2019高二上理科期中数学试卷附详解

2019高二（上）期中数学试卷（理科）一.选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.线段AB在平面a内，则直线AB与平面a1.A.ABuaB.ABUaC.由线段AB的长短而定A.ABuaB.ABUaC.由线段AB的长短而定D.以上都不对2.垂直于同一条直线的两条直线一定A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能3.已知直线1〃平面a,Pea,那么过点P且平行于l3.A.只有一条，不在平面a内B.只有一条，在平面a内C.有两条，不一定都在平面a内D.有无数条，不一定都在平面a内.若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（）1：2：1：2：32：3：43：2：4D.3：1：2.过点（-1,3）且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为（ ）A.x-2y+7=0 B.2x+y-1=0 C.x-2y-5=0D.2x+y-5=0.平面a与平面p平行的条件可以是（ ）A.a内有无穷多条直线与P平行B.直线a〃a,a〃pC.直线aua,直线bup,且a〃p,b〃aD.a内的任何直线都与p平行.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（ ）1/27

A.A..下列命题中错误的是（ ）A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B.圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D.圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形二.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）..长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ..以点（1,3）和（5,-1）为端点的线段的中垂线的方程是 ..正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BgD的位置关系为 .如图，AABC是直角三角形，NACB=90°,PA，平面ABC,此图形中有个直角三角形.直角三角形.2/27.如图，E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是.空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.①若AC=BD,则四边形EFGH是；②若ACLBD,则四边形EFGH是.三.解答题：(本大题共3小题，共30分).求点A(3,-2)关于直线l：2x-y-1=0的对称点A'的坐标..如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD，平面ABCD,AB=AD,ZBAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点，求证：(1)直线EF〃平面PCD；(2)平面BEF，平面PAD..如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1cle是边长为4的正方形.平面人8^平面AA1clC,AB=3,BC=5.(I)求证：人人]，平面ABC；(II)求证二面角A1-BC1-B1的余弦值；BD(III)证明：在线段BC1上存在点D,使得AD，A]B,并求司的值.3/27四.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）..正六棱台的两底面边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为.二面角a-l-p内一点P到平面a,p和棱l的距离之比为1：三：2,则这个二面角的平面角是 度..在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ..直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1,4）,D（5,0）,则直线l的方程为..圆柱形玻璃杯高8cm,杯口周长为12cm,内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖.A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫.若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm.（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）.在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为.五.解答题：（本大题共2小题，共20分）.4/27.一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域..如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1cle，底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB±BC,O为AC中点.(I)证明：人［0，平面ABC；(II)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；(III)在BC1上是否存在一点E,使得OE〃平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置.参考答案与试题解析一.选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)..线段AB在平面a内，则直线AB与平面a的位置关系是( )A.ABua B.ABUa5/27C由线段AB的长短而定 D.以上都不对【考点】平面的基本性质及推论.【专题】证明题.【分析】线段AB在平面a内，则直线AB上所有的点都在平面a内，从而即可判断直线AB与平面a的位置关系.【解答】解：•・•线段AB在平面a内，・•・直线AB上所有的点都在平面a内，・•・直线AB与平面a的位置关系：直线在平面a内，用符号表示为：ABua故选A.【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力.公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上..垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.【专题】分类讨论.【分析】根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断.【解答】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面.故选D【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系..已知直线1〃平面a,Pea,那么过点P且平行于l的直线（ ）A.