2018年高考数学(理科)练习试卷(三)

#/172018年高考数学（理科）模拟试卷（三）（本试卷分第I卷和第II卷两部分.满分150分，考试时间120分钟）第1卷 （选择题 满分60分）一、选择题 （一、选择题 （本题共 12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意TOC\o"1-5"\h\z[2016・全国卷口 ]设集合S={%1(%—2)(x—3)三0},T={%I%>0},贝USnT=( )A.[2,3] B.(—8,2]U[3,+8)C.[3,+8)D.(0,2]C.[3,+8)2—[2016•西安市八校联考 ]设z=1+i（i是虚数单位），则z—z=（ ）A.iB.2—iC.1—iD.0(，疝1 nx+3J=3，则cos%+cos(3—%)的值为( )A.B.CA.B.C.1D.3[2016.天津高考 ]设｛与｝是首项为正数的等比数列，公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n―1+a2尸。”的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件[2016.全国卷口 ]某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（ ）二月1r均最低气温平均最高飞温二月1r均最低气温平均最高飞温卜：月卜一月A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同

D.平均最高气温高于20℃的月份有5个1 132［2017・江西南昌统考］已知a=2 ,b=（2log23） ,c=（俨加dx，则实数a,b,0c的大小关系是（）A.a>c>bB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a［2016•江苏重点高中模拟］若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如10=4（mod6）.下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的n等于（）A.17BA.17B.16C.15D.13fx+y—1三0,8.[2017•湖北武汉调研]已知x,y满足卜-2y—4W0,〔2x—y—2三0,如果目标函数z=x-m的取值范围为［0,2）,则实数m的取值范围为（）Al_0，Al_0，2OO12_D.(—8,0]CD.(—8,0]［2017・衡水四调］中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”.刘徽注：“羡除，隧道也.其所穿地，上平下邪.”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，AB//CD//EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到平面ABCD的距离为3,CD与AB间的距离为10,则这个羡除的体积是()A．110B．116C．118D．120[2017•山西太原质检]设D为^A．110B．116C．118D．120[2017•山西太原质检]设D为^ABC所在平面内一点，BC=3。。，则( )一A.AD=一1一4一AD=3AB-3AC一4一1一AD=3AB+3ACDAD=3AB-3acx2y2[2017・河南郑州检测]已知点F2、P分别为双曲线a2-b=1(a>0,b>0)的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若OM=2(OP+OF),OF,2=FM2,且2OF,RM=a2+b2,则该双曲线的离心率为( )A.""jlB，3C.\'3D.2\13[2017•山西联考]已知函数f(x)=(3x+1)ex+1+mx(m三一4e),若有且仅有两个整数使得f(x)W0,则实数m的取值范围是()A©2B-上B-L2e—-3e2D.－4e2e第1卷 (非选择题 满分90分)二、填空题 (本大题共 4小题，每小题5分，共20分)13口[2017・济宁检测 ]已知(x2+1)(%—2)9=a0+a1a—1)+a2(x—1)2H——ba11a—1)3则a1+a2+ +a11的值为.[2017•惠州一调 ]已知数列｛a｝,｛b｝满足a,=1,a+b=1,b= ，n£N*,nn 12nn n+11—a2n则b=2017 .[2017•河北正定统考 ]已知点A(0,1),抛物线C：y2=ax(a>0)的焦点为方，连接FA,与抛物线C相交于点M,延长FA，与抛物线C的准线相交于点N,若IFM：IMN=1：3,则实数a的值为.[2016•成都第二次诊断 ]已知函数fx)=x+sin2x.给出以下四个命题：①Vx>0,不等式fx)<2x恒成立；②三k£R,使方程f(x尸k有四个不相等的实数根；③函数fx)的图象存在无数个对称中心；④若数列｛an｝为等差数列，f(a1)+f(a2)+f(a3)=3n,则a2=n.其中正确的命题有 .(写出所有正确命题的序号)三、解答题 (共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17口[2016.武汉调研 ](本小题满分12分)在^ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,a+1=4cosC,b=1.a(1)若A=90°,求4ABC的面积；(2)若4ABC的面积为当，求a,c.[2016・广州四校联考 ](本小题满分12分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排(单位：周)1415161718有生育意愿家庭数48162026(1)若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率;②如果用乙表示两种方案休假周数和，求随机变量乙的分布列及期望.[2017•吉林模拟](本小题满分12分)如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB=AC=1,E,F分别是CC1,BC的中点，AE±A1B1,D为棱A1B1上的点.(1)证明DF±AE；(2)是否存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为答？若存在，说明点D的位置；若不存在，说明理由.[2016・兰州质检](本小题满分12分)已知椭圆C的焦点坐标是F1(—1,0)、F2(1,0),过点F2垂直于长轴的直线l交椭圆C于B、D两点，且BD1=3.(1)求椭圆C的方程；一 一ff5(2)是否存在过点P(2,1)的直线11与椭圆C相交于不同的两点M、N,且满足PM•PN=4?若存在，求出直线11的方程；若不存在，请说明理由.[2017•广东广州调研](本小题满分12分)已知函数f%)=ln(%+1)—%+2%2,g(%)=(x+1)ln(%+1)—%+(a—1)%2+6%3(a£R).

