20192020学年四川省成都市高新区高一(下)期末数学试卷(理科)(含答案及解析)

2019-2020学年四川省成都市高新区高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析只有一项是符合题目要求一、选择题（每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.(5分)【分析】的.1.(5分)【分析】由余弦的2倍公式可得等式为进而求出其值.cos-，【解答】解：cos2^--sin【解答】解：cos2^--sin2~^-=cos(2

6 6-A)6兀1

cos =--,3 2故选：C.【点评】本题考查余弦的2倍角公式的应用，属于基础题．2.2.（5分）若xy，z为实数，则下列命题正确的是（ ）A.若%A.若%>y,B,若%>y,贝Usinx>sinyc.若％〈丁,则x2<.y2D.若三卷<0,则xc.若％〈丁,则x2<.y2D.若三卷<0,则x<yz【分析】直接利用不等式的性质的应用和三角函数的值的应用求出结果．【解答】解:对于选项A：%=1,y=0,故工没意义，故错误.y对于选项B-'TT _TTx=2n,y="-,所以£in2兀二0<£irr^-二L，故错误.对于选项C：x=-2,y=-1,则x2>y2,故错误.对于选项。:考<0,所以x<y，故正确.Z乙故选：D.【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．（5分）等比数歹也an｝中，若a3=4,则a2•a4=（ ）A．8BA．8B．16C．32D．64由等比数列通项公式得。2・。4=5H2，由此能求出结果.--I【解答】解：•・•等比数列｛an｝中，a3=4,.*.«2*«4=叼2=42=16.故选：B.【点评】本题考查等比数列中两项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．TOC\o"1-5"\h\z（5分）已知sina=3cosa,那么tan2a的值为（ ）A.2 B.-2 C.— D.-~^~4 4【分析】利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出.【解答】解：•.,sina=3cosa,••tana=3.那么tan2a=3!」=7=一且l-tarin1- 4故选：D.考查了推理能力与计算能力，【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式考查了推理能力与计算能力，属于中档题.（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（正视图侧视图正视图侧视图Q俯视图A.8 B.8C.8-2tt，一般需从俯视图【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥.，一般需从俯视图【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的棱长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为匕=23=8,圆锥的体积为岭=1・冗・12・2=爸，则该几何体的体积为V=8-爸，故选：A.【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．6.（5分）在△A5C中，内角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知」一=—^，则4cosCcosAABC是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知可求得sin2A=sin2C,结合范围24,2CG（0,2n）,可求2A=2。，或2A+2C=m解得A=C,或4+。=子即可得解.解：；-^二-^,可得acosA=ccosC,cosCcosA；.由正弦定理可得：sinAcosA=sinCcosC,可得：sin2A=sin2C,VA,CE（0,n）,可得：2A,2CE（0,2n）,A2A=2C,或2A+2C=n,・•・解得A=C,或4+。=.3,即^ABC是等腰或直角三角形.故选：D.【点评】本题主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题．7．（5分）随着“一带一路”、长江经济带等发展战略的实施,交通运输发展的外部环境和内在要求面临深层次的调整和变化．内河水运作为现代综合交通运输体系的重要组成部分,迎来了新的历史机遇．为做好航道升级的前期工作,成都市组织相关人员到府河现场进行勘察.现要测量府河岸边A,B两地间的距离.如图，在B的正东方向选取一点C,测得CB=2km,A位于C西北方向，A位于B北偏东15°,则A、B两地间的距离为（ ）【解答】解：在△45。中，依题意知5=工工巨L,。=上二21212 4那么A=TT—B—C二七，由正弦定理得建二BC,sinCsinA又因为CB=2km,故选：C【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，考查了正弦定理和运算能力，属于基础题．8.（5分）已知m、n是两条不同直线，a,0是两个不同平面，则下列说法正确的是（ ）A.若m//a,m〃0，则a〃0B.m〃0,n〃0,mua,nua,贝Ua〃0C,若m/n,m华a,nua,则Um〃aD.m〃a,nua，则m/n【分析】对于A,a与0相交或平行；对于B,a与0相交或平行；对于C,由线面平行的判定定理得m〃a；对于D,m与n平行或异面.【解答】解：由m、n是两条不同直线，a,0是两个不同平面，知：对于A，若m/a,m〃0,则a与0相交或平行，故A错误；对于B，若m//0,n//0,mua,nua,则a与0相交或平行，故B错误；对于C,若m/n,mUa,nua,则由线面平行的判定定理得m〃a,故C正确;