只有一条，不在平面a内B.只有一条，在平面a内6/27C.有两条，不一定都在平面a内D.有无数条，不一定都在平面a内【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【专题】综合题.【分析】通过假设过点P且平行于l的直线有两条m与n的出矛盾，由题意得m〃l且n〃l,这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，又因为点P在平面内所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内.【解答】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n；.m〃l且n〃l由平行公理4得m〃n这与两条直线m与n相交与点P相矛盾又因为点P在平面内所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内所以假设错误.故选B.【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型..若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（）A.1：2：3 B.2：3：4 C.3：2：4 D.3：1：2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积.【专题】计算题.【分析】由已知中圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，我们设出球的半径，代入圆柱、圆锥、球的体积公式，计算出圆柱、圆锥、球的体积即可得到答案.【解答】解：设球的半径为R,则圆柱、圆锥的底面半径也为R,高为2R,则球的体积V球=微兀峻圆柱的体积V圆柱=2nR37/27圆锥的体积V圆屐兀R故圆柱、圆锥、球的体积的比为2nR3：4兀R1 ^=3：1：2故选D【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键..过点（-1,3）且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为（ ）A.x-2y+7=0B.2x+y-1=0C.x-2y-5=0 D.2x+y-5=0【考点】直线的一般式方程；两条直线平行的判定.【专题】计算题.【分析】由题意可先设所求的直线方程为x-2y+c=0再由直线过点（-1,3）,代入可求c的值，进而可求直线的方程【解答】解：由题意可设所求的直线方程为x-2y+c=0•・•过点（-1,3）代入可得-1-6+c=0则c=7/.x-2y+7=0故选A.【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x-2y+c=0.6.平面a与平面P平行的条件可以是（ ）A.a内有无穷多条直线与P平行B.直线a〃a,a〃0C.直线aua,直线bu0,且a〃卜b〃aD.a内的任何直线都与P平行【考点】平面与平面平行的判定.【专题】证明题.8/27

【分析】当a内有无穷多条直线与P平行时，a与p可能平行，也可能相交，当直线a〃a,a〃0时，a与p可能平行，也可能相交，故不选A、B,在两个平行平面内的直线可能平行，也可能是异面直线，故不选C,利用排除法应选D.【解答】解：当a内有无穷多条直线与P平行时，a与p可能平行，也可能相交，故不选A.当直线a〃a,a〃p时，a与p可能平行，也可能相交，故不选B.当直线aua,直线bup,且a〃p时，直线a和直线b可能平行，也可能是异面直线，故不选C.当a内的任何直线都与p平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故选D.【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质得应用，注意考虑特殊情况..一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（ ）A.B.C.几何体的俯视图为（ ）A.B.C.D.【考点】简单空间图形的三视图.【专题】立体几何.【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形.9/27【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项.故选：C.【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解'长对正、高平齐、宽相等”的含义..下列命题中错误的是（）A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B.圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D.圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）.【专题】对应思想；分析法；立体几何.【分析】对于A,B,计算出截面面积与轴截面面积比较大小即可判断，对于C,D,利用旋转体的结构特征进行分析判断.【解答】解：对于A,设圆柱的底面半径为r,高为h,设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a,则截面面积S=ah<2rh.・••当a=2r时截面面积最大，即轴截面面积最大，故A正确.对于B,设圆锥SO的底面半径为r,高为h,过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a，则O至UAB的距离为，父2一;，，截面三角形SAB的高为 ，，截面面积S=-1^=；<-■’（竽2智.故截面的最大面积为h[r2）hr.故B错误.10/27对于C,由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体仍是圆台，故截面为圆面，故C正确.对于D,由于圆锥的所有母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故D正确.故选：B.【点评】本题考查了旋转体的结构特征，属于中档题.二.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）..长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是50n.【考点】球内接多面体；球的体积和表面积.【专题】计算题.【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积.【解答】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上,所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：•亍存等二5回，所以球的半径为：得；则这个球的表面积是：4冗（?）'=50n.故答案为：50n.【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力..以点（1,3）和（5,-1）为端点的线段的中垂线的方程是x-y-2=0【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式.11/27【专题】计算题.