(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若当x三0时，g(x)三0恒成立，求实数a的取值范围.请考生在 22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[2017•河北唐山模拟 ](本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xQy中，M(—2,0).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A(p,e)为曲线C上一点，B(P，e+n)，IBM1=1.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)求IOAI2+1MAI2的取值范围.[2016.大连高三模拟 ](本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲若三x0£R，使关于x的不等式Ix—1I—Ix—2I三t成立，设满足条件的实数t构成的集合为T.(1)求集合T;(2)若m>1,n>1且对于VtWT，不等式logm•logn三t恒成立，求m+n的最小值.参考答案3(三)第1第1卷 (选择题满分60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意1.A.C.答案解析[2016•全国卷口[2,3][3，+8)D一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意1.A.C.答案解析[2016•全国卷口[2,3][3，+8)D集合S=(-]设集合S={xI(x—2)(x—3)三0}，T={xIx>0}，则SnT=((—8，2]U[3，+8)D.(0,2]U[3，+8)8,2]U[3,+8),结合数轴，可得SnT—(0,2]U[3,+8).2.[2016•西安市八校联考I 2 —]设z=1+i(i是虚数单位)，则，—z=(A.答案解析iC.D一>2—因为Z-z=1—iD.0-2--1+i-21—i) -1+i-1-i-1+i-01十i (1十i)(1-i)故选D.3.[2017•福建质检A.答案通B也3B.3B(n\1 n]已知sing+3J=3，则Ucosx+cos(3—x)的值为(C.—3D.1解析3解析3=2cosx(InV1.,g _1 他 ,1 上近.因为sin^x十3J—2smx十亍cosx—3,所以cosx十cos^—xj—cosx十2cosx十》srnx史.—G(我 ,1.)_立打、生口2sinx—-■..;31-2-cosx+2sinxj—3,故选B.[2016.天津高考]设｛a｝是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a21+a2<0"的(n)A.充要条件"B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案解析答案解析由题意得，a=a1qn-1(a1>0),a2_1+a2=a1q2n-2+a1qn-1=a1qn-2(1+q).若q<0,因为1+q的符号不确Q,所以无法判断a2n_1+a2n的符号；反之，若a2n_1+a2n<0,即a1qqn-2(1+q)<0,可得q<—1<0.故"q<0”是“对任意的正整数n,a2n_1+a2n<0"的必要而不充分条件，选C. 『 "[2016.全国卷口 ]某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0℃以上)B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个答案D解析 由图形可得各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；七月的平均温差约为10℃,而一月的平均温差约为5℃,故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20℃的月份只有3个，D错误.1 1一一 一-32[2017•江西南昌统考 ]已知a=2 ,b=(21叱3)c的大小关系是()A.a>c>bB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>ac=4c=4/nsinrdr，则实数a,b,0答案解析111 1 1 1 a>b，排除B、D；以a>b>c,选C.c=1Jnsinrdx=-4cosr0乃1=-4(cosn-cos0)=02a>b，排除B、D；以a>b>c,选C.c=1Jnsinrdx=-4cosr0乃1=-4(cosn-cos0)=02=(4)2，所以b>c，所[2016.江苏重点高中模拟 ]若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n(modm)，例如10=4(mod6).下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的n等于()A．B．C．D．答案解析8．17161513A当A．B．C．D．答案解析8．17161513A当n>10时，被3除余2,被5除也余2的最小整数n=17,故选A.[2017•湖北武汉调研I%+y—1三0,]已知%，y满足｛%—2y—4W0,如果目标函数z=%―m的取值12%—y—2三0,范围为[0,2）,则实数m的取值范围为（）A|_0，2JC.(—8,1B.(-812_答案解析D.(—8,0]累的几何意义%+y—1=0,%—2y—4=0,为可行域内的点（%,y）与A（m，―1）连线的斜率，由/％=2, 一 ，一， 一一一一得| 即B(2,—1).由题意知m=2不符合题意，故点A与点B不重合，因而b=一1，当连接AB时，斜率取到最小值0.由y=—1与2x—y—2=0,得交点C(1,—1)，在点A由点C向左移动的过程中，可行域内的点与点A连线的斜率小于2,因而目标函数的取值范围满足z£[0,2),则m<2,故选C.9.[2017.衡水四调]中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”.刘徽注：“羡除，隧道也.其所穿地，上平下邪.”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，AB//CD//EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到平面ABCD的距离为3,CD与AB间的距离为10,则这个羡除的体积是()A.110B.116C.118D.120答案Df4f1fC.AD=3AB+3AC解析如图，过点A作AP±CD,AM±EF，过点B作BQ±CD,BN±EF，垂足分别为P,M,Q,N,连接PM,QN,将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为2X10X3=15.棱柱的高为8f4f1fC.AD=3AB+3AC10.[2017•山西太原质检af1f,4二A.AD=—3AB+3AC]设D为^ABC所在平面内一点，BC=3CD,则( )cf1f4二B.AD=3AB—3ACf4f1fDAD=3AB—3AC答案Affff4ff4ff解析 利用平面向量的线性运算法则求解.AD=AB+BD=AB+3BC=AB+3(AC—AB)1f4f=—3AB+3AC,故选A.

