供参.§4、阵特根特向的步解对f(

E

A

同时进行列与行的初等变换，将其化为对角形

—矩阵B(

).即只要求出有可逆矩阵n阶使p((…,f(1显然每个

f

i

(

（不是零多项式其中Q(就是在对f(进行列的初等变换时，同时对I进相同的列初等变换的结.（或记录）当然p(是对行初等变换时，同时对I进行行初等变换的结.只是后来不用它，不必记录）设f(的任意一个根（A的征根为A的特征多项式=f(1f

(设

f1

(

f

2

(

f

(中有t个为0，n-t个为（t

1）设f((…=fii

it

(其余的(ii1

i

2

i

t

是1中t个然f(秩为n–t.即有p((i

(…,i

(it

(※)其中(((是Q(中第iiit

i1

i

2

i

t

列的列向量由于p(与Q(皆是可逆矩阵由（※）可得f((q(q(iiit

而q((…,q(线性无关即它们就是方程组iiitf(

)

n

nt

的一个基础解系故

(i

q(…,i

(就是A的于特征根特向.it对f(同时施行行与列的初等,易将其化为对角形

—矩阵B(

),只需记录下Q(

)就了这免去了对B(

)的(

是A的个特征根时非0列量再施初等变换的过.面举例说.例求矩阵A的征根与特征向,中A=

10

8

00以-1,加00以-1,加20到第行上1110021解

I

=

......列初等变换

100第2行乘02..................

[I]相同

0

0

100行乘以加到第行上

00.........0

第列乘加到1列上去0000

0.........0

0知B(

)=

0000Q()=0

A的征根是1(2重根)与1.

1

=1时B(

1

)中应的Q(

1

)中两个列向量是

(1,0,2)'

与9

(0,1,0)(0,1,0)

'

.

2

=-1时与B(