大数定律和中心极限定理

大数定律和中心极限定理第1页，共19页，2023年，2月20日，星期一蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律当投针次数n很大时，用针与线相交的频率m/n近似针与线相交的概率p，从而求得π的近似值.针长L线距a第2页，共19页，2023年，2月20日，星期一定义:

设{Xn}为随机变量序列，a是一个常数，若对于任意>0,

有则称{Xn}依概率收敛于a。可记为§1大数定律一、依概率收敛意思是:当a时,Xn落在内的概率越来越大。即第3页，共19页，2023年，2月20日，星期一二、几个常用的大数定律切比雪夫大数定律设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差2>0，则即对任何>0,

证明:

由切比雪夫不等式这里故第4页，共19页，2023年，2月20日，星期一伯努里大数定律

设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn=nA/n为n次试验中事件A发生的频率，则证明:

设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由切比雪夫大数定理：第5页，共19页，2023年，2月20日，星期一辛钦大数定律

若{Xk,k=1,2,...}为独立同分布随机变量序列,EXk=<,k=1,2,…

则当随机变量序列X1,X2,...,Xn,…独立同分布时,有如下更实用的结论：例

在掷骰子过程中，以Xn记第n次掷出的点数，在依概率收敛意义下，求的极限。第6页，共19页，2023年，2月20日，星期一下面我们再举一例说明大数定律的应用.定积分的概率计算法求的值第7页，共19页，2023年，2月20日，星期一

我们介绍均值法，步骤是1)产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn,2)计算g(rn)，n=1,2,…,Nn=1,2,…,N即3)用平均值近似积分值求的值第8页，共19页，2023年，2月20日，星期一

我们介绍均值法，步骤是1)产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn,2)计算g(rn)，n=1,2,…,Nn=1,2,…,N即3)用平均值近似积分值求的值第9页，共19页，2023年，2月20日，星期一应如何近似计算？请思考.问：若求的值第10页，共19页，2023年，2月20日，星期一大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：它是随机现象统计规律的具体表现.大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.平均结果的稳定性第11页，共19页，2023年，2月20日，星期一一、依分布收敛定义设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x),F(x)。若在F(x)的连续点，有则称{Xn}依分布收敛于X。记为§2中心极限定理若随机变量序列{Xn}之和的标准化变量则称随机变量序列{Xn}满足中心极限定理。第12页，共19页，2023年，2月20日，星期一二、几个常用的中心极限定理1、独立同分布的中心极限定理设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=<，DXk=2<，k=1,2,…,

则{Xn}满足中心极限定理。此时有因此，当n充分大时其中Fn(x)为的分布函数。第13页，共19页，2023年，2月20日，星期一例1将一颗骰子连掷100次，试估算点数之和大于500的概率。解:设Xk为第k次掷出的点数,k=1,2,…,100,则X1,…,X100独立同分布。并且由独立同分布的中心极限定理知：第14页，共19页，2023年，2月20日，星期一2、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理设随机变量n(n=1,2,...)服从参数为n,p(0<p<1)的二项分布，则证明:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由独立同分布的中心极限定理,结论即可得证。即第15页，共19页，2023年，2月20日，星期一第16页，共19页，2023年，2月20日，星期一例：华师学生10000名，在周一晚上去自习的概率为0.7，假设彼此自习是相互独立的，设X为周一晚上华师学生去上自习的人数。（1）写出X的分布；（2）用切贝谢夫不等式估算周一晚上华师学生上自习的人数在6800~7200之间的概率的近似值；（3）用棣莫弗-拉普拉斯定理计算周一晚上华师学生上自习人数在6800~7200之间的概率的近似值。解:（1）

第17页，共19页，2023年，2月20日，星期一（2）（3）第18页，共19页，2023年，2月20日，星期一例2一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,…,20),

设它们是相互独立的随机变量，且都服从U(0,10)分布。记V=，求V大于105的近似值。例3一船舶在某海区航行，已知每次遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3度的概率p=1/3，若船遭受了90000次波浪的冲击，问其中有29000~30500次纵摇角大于加3度的概率是多少？例4设每个学生有0名、1名、2名家长参加家长会的概率分别为0.05、0.8、