对于D，若m〃a,nua，则m与n平行或异面，故D错误.故选：C.【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.9.(5分)已知数列｛册｝的通项公式册=9.(5分)已知数列｛册｝的通项公式册=1

(2n-l)(2n+l)(nGN*),Sn为数列｛an｝的前n项和，满足S〃*(nGN*),则n的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.5【分析】首先把数列的关系式进行变换，进一步利用裂项相消法求和求出数列的和，解不等式可得所求最小值.11C2n-1)Qn+1)2'2rl2不等式可得所求最小值.11C2n-1)Qn+1)2'2rl2"十11,1【解答】解：数列｛知｝的通项公式知由于满足S〃>3(nGN*),所以卢丁:>二，解得n>4,2n+l9所以n的最小值为5.故选：D.【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式,裂项相消法的求和,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.10.(5分)如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD是正方形，其余各面都是全等的等边三角形，E、F、G、H分别为PA、PD、PC、PB的中点.在此几何体中，给出下面四个结论,其中正确结论的个数是( )①平面£FG〃平面A5CD；②£G=/BD；③直线PA〃平面BDG；④直线FH与直线PA的夹角为90°.

A．B．2A．B．2C．3D．4【分析】把几何体的平面展开图还原得到正四棱锥P-ABCD，点E、F、G、H分别是棱PA、PD、PC、PB的中点，连结AC、BD，交于点0,连结P0,利用面面平行的判定定理、三角形中位线定理、线面平行、线面垂直的判定定理能得到结果．【解答】解：把几何体的平面展开图还原得到正四棱锥P-ABCD,点E、F、G、H分别是棱PA、PD、PC、PB的中点，连结AC、BD,交于点0,连结P0,对于A，：点E、F、G、H分别是棱PA、PD、PC、PB的中点，•・EF〃AD,FG//DC,,?ADnDC=D,EFnFG=F,・•.平面EFG〃平面ABCD，故①正确；对于②，•二£是心中点，G是PC中点，.•・£G=Lc,「ABCD是正方形，.，.AC=BD,•••£G=f：BD,故②正确;对于③，：G是PC中点，0是AC中点，，PA/0G:0Gu平面BDG,：,PA〃平面BDG,故③正确;对于④，：PA=PC,0是AC中点，，P0±BD又AC±BD,P0nAC=0,P0,ACu平面PAC・，・BD，平面PAC,・•PAu平面PAC,ABD.LPA,在^PBD中，F,H分别为PD,PB的中点，・•・FH//BD,•.FH±PA..•.直线FH与直线PA的夹角为90°,故④正确.故选：D.【点评】本题考查真假命题的判断,考查面面平行的判定定理、三角形中位线定理、线面平行、线面垂直的判定定理等基础知识,考查运算求解能力,是中档题．M是线段AC（除端点外）上一动点，则sin/11.（5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，的取值范围．【解答】解：因为三角形AD1C是等边三角形，所以/口1板苫-，于是sin/AD1M+sin/D1MA=sinZAD1N+sin（^-。）=ginZ^AD1 m又.••/ADrME（0,子），因止匕,因止匕,3岂1口（/自口］七十］「）E3）.【点评】本题考查三角函数的性质，和差公式与辅助角公式，三角函数值域的求法，考如图，矩形ABCD（AD<AB如图，矩形ABCD（AD<AB）的周长为4,把4ABC沿AC向^ADC折叠后成12．（5分）设矩形的一条边长，由周长可，再由基本关系式可得其面积的ZB'=ZD=90°,AD=BC=查学生的运算能力与分析问题解决问题的能力，属于中档题．【分析】由题意可得△B'PC/△DPA可得S△APD=S△B'PC得相邻的另一条边长，求出三角形APD的面积的表达式，最大值．【解答】解：由题意可得/DPA=ZB'PC（对顶角相等），B'C，所以△B'PC/△DPA，则PC=AP,S△APD=S△BPC,设AB=%，由题意可得BC=2-％，设PC=a，则DP=%-a,在Rt△ADP中，AD2+DP2=AP2,所以(2-%)2+(%-a)2=a2,解得：q=-上也里，所以DP=X-4=?匕2,所以^aADP=AD*DP=—(2-%)•(%-a)=12(2一%)P,xTj=(%+2)+3,