【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式.【解答】解：直线AB的斜率kAB=-1,所以线段AB的中垂线得斜率k=1,又线段AB的中点为（3,1）,所以线段AB的中垂线得方程为y-1=x-3即x-y-2=0,故答案为x-y-2=0.【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，止匕外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程..正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BgD的位置关系为平行.【考点】平面与平面之间的位置关系.【专题】常规题型.【分析】根据正方体中相应的对角线之间的平行关系，我们易得到平面AB1D1和平面BC1D内有两个相交直线相互平行，由面面平行的判定定理，我们易得到平面AB1D1和平面BC1D的位置关系.【解答】解：VAB1#C1D,AD1#BC1，AB]U平面AB1D1，AD]U平面AB1D1，AB1AAD1=AC1Du平面BC1D,BC1u平面BC1D,C1DABC1=C1由面面平行的判定理我们易得平面AB[D]〃平面BC1D故答案为：平行.【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法..如图，△ABC是直角三角形，ZACB=90°,PA，平面ABC,此图形中有4个直角三角形.12/27

【考点】棱锥的结构特征.【专题】证明题.【分析】本题利用线面垂直，判定出线线垂直，进而得到直角三角形，只需证明直线BC±平面PAC问题就迎刃而解了.【解答】解：由PA，平面人80则4PAC,△PAB是直角三角形，又由已知^ABC是直角三角形，NACB=90°所以BCXAC,从而易得BC，平面PAC,所以BCXPC,所以△PCB也是直角三角形，所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC,△PAB,△ABC,△PCB.故答案为：4【点评】本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键..如图，E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是_^.fiEC【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题；空间位置关系与距离.【分析】由题意图形折叠为三棱锥，直接求出三棱柱的体积即可.【解答】解：由题意图形折叠为三棱锥，底面为^EFC,高为AC,所以三棱柱的体积：-Ex-Ex1x1x2=-E,J/13/27

故答案为：4【点评】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力..空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.①若AC=BD,则四边形EFGH是菱形；②若ACLBD,则四边形EFGH是矩形.【考点】棱锥的结构特征.【专题】证明题.【分析】①结合图形，由三角形的中位线定理可得EF〃AC,GH〃AC且EfUaC,GH=,AC,由平行四边形的定义可得四边形EFGH是平行四边形，再由邻边相等地，得到四边形EFGH是菱形.②由①知四边形EFGH是平行四边形，再由邻边垂直得到四边形EFGH是矩形.【解答】解：如图所示：@VEF#AC,GH〃AC且EF=、AC,GH=、AC•・四边形EFGH是平行四边形XVAC=BD.•・EF=FG•・四边形EFGH是菱形.②由①知四边形EFGH是平行四边形XVACXBD,AEFXFG•・四边形EFGH是矩形.故答案为：菱形,矩形14/27【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题..解答题：（本大题共3小题，共30分）.求点A（3,-2）关于直线l：2x-y-1=0的对称点A'的坐标.【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程.【专题】方程思想；综合法；直线与圆.【分析】设点A'的坐标为（m,n）,求得A,A的中点B的坐标并代入直线l的方程得到①，再由线段A'A和直线l垂直，斜率之积等于-1得到②，解①②求得m,n的值，即得点A’的坐标.【解答】解：设点A（3,-2）关于直线l：2x-y-1=0的对称点A'的坐标为（m,n）,则线段AA的中点B（哼，三一），由题意得B在直线l：2x-y-1=0上，故2x（-三二-1=0①.再由线段AA和直线l垂直，斜率之积等于-1得普x[=-1②，解①②做成的方程组可得：故点A'的坐标为（-辞，-jz）【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件.15/27.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD，平面ABCD,AB=AD,NBAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点，求证：(1)直线EF〃平面PCD；(2)平面BEF，平面PAD.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.【专题】立体几何.【分析】(1)要证直线EF〃平面PCD,只需证明EF〃PD,EF不在平面PCD中，PDu平面PCD即可.(2)连接BD,证明BF，AD.说明平面PADn平面ABCD=AD,推出BF，平面PAD；B后证明平面BEF，平面PAD.【解答】证明：(1)在^PAD中，因为E,F分别为AP,AD的中点，所以EF〃PD.又因为EF不在平面PCD中，PDu平面PCD所以直线EF〃平面PCD.(2)连接BD.因为AB=AD,ZBAD=60°.所以△ABD为正三角形.因为F是AD的中点，所以BFXAD.因为平面PAD，平面ABCD,BFu平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,所以BF，平面PAD.又因为BFu平面EBF,所以平面BEF，平面PAD.16/27【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型..如图，在三棱柱ABC-A1B1cl中，AA1cle是边长为4的正方形.平面ABC，平面AA1clC,AB=3,BC=5.(I)求证：人人]，平面ABC；(II)求证二面角A1-BC1-B1的余弦值；BD(III)证明：在线段BC1上存在点D,使得AD，A]B,并求司的值.【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法.【专题】空间位置关系与距离；空间角.【分析】(I)利用AA1cle是正方形，可得AAj^AC,再利用面面垂直的性质即可证明；(II)利用勾股定理的逆定理可得AB，AC.通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；(III)设点D的竖坐标为t,(0<t<4),在平面BCC1B1中作DE，BC于E,可得dH,[14-t),t),利用向量垂直于数量积得关系即可得出.【解答】(I)证明：：人人1cle是正方形，•••AAJAC.17/27

