函数的单调性课件【知识 精讲精研 】 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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新课导入我们知道，可以通过解析式，画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以得到函数的一些特性.因此我们可以从函数图象入手，来研究函数的性质.请大家大胆的描述下列三幅图的形状特征！我们从形的方式对函数进行了描述。那数的方式该如何描述？3.2函数的基本性质xy从左至右图象呈______趋势.上升xyy=x+1xy观察第一组函数图象，指出其变化趋势.OOO111111y=-x+1xy从左至右图象呈______趋势.下降xyxy观察第二组函数图象，指出其变化趋势.OOO111111第1课时函数的单调性第三章

3.2.1

单调性与最大(小)值学习目标1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念.2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念.3.能运用定义法证明函数的单调性.在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性.下面进一步用符号语言来刻画这种性质.

那我们该如何用数学符号语言描述呢？

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1、函数单调性Oxyx1x2f(x1)f(x2)xOyx1x2f(x1)f(x2)一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.区间I称为单调递增增区间。特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是

增函数

.如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.区间I称为单调递减区间。特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是

减函数

.注意①任意性②有序性；③属于同一个区间I（2）等价定义（1）定义中的x1，x2有三个特征即从定义域内任取的两个值x1,x2，通常规定

x1<x2，f(x)在区间I上单调递增f(x)在区间I上单调递减2、函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)区间I上是单调递增(或单调递减)，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间I

叫做y=f(x)的单调区间.

说明（1）函数的单调性是函数在某一个区间上的性质；②区间可以是定义域的真子集；（2）单调区间必须写成区间。是函数的局部性质。①这个区间可以是整个定义域；建议写成开区间直观感知函数的单调性

一

已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.根据图象写出它的单调区间.例1如图.由图象可知，函数的单调递增区间为[－2,0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0,2).(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开.反思感悟

画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间.跟踪训练1函数的图象如图实线部分所示.由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)，单调递减区间为(0,1).利用定义证明函数的单调性

二回忆下初中所学的知识，影响函数单调性的字母是哪个？它是如何影响的？请你以分类谈论的方式描述函数的单调性。根据单调性的定义，判断单调性的关键是什么？

取值变形作差定号结论利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式；(3)定号：确定f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论.(4)结论：根据定义确定单调性.反思感悟

例2、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则由V1，V2∈

(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是

所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值变形作差定号结论

同理可得在（0，1）上单调递减更一般地小结论：

基本函数的单调性:例4．讨论函数在(-2,2)内的单调性.函数单调性的简单应用

三函数f(x)

的递增区间(a,b)函数f(x)

是在(a,b)上是增函数函数f(x)

在(a,b)上单调递增思考：下面3种说法的区别：(a,b)是递增区间的子集(a,b)是函数f(x)的定义域(a,b)就是函数f(x)的递增区间

(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是___________.例3(－∞，－4]应用：求参数范围延伸探究在本例(1)中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为______.－4[4,8)由函数单调性求参数范围的处理方法(1)由函数解析式求参数若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件.若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.若为函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件.(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.反思感悟（1）已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为____________.（2）若该函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，则x的取值范围为__________.跟踪训练3(－∞，1)应用：解不等式应用：解不等式抽象函数单调性课堂小结1.知识清单：(1)增函数、减函数的定义.(2)函数的单调区间.2.方法归纳：数形结合法.3.常见误区：(1)函数的单调区间不能用并集.(2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域.函数单调性的判断方法

(1)图象法(3)复合法利用图象直观性判断(2)定义法（严格按定义操作）增增增增减减减增减减减增简记为“同増异减”

注意“定义域”

注意若没有定义域则先求“定义域”

在班上找出身高最高的个子，怎么找？满足什么条件？观察一个一个的找小组找再比较图象法分段思维最高且必须是班上的f(x)=x2最小值最低点无最值最大值最高点f(x)=-x2第2课时函数的最大(小)值第三章

3.2.1

单调性与最大(小)值学习目标1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值.3.会借助函数的单调性求最值.4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题.类比最大值的研究方法定义最小值.设函数y=f(x)的定义域为D：如果存在实数M满足：那么就称M是函数y=f(x)的最大值1、函数的最大值与最小值的定义(1)对于任意都有(2)存在使得（最小值）最大值最高点最小值最低点(定义域优先)(1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标.(2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R.(3)一个函数至多有一个最大(小)值.(4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性.(5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值.注意点：直观感知函数的最大值和最小值

一例1作出函数f(x)的图象，如图.由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.图象法求函数最值的一般步骤反思感悟

已知函数f(x)＝

求函数f(x)的最大值、最小值.跟踪训练1作出f(x)的图象如图.由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；利用函数的单调性求函数的最值

二例5.求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．

解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是所以，函数是区间[2,6]上单调递减.单调性法图象法

因此,函数在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为。(1)利用单调性求最值的一般步骤①判断（或证明）函数的单调性.②利用单调性写出最值.(2)函数的最值与单调性的关系①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b).②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值.反思感悟探究生活中的实际问题

三例4、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果在距地面高度hm与时间ts之间的关系为:h(t)=-4.9t2+14.7t+18

，那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.

由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:

于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29m.图象法本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题的步骤是①审清题意；②建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；③总结结论，回归题意.反思感悟

某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝

其中x(单位：台)是仪器

的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；练习设月产量为x台，则总成本为20000＋100x元，∴当x＝300时，f(x)max＝25000；当x>400时，f(x)＝60000－100x单调递减，f(x)<60000－10