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文档简介
绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学〔理〕〔北京卷〕本试卷共5页,150分。考试时长120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。第一部分〔选择题共40分〕一、选择题共8小题,每题5分,共40分。在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。⑴已知集合A={%I%2—2%=0},B={0,1,2},假设AnB=(A){0} (B){0,1} (C){0,2} (D){0,1,2}(2)以下函数中,在区间(0,十句上为增函数的是(A)j=Jx+1 (B)J=(%—1)2 (C)J=2-% (D)y=log05(%+1)k<m-n+1/输入m,n的值//输出S否k=k<m-n+1/输入m,n的值//输出S否k=m,S=1开始结束S=S・kk=k-1(3)曲线(.八,〔。为参数〕的对称中心y=2+sin0(A)在直线y=2%上 (B)在直线y=-2%上(C)在直线y=%-1上 (D)在直线y=%+1上(4)当m=7,n=3时,执行如下图的程序框图,输出的s值为(A)7 (B)42 (C)210 (D)840(5)设{a}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{a}”为递增数列的nn(A)充分且不必要条件 (B)必要且不充分条件(C)充分且必要条件 (D)既非充分也非必要条件%+y-2N0(6)假设%,y满足|息-y+2>0且z=y-%的最小值为-4,则k的值是y>011(A)2 (B)-2 (C)- (D)--乙 乙⑺在空间坐标系O—华中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2),假设S,S,S分, 1 2 3别表示三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx则坐标平面上的正投影图形的面积,则(A)S=S=S (B)S=S且S丰S(C)S=S且S丰S(D)S=S且S中S123 12 3 1 13 3 2 23 1 3(8)有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.假设A同学每科成绩不低于B同学,且至少有一颗成绩比B高,则称“A同学比B同学成绩好,”现在假设干同学,他们之中没有一个人比另一个人成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样的。问满足条件的多少学生(A)1 (B)3 (C)4(D)5第二部分〔非选择题共110分〕二、填空题共6小题,每题5分,共30分。⑼复数[1〉 .i-1)(10)已知向量a、b满足la1=1,石=(2,1)且ka+b=O,则队1=.(11)在设曲线C经过点(2,2),且y2-x2=1具有相同渐近线,则C的方程是.4TOC\o"1-5"\h\z(12)假设等差数列{a}满足a+a+a〉0,a+a<0,则当n=时,{a}的前n项和最大.n 7 8 9 7 10 n(13)把5件不同的产品摆成一排,假设产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有 种.兀兀r(14)设函数f(x)=Asin(3x+9)〔A,3冲是吊数,A〉0,3〉0〕假设f(x)在区间[下,7]上具有单62\o"CurrentDocument"兀 2兀 兀调性,且f(—)=f(:一)=-f("),则f(x)的最小正周期为 .2 3 6
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤。,…C f兀…c ,,一1(15)〔本小题13分〕如图,在AABC中,/B=—,AB=8,点d在BC边上,且CD=2,cos/ADC=7〔I〕求sin/BAD.〔II〕求BD,AC的长.(16)〔本小题13分〕李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下〔假设各场比赛相互独立〕场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512〔I〕从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;〔II〕从;〔111〕记工是表中10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数,比E(X)和I的大小。
(17乂本小题14分〕如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM和MD的中点,在五棱锥P-ABCDE中,F为PE的中点,平面ABC与棱PD,PC分别相较于点G、H.〔I〕求证:AB//FG;〔II〕假设PA1平面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成的角,并求线段PH的长__兀rxE[0,—]2(18)〔本小题13分〕已知函数f(x)=xcosx-sinx,〔I〕求证:f(x)<0;〔II〕假设〔I〕求证:f(x)<0;〔II〕假设a<(19)〔本小题14分〕已知椭圆C:%2+2y2=4.〔I〕求椭圆C的离心率;〔II〕设O为原点,假设点A在椭圆G上,点B在直线y=2上,且OA±OB,求直线AB与圆%2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.(20)〔本小题13分〕对于数对序列P(a,b),(a/),...,(a,b),1 1 2 2,,nn记T(P)=a+bT(P)=b+max{T(P),a+a+•••+〃}(2<k<n)其中max{T(P),a+ak其中max{T(P),a+ak-1 1 2+…+〃}表示T(P)和a+a+…+〃两个数中最大的数.k k-1 12 k〔I〕对于数对序列P(2,5),(4,1),求T(P),T(P);, 1 ,2〔II〕记m为四个数a、b、c、d的最小值,对于两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P(a,b),(c,d)和P'(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=b时的情况比较T(P)和T(P')的大小;22〔IID在由5个数对(U,8),(5,2),(16,H),(11,11),(4,6)组成的有序数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值〔只需写出结论〕。绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学〔理〕〔北京卷〕参考答案一、选择题〔共8小题,每题5分,共40分〕TOC\o"1-5"\h\z〔1〕C 〔2〕A 〔3〕B 〔4〕C〔5〕D 〔6〕D 〔7〕D 〔8〕B二、填空题〔共6小题,每题5分,共30分〕〔9〕一1 〔10〕<5x2y2〔11〕一一——=1 J=±2x 〔12〕8312〔13〕36 〔14〕兀三、解答题〔共6小题,共80分〕〔15〕〔共13分〕解:〔I〕在AADC中,因为COS/ADC=1,所以sin/ADC=473。所以sin/BAD=sin(ZADC一/B)=sin/ADCcosB-cos/ADCsinB4V1311v33<3= x一—一乂——= TOC\o"1-5"\h\z7 27 2 14〔II〕在aabd中,由正弦定理得83<3_AB-sin/BAD8义 _^B^^^ ^3,sin/ADB 4<3在NABC中,由余弦定理得解:解:〔〔#〕〔共14分〕AC2=AB2+BC2—2AB•BC-cosB1=82+52—2x8x5x=492所以AC=7〔16〕〔共13分〕解:〔I〕根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.〔II〕设事件A为“”事件B为“”,事件C为“”。则C=ABIJAB,A,B独立。32根据投篮统计数据,P(A)=5,P(B)=5.P(C)=P(AB)+P(AB)3322=—x—十—X—5555_13—251325.〔m〕ex=x.