又•・•平面ABC，平面AA1cle，平面ABCn平面AA1cle=AC,.•・AAJ平面ABC.(II)解：由AC=4,BC=5,AB=3..•・AC2+AB2=BC2,AAB±AC.建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),ABC]=a—3,4),而二(0,一3,4),而二(0,0,4).设平面A1BC1的法向量为五二%，,)，平面B1BC1的法向量为司=(x2,y2,z2).fn1pBC1=4x1-3y!+4z1=0 一H-«. ，令y1=4,解得x1=0,z1=3,Anj=(0,4,3).Hi,■BAj=_3yt+4zj=03y9+4zr,=0一一, ,n?*BBi=4z2=0A二面角A1-BC1-B1的余弦值为冬3y9+4zr,=0一一, ,n?*BBi=4z2=0A二面角A1-BC1-B1的余弦值为冬(III)设点D的竖坐标为t,(0<t<4),在平面BCC1B1中作DE，BC于E,可得d(t,弓er,t),A=C=(-，弓14一十)，,,A]B=(0,3,-4),•.•ad_L%b,aad・%b=。,M-t)-4t=0,解得t=1.BDDE_9•・,前丁西一函18/27【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力..填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）..正六棱台的两底面边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为^cm2.【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何.【分析】作出正六棱台的一部分，侧面ABB1Al为等腰梯形,OO1为高且OO]=1cm,AB=1cm,A1B1=2cm.^AB和A1B1的中点C,g，连接OC,Cg,01cl，则C1c为正六棱台的斜高，且四边形001cle为直角梯形.根据正六棱台的性质求出oc,01cl,CC1和上、下底面周长，由此能求出正六棱台的侧面积.【解答】解：如图所示，是正六棱台的一部分，侧面ABB1Al为等腰梯形，001为高且00]=1cm,AB=1cm,A1B1=2cm.取AB和A1B1的中点C,g，连接OC,Cg,01cl,则c1c为正六棱台的斜高，且四边形001cle为直角梯形.根据正六棱台的性质得OC=，^AB=-^cn,01cl=-工。四1B尸；3cn,19/27/.CC1=.；OO12+(O1C1-OC)乜当5又知上、下底面周长分别为c=6AB=6cm,c‘=6A1B1=12cm.・•・正六棱台的侧面积：S=4(c+c)h.=1(6+12)M5故答案为："2工cm2.【点评】本题考查正六棱台的侧面积的求法，是中档，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养..二面角a-l-p内一点P到平面a,p和棱l的距离之比为1：■:三2,则这个二面角的平面角是75度.【考点】二面角的平面角及求法.【专题】空间角.【分析】点P可能在二面角a-l-p内部，也可能在外部，应区别处理.利用点P到a,p和棱l的距离分别为1：^：2,即可求二面角a-l-p的大小.20/27【解答】解：点P可能在二面角a-l-p内部，也可能在外部，应区别处理.当点P在二面角a-l-p的内部时，如图，A、C、B、P四点共面，ZACB为二面角的平面角，由题设条件，点P到a,p和棱l的距离之比为1：在：2可求NACP=30°,NBCP=45°,AZACB=75°.故答案为：75.【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关键..在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是一1_.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题.【分析】利用正方体的体积减去8个三棱锥的体积，求解即可.【解答】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，8个三棱锥的体积为：=-=.剩下的凸多面体的体积是1--==-.故答案为：,【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力.21/27.直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1,4）,D（5,0）,则直线l的方程为二■1，_.【考点】直线的两点式方程.【专题】计算题.【分析】先求出BD的中点，再求出斜率，用斜截式求直线的方程.【解答】解：•・•直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，则直线过BD的中点（3,2）,故斜率为标3号,・•・由斜截式可得直线i的方程为t二■!，,故答案为y="|i.【点评】本题考查直线的斜率公式，直线方程的斜截式..圆柱形玻璃杯高8cm,杯口周长为12cm,内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖.A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫.若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少3_cm.（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）.【专题】数形结合；综合法；立体几何.【分析】作出圆柱的侧面展开图，找到A点关于茶杯口的对称点A',则A'A在展开图中的直线距离即为最短距离.【解答】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A',则A'A=4cm,BC=6cm,/.A,C=8cm,22/27.•・A'B=二10cm.故答案为：10.【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决..在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为一差一.【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题.【分析】过CD作平面PCD,使AB,平面PCD,交AB于P,设点P到CD的距离为h,则当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2V三从而得到四面体ABCD的体积的最大值即可.【解答】解：过CD作平面PCD,使AB,平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有V=\x2xhx±x2,当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2.；三，则四面体ABCD的体积的最大值为差.故答案为：片23/27【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力.属于基础题..解答题：（本大题共2小题，共20分）..一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域.【考点】根据实际问题选择函数类型.【专题】计算题.【分析】设出所截等腰三角形的底边边长为xcm,在直角三角形中根据两条边长利用勾股定理做