x2v211.[2017-DDDDDD］已知点F2、P分别为双曲线a-b=1(a>0，11.[2017-DDDDDD支上的一点，O为坐标原点，若OM=2(OP+OF),OF广F,M2,且2OF,-FJM=a2+b2,则该双曲线的离心率为()A;答口3^^-A;答口3^^-B.2C.\'3D.2\'3Af1ff解□c,所以c-c-cosZPFx=Ic2,2设双曲线的左焦点为F］，依题意知，IPF2解□c,所以c-c-cosZPFx=Ic2,2M为线段PF2的中点.因为2OF2F2M=a2+b2,所以OF2F2M=所以cosZPF2x=2所以ZPF2x=60°,所以ZPF2F[=120°,从而IPF1I=2\'3c,根据双曲线的定义，得IPF1I—IPF2I=2a，所以2\"3c—2c=2a，所以e=彳==3一1=书产，故选A.12.[2017」□联考 ]已知函数f(x)=(3x+1)ex+1+mx(m三一4e),若有且仅有两个整数使得f(x)W0,则实数m的取值范围是()B-上B,L2eB-上B,L2e-3b)D.-4e答案B解口 由f(x)W0,得(3x+1)-ex+1+mxW0,即mxW—(3x+1)ex+1,设g(x)=mx,h(x)=一(3x+1)ex+1,则h/(x)=—[3ex+1+(3x+1)ex+1]=-(3x+4)ex+1,由h/(x)>0,得一(3x+4)>0,即x<—4,由h/(x)<0,得一(3x+4)<0得一(3x+4)<0,即,故当x=—3时，系中作出y=h(x),y=g(x)的大致图象如图所示两个，不满足条件；当m<0函数h(x)取得极大值.在同一平面直角坐标当m三0时，满足g(x)Wh(x)的整数解超过时，要使g(x)Wh(x)的整数解只有两个，则需满足h(—2需满足h(—2)Ng(—2)h(—3)<g(—3),5e-1三一2m,

8e-2<—3m,m三一m三一2e,5 8 5 8即一五Wm(一备即实数m的取值范围是［一芨一森，故选B.m<一蠢,第1卷 (第1卷 (非选择题满分90分)二、填空题 (本大题共 4小题，每小题5分，共20分)13口[2017•济宁检测 ]已知(x2+1)(%—2)9=a0+a1(x—1)+a2(x—1)2H——Ha11(x—1)3则a1+a2+ +a11的值为.答案2解析令x=1,可得2X(—1)=a0,即a0=—2；令x=2,可得(22+1)X0=a0+a]+a2+a3+…+an即a0+a1+a2+a3H +a11=0,所以a1+a2+a3H +a11=2.14.[2017•惠州一口]已知数歹lj｛an｝，｛bn｝满足a1=2an＋bn=1则b14.[2017•惠州一口]已知数歹lj｛an｝，｛bn｝满足a1=2an＋bn=1则b2017答案n+1=E，n*N*，

