10排列、组合、概率与统计-数学基础知识与典型例题复习

PAGE第=PAGE4*2-17页第=PAGE4*28页数学基础知识与典型例题（第十章排列、组合、概率与统计）排列与组合1．分类计数原理:完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1+n2+n3+…+nM种不同的方法．2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有种不同的方法,做第二步有种不同的方法,……,做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1·n2·n3·…nM种不同的方法．注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。3.⑴排列的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.⑵排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.其中n，m∈，并且m≤n．⑶排列数公式:当m=n时，排列称为全排列，排列数为=记为n!,且规定O!=1.注：;4.⑴组合的定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.⑵组合数的定义:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示.⑶组合数公式:.规定，其中m，n∈N+，m≤n.注:排列是“排成一排”，组合是“并成一组”,前者有序而后者无序.排列与组合⑷组合数的两个性质:①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的.②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C种，依分类原理有.5．解排列、组合题的基本策略与方法(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法：①直接法;②排除法;③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法.(Ⅱ)排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.6.二项式定理:⑴对于，,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的展开式.注:展开式具有以下特点：项数：共有项；系数：依次为组合数且每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开.⑵二项展开式的通项：的展开式第r+1为.⑶二项式系数的性质.①二项展开式中的叫做二项式系数②在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；即排列与组合③二项展开式的中间项二项式系数最大且当时，二项系数是逐渐增大，当时，二项式系数是逐渐减小的．(Ⅰ)当n是偶数时,中间项是第项,它的二项式系数最大;(Ⅱ)当n是奇数时,中间项为两项,即第项和第项,它们的二项式系数最大.④系数和：所有二项式系数的和：;奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和:.⑤⑷如何来求展开式中含的系数呢？其中且把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含的项为.其系数为.⑸二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。排列与组合例1.3个班分别从5个景点中选择1处游览，不同的选法种数是()(A)5(B)3(C)A(D)C例2.5本不同的课外读物分给5位同学,每人一本,则不同的分配方法有()(A)20种(B)60种(C)120种(D)100种例3.6个人排成一排，甲、乙、丙必须站在一起的排列种数为().

(A) (B) (C) (D)例4.如果集合A={x│≤21}，则组成集合A的元素个数有().

(A)1个 (B)3个 (C)6个 (D)7个例5.如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是()(A)7(B)(C)21(D)例6.设(1+x)+(1+x)+…+(1+x)=a+ax+ax+…+ax则a=()(A)C(B)C(C)2C(D)C例7.在的展开式中，的系数是()(A)-297(B)-252(C)297(D)207例8.对于小于55的自然数，积(55-n)(56-n)……(68-n)(69-n)等于()(A)A(B)A(C)A(D)A例9.若(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a8x8+a9x9，则a1+a2+…+a8的值为_______.排列与组合例10.一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.⑴如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少不同的种植方法？如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少不同的种植方法？⑵如图3，圆环分成的n等份为a1，a2，a3，……，an，有多少不同的种植方法？概率1.随机事件及其概率:⑴必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件,叫做必然事件.⑵不可能事件:在一定的条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件.⑶随机事件:在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.⑷随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件的概率,记作.⑸概率从数量上反映了一个事件的可能性的大小,它的取值范围是,必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.2.等可能事件的概率:⑴基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.⑵等可能事件的概率:如果一次试验由个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是,如果某个事件包含的结果有个,那么事件的概率为.3.⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：.⑵对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.①对立事件的概率和等于1：.②互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.从集合的角度看，由事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集I中由事件A所含的结果组成的集合的补集.随机变量与统计注意：当标准正态分布的的x取0时，有当的x取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数常用表示，且有.注:一般正态分布,均可化为标准正态总体来进行研究.若,只需作变换,就可使,∴有公式.∴若,则=(Ⅳ)⑴“3”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：=1\*GB3①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.=2\*GB3②确定一次试验中的取值是否落入范围.=3\*GB3③做出判断：如果，接受统计假设.如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.=2\*GB2⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布则ξ落在内的概率为99.7％亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即不服从正态分布）.10.线性回归:（基本不列入考试范围）回归分析是研究两个或两个以上变量之间相关关系的一种统计方法。严格说来，相关关系分为两种，对两个自变量来说，如果它们都是随机的，称它们为相关关系；如果其中一个是可以控制的，非随机的，另一个是随机的，称这种关系为回归关系。由一个非随机的变量来估计或预测另一个随机变量的观测值，所建立的数学模型及进行的统计分析，称为一元回归分析，如果这个数学模型是线性的则称为一元线性回归分析。尽管具有相关性的变量间的关系不确定，但可以通过大量试验来找出它们之间的统计规律性，然后用一个函数关系近似地描述它们，而且这个函数是线性的，则称它为线性回归函数。实际上在用相关系数判定出变量之间线性相关后，一般能用很多条直线来近似地表示x与y这两个变量间的线性关系，因此存在一条最合适的直线，这条直线用著名的“最小二乘法”可以求解，课本的阅读材料就是“最小二乘法”的运用。散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.随机变量与统计例21.对于一组数据(i=1，2，3，…，n)，如果将它们改变为＋c(i=1，2，3，…，n)，其中c≠0，则下面结论中正确的是()(A)平均数与方差均不变(B)平均数变了，而方差保持不变(C)平均数不变，而方差变了(D)平均数与方差均发生了变化 例22.已知的分布列为,且设，则的期望值是（）(A)(B)(C)1(D)例23.设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ=i)=则a的值是()例24.已知，E=8，D=1.6，则n与p的值分别为（）(A)10和0.8(B)20和0.4(C)10和0.2(D)100和0.8例25.从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，“每次抽取一个个体时任一个体a被抽到的概率”与“在整个抽样过程中个体a被抽到的概率”为（）(A)均为(B)均为(C)第一个为，第二个为(D)第一个为，第二个为例26.①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I．随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（）(A)①配I，②配Ⅱ(B)①配Ⅱ，②配(C)①配I，②配I(D)①配Ⅱ，②配Ⅱ例27.某校高中生有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采取分层抽样法抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为()(A)15，5，25 (B)15，15，15(C)10，5，30 (D)15，10，20 例28.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_________.(用数字作答) 例29.右图是一个容量为200的样本的频率分布直方图，请根据图形中的数据填空：⑴样本数据落在范围的频率为；⑵样本数据落在范围的频数为；例30.抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功.（Ⅰ）求一次试验中成功的概率；（Ⅱ）求在4次试验中成功次数ξ的概率分布列及ξ的数学期望与方差.数学基础知识与典型例题(第十章排列、组合、概率与统计)答案例1.A例2.C例3.D例4.C例5.C例6.B例7.D例8.B例9.510例10.解：⑴如图1，先对a1部分种植，有3种不同的种法，再对a2、a3种植，因为a2、a3与a1不同颜色，a2、a3也不同。所以S（3）=3×2=6（种）。如图2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（种）。⑵如图3，圆环分为n等份，对a1有3种不同的种法，对a2、a3、…、an都有两种不同的种法，但