〔I〕在正方形中,因为B是AM的中点,所以AB//〔I〕又因为AB仁平面PDE,所以AB〃平面PDE,因为ABu平面八8尸,且平面ABF口平面PDF=FG〔II〕所以AB/FG。因为PA1底面ABCDE,所以〔II〕所以AB/FG。因为PA1底面ABCDE,所以PA1AB,PA1AE.如图建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),BC=(1,1,0).GEEDACMx设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),则n-AB=0,一即n-AB=0,一即〈n•AF=0,x-0,y+z-0.令z=L,则令z=L,则y=一1。所以n=(0,—L1),设直线BC与平面ABF所成角为a,则sina=cosin,BC设点H的坐标为(u,v,w).。因为点H在棱PC上,所以可设PH=九PC(0<九<D,,即(u,v,w-2)=九(2,1,—2).。所以u=2九,v=九,w=2一2九。因为n是平面ABF的法向量,所以n-AH=0,即(0,-1,1)・(2九,九,2-2九)二0。2 422解得九二—,所以点H的坐标为(—, ,—)-o所以PH=解:解:〔I〕由f(x)=xcosx—sinx得f'(x)=cosx一xsinx一cosx二一xsinx。TOC\o"1-5"\h\z兀… c 「兀因为在区间(0,5)上f(x)=-xsinxy。,所以f(x)在区间0,-上单调递减。从而f(x)<f(0)=0。sinx sinx[II)当x>0时,“ >a”等价于“sinx-ax>0”“ <b”等价于“sinx-bx<0”。xx令g(x)=sinx-cx,贝Ug'(x)=cosx-c,八 …兀、当c<0时,g(x)>0对任意xe(0,3)恒成立。一 兀、 C 「八兀一 当c>1时,因为对任意xe(0,-),g'(x)=cosx-c<0,所以g(x)在区间0,-上单调递减。乙 乙/、 /八、八 …兀、从而g(x)<g(0)=0对任意xe(0,万)恒成立。兀当0<c<1时,存在唯一的xe(0,7)使得g<x)=cosx-c=0。02 0 0 …兀、g(x)与g(x)在区间(0,—)上的情况如下:x(0,x)0x0(x,勺02g'(x)+0g(x)/X因为g(x)在区间[0,x]上是增函数,所以g(x)>g(0)=0。进一步,"g(x)>0对00TOC\o"1-5"\h\z…兀、 ,兀、一兀八 八 2任意xe(0,彳)恒成立”当且仅当g(-)=1--c>0,即0<c<-,2 2 2 兀2 兀、 一综上所述,当且仅当c<-时,g(x)>0对任意xe(0,彳)恒成立;当且仅当c>1时,兀 2,、八 八兀g(x)<0对任意x£(0,恒成立。一 sinx 兀、,,、、一一,一.2 ..一.一,所以,假设a<丁<b对任意x£(0中恒成立,则a最大值为木,b的最小值为1.〔19〕〔共14分〕解:x2y2〔I〕由题意,椭圆C的标准方程为二+j二1。42所以a2=4,b2=2,从而c2=a2—b2=2。因此a=2,c=<2。…一-、-c22故椭圆C的离心率e -。a2[II)直线AB与圆x2+a=2相切。证明如下:设点a,b的坐标分别为(x0,y0),“,2),其中x0丰0。因为OA1OB,所以赤•OB=Q,即比+2y=0,解得t=-巴00当x0=t时,y。=t2,代入椭圆C的方程,得"士、垃,故直线AB的方程为x=±、'2。圆心O到直线AB的距离d=、2。此时直线AB与圆x2+y2=2相切。y-2当x丰t时,直线AB的方程为y-2=4一(x-1),TOC\o"1-5"\h\z0 x-t0即(y-2)x-(x-1)y+2x-ty=0,0 0 00圆心0到直线AB的距离|2x-ty0 0-2)2+(x-1)2
0又x2+2y2又x2+2y2=40000Jy22x+——o-
0x
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