n解析20172018_1bn+1nn1_1

a1=2,又b1=2,.b=1-b=b•.b12,,bn+1 1—a2,‘b1—1=—2,.,.数列…bn+1n1b—1nb

n

1—(1—bn)2卜是以一2为首项，.2—b，一

n—1为公差的等差数列，，b一1n[2017•河北正定统考'bn=n+1做b2017=2011]已知点4(0,1),抛物线C：y2=a](a>0)的焦点为F与抛物线C相交于点M,延长F，与抛物线C的准线相交于点N,若IFM：IMN=1：3,则实数a的值为答案解析212依题意得焦点F的坐标为4，,0),设M在抛物线的准线上的射影为K,连接MK,由抛物线的定义知IMFI=IMKI，因为IFMI:IMNI=1：3,所以IKNI:IKM=2\'2：1,又k=f FN0－1－4屋,kFN=KN=-2%：5,所以4=2让，解得a=、./2.IKMI a[2016•成都第二次诊断 ]已知函数f(x)=x+sin2x.给出以下四个命题：①Vx>0,不等式f(x)<2x恒成立；②三k*R,使方程f(x尸k有四个不相等的实数根；③函数fx)的图象存在无数个对称中心；④若数列｛a｝为等差数列，f(a1)+f(a2)+f(a3)=3n,则a2=n.其中正确的命题有.(写出所有正确命题的序号)答案③④解析f(x尸1+2cos2x,则f(x)=0有无数个解，再结合f(x)是奇函数，且总体上呈上升趋势，可画出f(x)的大致图象为：， 一，， ，^ n.(1)令g(%)=2x—f(x)=x-sin2x,贝g/(x)=1—2cos2x，令g,(x)=0,贝x=%+kn(k£Z),则gGD=6-33<0，即存在x=6>0使得f(x)>2x,故①错误;(2)由图象知不存在y=k的直线和f(x)的图象有四个不同的交点，故②错误；, 〜 kn(3f(a+x)+f(a—x)=2a+2sin2acos2x,令sin2a=0,则a=2^{k£Z),即(a,a)，其中a§(k£Z)均是函数的对称中心，故③正确;(4f(a1)+f(a2)+f(a3)=3n,则Ua1+a2+a3+sin2a1+sin2a2+sin2a3=3n,即3a2+sin(2a2——2d)+sin2a2+sin(2a2+2d)=3n,3a2+sin2a2+2sin2a2cos2d=3n,3a2+sin2a2(1+2cos2d)=3n,.. 3n_ 3…sin2a2=1+2cos2d—1+2cos2d2，3n 3 则问题转化为f(x)=sin2x与g(x)=-rz———~rz 寸的交点个数.1+2cos2d1+2cos2d如果直线g(x)要与f(x)有除(n,0)之外的交点，则斜率的范围在(一今，一2),而直线的3斜率一]分的取值范围为(一8,-1]U[3,+8),故不存在除(n,0)之外的交点，故cosa2=n,④正确.DDDDD (共6小题□共70DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD )17口[2016/□调□ ](本小题满分12分)在^ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,a+1=4cosC,b=1.a(1)若A=90°,求4ABC的面积；(2)若4ABC的面积为§,求a,c.,1 a•二S =工absinC=aasinC=1，则sinC•二S =工absinC=aasinC=1，则sinC==~.△ABC2 2 2 a[ (1)a+=4cosC=4X - =- ,a 2ab a,:b=1,，2c2=a2+1.(2分)又二A=90°,，a2=b2+c2=c2+1,,2c2=a2+1=c2+2,，c=;'2,a=1'5,(4分).=Sa^=0bcsinA=ibc=1X1X\：5=一.(6分)z_a^A.^j^^^2 ^2 ^2 ^2..11 3.a十a—4cosC,sinC一@,,IK°十1]2十阴2—1,化简得（a2-7）2—0,一1（.1、2汨.•a—、.；7,从而cosC=4（a十°J——7~,,c=\L2+b2-2bccosC—yj7+1—2X飞'7X1X-^-—2.（12分）18.[2016.广州四校联考 ]（本小题满分12分）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）1415161718有生育意愿家庭数48162026（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择.①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用乙表示两种方案休假周数和，求随机变量乙的分布列及期望.解（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为P1—200—50；（21分）当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为P2—200—25.（4分）2（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件4由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有C2—10（种），（5分）其和不低于32周的选法有（14,18）,（15,17）,（15,18）,（16,17）,（16,18）,（17,18）,共6种,由古典概型概率计算公式得P（A）—160—5.（7分）②由题知随机变量<的可能取值为29,30,31,32,33,34,35.P（<—29）—10—0.1,P（乙—30）—10—0.1,P（乙—31）—120—0.2,P（乙—32）—焉—0.2,P（己一33）—10—0.2,P（《—34）—10—0.1,P（《—35）—10—0.1,因而乙的分布列为/29303132333435P0.10.10.20.20.20.10.1（10分）所以E©—29X0.1+30X0.1+31X0.2+32X0.2+33X0.2+34X0.1+35X0.1—32.（12分）[2017•吉林模拟 ]（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1cl中，AA1=AB=AC=1,E,F分别是CC1,BC的中点，AE±A1B1,D为棱A1B1上的点.