x.所以△）.所以△）PC的最大面积3-2■:可故选：A.【点评】本题考查三角形全等及基本关系式的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）TOC\o"1-5"\h\z13.（5分）已知sin0-cos0=—，贝ljsin20= .4 一【分析】将等式两边平方，整理可得结果．【解答】解：将sin9-cos。=」两边平方可得：sin20+cos20-2sin9cos9=1-sin29=X,4 16所以sin29=-^|,故答案为：-y|.【点评】本题考查同角三角函数的正余弦的平方和及倍角的正弦公式的应用，属于基础题（5分）已知不等式ax2-bx+2<0的解集为{xIKx<2},则a+b=4.【分析】不等式ax2-bx+2<0的解集是{xIKx<2},故1,2是方程ax2-bx+2=0的两个根，由根与系数的关系求出a,b，即可.【解答】解：由题意不等式ax2-bx+2<0的解集是{xI1<x<2},可知不等式是二次不等式,故1,2是方程ax2-bx+2=0的两个根，・，・1+2=且，1X2=--a a••a=1,b=3.a+b=4.故答案为：4．【点评】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．(5分)如图所示，体积为16的长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点均在球O的表面上，且AA1=4,则球O的表面积的最小值为24n.【分析】设底面矩形的一条边为％，由体积可得底边的另一条边长(用％表示)，由长方体的外接球的半径与长方体的棱长的关系可得外接球的半径R与l的关系，由均值不等式设可得R的最小值，进而求出球的表面积的最小值.【解答】解：设BC=%，则由题意可得AB•x•AA1=16,而AA1=4,所以AB=—,x设球的半径为R，则4R2=X2+(2)2+42=x2+-^-+16^2：/・红+16=24,x/VW当且仅当X2=4时取等号，即1=4时取等号，X所以外接球的表面积s=4nR2=24n,故答案为：24n.【点评】本题考查长方体的外接球的半径与长方体棱长的关系,及均值不等式的应用,和球的表面积公式,考查运算求解能力,属于中档题.(5分)已知x=/■是函数f(x)=2sin(n1+9),(0<^<n)的一个零点，令an=f(D)+12n-51,(nGN*),Sn为数列｛an｝的前n项和，则S21=363.【分析】由区=^为f(%)=2sin(nx+1)的零点，求出么(L-aTT TTS十，f(必二2后》门(江工号)二2c口S兀灯从而得至Uf(x)+f(1-x)=0,再求出an,C-j

