河北省高考数学第一轮总复习知识点检测 3.3对数与对数函数课件 旧人教版 课件

第三节对数与对数函数基础梳理1.对数概念(1)定义:一般地,对于指数式

,把“以a为底N的对数b”记作

,即

(a>0,且a≠1).其中a叫做对数的,N叫做.(2)对数性质①没有对数,即;②1的对数为0,即③底的对数等于1,即(3)对数恒等式:(4)常用对数:通常将叫做常用对数,N的常用对数简记为.(5)自然对数:以无理数称为自然对数,N的自然对数简记作.零和负数N>0以10为底的对数lgNe=2.71828…为底的对数lnN底数真数2.对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1);(2);(3).3.换底公式及常见结论(1)换底公式:(2)常见结论(其中a,b,c>0且a,b,c≠1):,

,

,1-14.对数函数的定义:一般地,函数叫做对数函数,它的定义域为,值域为.(0,+∞)R5.对数函数的图象与性质

a>0

0<a<1

图像

性质定义域值域过定点当x>0时,;当x<0时,当x>0时,;当x<0时,在(-∞,+∞)上是在(-∞,+∞)上是函数与的图像关于对称R（0，1）

y>0

y<0

y<0

y>0增函数减函数x轴6.反函数指数函数y=(a>0,a≠1)与对数函数y=(a>0,a≠1,x>0),它们的图象关于直线对称.互为反函数y=x典例分析题型一对数的运算【例1】求下列各式的值.(1)(2)已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求的值.分析关于对数运算的题目,往往需要利用对数的运算性质、对数恒等式、换底公式等进行变形和求解.解

(1)原式=

=

=(2)由题意可得x>0,y>0,且x>2y.又lgx+lgy=2lg(x-2y),∴xy=,即-5xy+4=0,

解得x=4y(或x=y舍去).∴=4,∴=4.学后反思(1)熟练掌握对数的运算性质、换底公式、对数恒等式是进行化简、求值的关键,应用时务必要创造出适合公式或性质应用的条件.(2)解(2)时要注意隐含在题目中的条件:x>2y>0,否则将导致的值出错.举一反三1.计算,求值.(1);(2)已知其中a>0,a≠1,求的值.解析:(1)原式==(2)根据对数的运算法则,原等式可化成∴整理得配方得,∴xy=3,x=2y,∴,∴题型二对数概念及运算性质的综合应用【例2】若a,b,c是均不为零的实数,且.求证:.分析本题应利用对数与指数式的互化,将问题转化为对数的运算.证明设=k(k>0,且k≠1),∴∴∴∴学后反思本题主要考查了两点:(1)应用对数概念进行指数式与对数式的互化;.(2)换底公式的应用:(a>0,a≠1,N>0,N≠1).举一反三2.设x,y,z∈R+,且(1)比较3x,4y,6z的大小;(2)求证:.解析：(1)令=k,则k>1,∴∴

∵k>1,∴同理,4y-6z<0.∴3x<4y<6z.(2)证明：由(1)得∴而∴题型三对数函数的图象与性质【例3】方程的实数解的个数为()A.0B.1C.2D.3分析在同一坐标系中分别画出函数y=与y=的图象,然后观察交点的个数,交点个数即为方程解的个数.解设,分别画出两个函数的图象,如图.从图象上观察与只有一个交点，所以实数解的个数为1.举一反三3.方程的实根的个数为()A.0B.1C.2D.3解析：在同一坐标系中作出函数与的图象(如图),观察得知共有两个不同交点.答案：

C【例4】设0<x<1,a>0,a≠1,比较与的大小.分析本题有作差法与作商法两种思路:（1）若m-n>0,则m>n;（2）对于m>0,n>0,若>1,则m>n.解方法一:∵0<x<1,∴1<1+x<2,0<1-x<1.当0<a<1时,>0,<0,∴∵0<x<1,∴0<1-<1,∴>0,∴当a>1时,<0，>0,∴∴综上可知,.方法二∵0<1-<1,∴0<(1+x)(1-x)<1,∴0<1-x<,∴log（1+x）(1-x)<log(1+x)11+x=-1,则>1.又∵<0,∴∴学后反思

(1)作差法要注意讨论a＞1与0＜a＜1两种情况，依据对数函数单调性，合理去掉绝对值符号，然后判断函数值与0的关系.(2)作商法要注意比较的两式均同号，作商与1比较，本题是含有两绝对值的式子，先运用对数换底公式化简，然后去掉绝对值符号，根据对数函数的性质比较与1的关系.举一反三解析：当1<m<10时，0<lgm<1，∴

当m=10时，lgm=1,∴当m>10时，lgm>1，∴

4.比较

与(m>1)的大小.题型四对数函数性质的综合运用【例5】(12分)已知f(x)=(a>0且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的单调性.分析利用函数的性质,结合指数、对数函数知识进行求解.解

(1)由-1>0得>1,当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0.………………2′∴当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).………4′(2)当a>1时,设0<,则1<,………5′∴0<-1<-1,∴,………7′∴.………………8′∴当a>1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数.……10′类似地,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.…………12′学后反思

(1)含参数的对数问题必须要注意对底数“>1”还是“<1”的讨论.(2)讨论函数单调性时,应注意复合函数单调性“同增异减”的原则.举一反三5.已知f(x)=(a＞0,且a≠1).（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性，并予以证明.解析：∵f(x)=,令＞0,即(1+x)(1-x)＞0,（x+1）(x-1)＜0,∴-1＜x＜1,∴函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)f(x)是奇函数.证明：∵f(-x)===-f(x)，∴f(x)为奇函数.易错警示【例】求函数

的单调区间.错解方法一：设

,则u在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;又

在定义域上单调递减,根据同增异减的原则,函数

在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.方法二：设

,则由u>0,得-1<x<3,则

在(-1,1]上单调递增,在(1,3)上单调递减∴在(-1,1]上单调递增,在(1,3)上单调递减.错解分析方法一忽视了函数

本身的定义域,导致出错;方法二忽略了求复合函数的单调区间及值域问题时,应从内层函数

与外层函数

两方面结合来考虑.正解先求函数的定义域,由

,解得函数

的定义域是(-1,3).设

(-1<x<3),又设-1<≤1,则

,从而

即

.∴函数

在区间(-1,1]上单调递减.同理可得,函数在区间(1,3)上单调递增.考点演练10.(2008·天津)设a>1,若仅有一个常数c使得对任意x∈[a,2a]都有y∈[a,]满足方程,这时a的取值集合为.解析：∵,∴,即y=.把看成常数,则函数y=在[a,2a]上单调递减,∴当x=a时,y=;当x=2a时,y=a.∴即∴a=2.答案：

{2}11.已知f(x)=(a>0,a≠1)(1)求f(x)的定义域;(2)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值范围.解析：（1）若使f(x)有意义，则

,解得-1<x<1，故所求函