(1)证明DF±AE；(2)是否存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为昔？若存在，说明点D的位置；若不存在，说明理由.解 (1)证明：因为AE±A1B1,AB/AB，所以AE±AB.因为AAJAB,AA1nAE=A,所以AB，平面A1ACC1.因为ACu平面A1ACC1,所以AB±AC.以A为坐标原点，AB,AC,AA1所在直线分别为%轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则有A(0,0,0)，E(0，1,2)，F[2,2,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1).(4分)ff设ff设D(%1,y1,z1),A1D=〃1B1且入£[0,1],以DF=(j—九2，—1).即(%1,y1,z1—1)=A(1,0,0)，则D(九0,1)，所因为AE=(01\ff1 11因为AE=(01\ff1 11,2)，所以DF•AE=2—2=0,所以DFJ_AE.(6分)(2)假设存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为晋由题意可知平面ABC的一个法向量为AA1=(0,0,1).(8分)f4n•FE=0设平面DEF的法向量为n=(%,y,z)，则fn•DF=0,因为FE=(-2,2,2)，DF=(2—a，1，—1)，<所以1,1,1C

一那十2<所以1,1,1C

一那十2y+2z=0,_ 3%=2(1—2)z，1y=2(1—2)'令z=2(1—2)，则n=(3,1+22,2(1—2))是平面DEF的一个法向量.(10分)f14 . f IAA.〃」因为平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为书-，所以Icos〈AA1，n〉I=-f—IAAIInI=14，即19+(1+22)2+4(1—22=曙,解得2:1或2=4(舍去),所以当D为a1B1的中点时满足要求「 _故存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为誓，此时D为AB的中点．(12分)[2016•兰州质检 ](本小题满分12分)已知椭圆C的焦点坐标是F/TO)、F2(1,0)，过点F2垂直于长轴的直线l交椭圆C于B、D两点，且IBDI=3.(1)求椭圆C的方程；ff5(2)是否存在过点?(2,1)的直线11与椭圆C相交于不同的两点M、N,且满足PM•PN=4?若存在，求出直线11的方程；若不存在，请说明理由.解(1)设椭圆的方程是%2+y2=1(a>b>0),则c=1,ab.. .2b2VIBDI=3,「.一=3,a又a2—b2=1,..a=2,b=--33,%2y2...椭圆c的方程为了+y3=1.(4分)(2)假设存在直线11且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y=k(%—2)+1,fy=k(%—2)+1,由<%2+y2=1 得(3+4k2)%2—8k(2k—1)%+16k2—16k—8=0,因为直线11与椭圆C相交于不同的两点M、N,设M(%1,yJ、N(%2,y2),所以/=[—8k(2k—1)]2—4(3+4k2)(16k2—16k—8)>0,所以k>一万.「 8 8k(2k—1) 16k2—16k—8 八又%1+%2=3+4k2,%1%2=3+4k2,(8分)ff 5因为PM•PN=(%1—2)(%2—2)+(y1—1)(y2—1)=4,所以(%1一2)(%2—2)(1+k2)=4,即[%1%2—2(%1+%2)+4](1+k2)=4,所以16k2—16k—8_8k(2k—1)3+4k2—2.3+4k2所以4+4k25+4_l(1+k2)4+4k25+4_l(1+k2)=3+4k2=不乙 乙 乙故存在直线1/满足条件，其方程为y=2%.(12分)

[2017•广东广州调研 ](本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(x+1)—x+：x2,g(x)=(x+1)ln(x+1)—x+(a—1)x2+6x3(a£R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若当x三0时，g(x)三0恒成立，求实数a的取值范围.解 (1)函数f(x)=ln(x+1)—x+2x2,定义域为(一1,+8),(2分)x2则f(x)=<>0,所以f(x)的单调递增区间为(-1,+8),无单调递减区间.(4分)x+1(2)由(1)知，当x三0时，有fx)三f(0)=0，即ln(x+1)三x—2x2.g'(x)=ln(x+1)+2(a—1)x+2x2三Q—2x2J+2(a—1)x+2x2=(2a—1)x.(6分)①当2a—1三0,即a三2时，且x三0时，g'(x)三0,所以g(x)在[0,+8)上是增函数，且g(0)=0,所以当x三