利用分组求和计算数列｛an｝的前21项和.1 TT解：区号为/（%）=2sin（网+村 的零点，则的网个十机二皿片。，•「帕（•「帕（0,TT）,.,.产,ftx)=2EirL(TTf(x)+f(1-x)=2cosnx+2cos(n-nx)=2cosnx-2cosnx=0,an=于(合)+12〃-5l=2cos^-+12n-51，$2]=〃]+七+***+〃217T 2兀 3JU 47T=2cos +3+2cos +l+2cos +1+2cos$2]=〃]+七+***+〃217T 2兀 3JU 47T=2cos +3+2cos +l+2cos +1+2cos +3+…21212121+2cos&E+35+2cos空驾372121=(2co?+2cos-")+(2cos•空+2cos-")+•••+(2cos-"+2cos一些)212121212121+2cos-亚+43皿21=-2+4+361=363.故答案为：363.【点评】本题主要考查数列与函数的综合应用，考查三角函数的性质，分组求和，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（10分）已知等比数列｛an｝中，公比q=3,a3是a2,a4-12的等差中项.（I）求数列｛an｝的通项公式;（II）求数列｛an｝的前n项和Sn.【分析】（1）由已知结合等差数列的性质求得a3,进一步求得a］，则数歹1」｛an｝的通项公式可求;（II）由（I）中求得的首项与公比，代入等比数列的前n项和公式即可.【解答】解：（I）由公比q=3,a3是a2,a4-12的等差中项，1~2q(I)由(I)得，a1=1，q=3..IXCl-3n)3n-l-F3-一，.【点评】本题考查等差数列的性质，考查等比数列的通项公式与前n项和，是基础题..(12分)已知关于％的函数f(x)=3x2-(m+3)x+m(mGR).(I)若关于x的方程f(x)-2x2=0有两个实数根，且根大于2,一根小于2,求m的取值范围；(II)求关于x的不等式f(x)<0的解集.【分析】(I)方程f(x)-2x2=0即x2-(m+3)x+m=0,令g(x)=x2-(m+3)x+m,由题意可得g(2)<0,求解关于m的不等式得答案；(II)分m=3,m<3和m>3三类求解一元二次不等式即可.【解答】解：(1)方程f(x)-2x2=0即x2-(m+3)x+m=0,方程有两个实数根,且一根大于2,一根小于2,令g(x)=x2-(m+3)x+m,则g(2)=4-2(m+3)+m=-2-m<0,即m>-2.・•.m的取值范围为(-2,+8)；(II)由3x2-(m+3)x+m<0,得(x-1)(3x-m)<0.若m=3,不等式化为3(x-1)2<0,xG0；若相<3,则？<1,不等式/(%)<0的解集为(器1)；若机>3,则不等式/(%)<0的解集为(1,段).综上，若m=3,不等式f(x)<0的解集为0；若加<3,不等式/(%)<0的解集为吟.1)；'―1若机>3,不等式/(%)<0的解集为(1,知.【点评】本题考查函数零点与方程根的关系,考查一元二次不等式的解法,考查分类讨论的数学思想方法,是中档题..(12分)如图，棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是正方形ABCD,AA1D1D的中心.(I)求证：直线EF〃平面AA1B1B；(I)求异面直线BC1与CF所成角的大小.【分析】(I)以A为原点，AB为％轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线EF〃平面AA1B1B.(II)求出两=(0,4,4),而=(-4,-2,2)，利用向量法能求出异面直线BC1与CF所成角的大小.平面441当5的法向量口=（0，1，0），E（2,2,0）,F（2,2,4），EF=（0，0，4），■■•.•nfEf=0，且EF仁平面AA1B1B，・•・直线EF〃平面AA1B1B.（II）B（4，0，0），C1（4，4，4），C（4，4，0），F（0，2，2），BC]=（0,4,4），CF=（-4，-2，2），设异面直线BC1与CF所成角为9，|记布|则COS0 ：--'~~7-=0，IB―|・|CF|

・♦・异面直线所成成与CF所成角的大小为.曰-.【点评】本题考查线面平行的证明，异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(12分)已知函数/(%)=sin2a)%+2J&os2o)%- (3>0)的最小正周期为n.(I)求f(%)的最大值及此时％的值；若ae( 且/(-^-)=旦，求cosa的值.2 6 2 5【分析】(I)由余弦的2倍角公式及两角和的正弦公式化简函数/(%)=2sin(23%号)可得最小正周期，由题意可得3的值，进而求出函数的最大值及此时的％的值.TT Q TT(ID由(I)及椭圆可得可得sin(a+—)=巨，再由a的范围求出cos(a+--)3 5 3金然后变换。=金然后变换。=(a+—)5 3/，由两角差的余弦公式可得结果.(II)由(I)可得了=2sin(2・，(II)由(I)可得了=2sin(2・，因为函数f(x)的最小正周期T=n,3>0,,所以sin(a+-^)=/.【解答】解：(1)/(%)=sin2a)x+2V3cos2cox-V3=sin2a)x-H/3(l+cos2a)x)-/3=sin23%+V^jcos2co%=2sin(2a).x+-^-),--b^-)=2sin(aJ^-)=旦，23 3 5【点评】本题考查角的变换及两角和与差的三角函数的化简，属于中档题.（12分）如图，在平面四边形A5C。中，NA5C=且L,AB±AD,AB=2贬.6（I）若AC=2.15,求BC的值；（II）若AD=2,设NBAC=8,求4ACD的面积的取值范围.(II)ZABC=—6ACAB•••△A5C(II)ZABC=—6ACAB•••△A5C中，由正弦定理,得ginZABC-ginZACB，AB-sinZABC'sin/ACB【分析】（1）由已知利用余弦定理，可得BC2+6BC-40=0,解方程即可得到BC的值.73（ID由已知利用正弦定理，可得AC= 、 ，然后求出S人ACD，再结合9的sint--9）

6范围，求出△ACD的面积的取值范围.【解答】解：（I）,,,ZABC=^-,ABLAD,AB=2®46=2713，6・•・△ABC中