2023届江苏省常州市前黄高中数学高二下期末达标测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．数学归纳法证明1n+1+1A．12k+2 B．12k+1 C．12．设函数满足则时，()A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值3．若集合，，则等于（）A． B． C． D．4．一个袋中装有大小相同的个白球和个红球，现在不放回的取次球，每次取出一个球，记“第次拿出的是白球”为事件，“第次拿出的是白球”为事件，则事件与同时发生的概率是（）A． B． C． D．5．已知的模为．且在方向上的投影为，则与的夹角为（）A． B． C． D．6．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是()A． B．C． D．7．若，则（）A． B． C． D．8．设,，则（）A． B． C． D．9．已知定义在上的连续奇函数的导函数为，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B． C． D．10．甲、乙两名同学参加2018年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考140分以上的概率分别为和，甲、乙两人是否考140分以上相互独立，则预估这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140分以上的概率为()A． B． C． D．11．已知平面向量，的夹角为，，，则（）A．4 B．2 C． D．12．以圆：的圆心为圆心，3为半径的圆的方程为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平行六面体（即六个面都是平行四边形的四棱柱）中，，，，又，则的余弦值是________．14．某中学开设A类选修课4门，B类选修课5门，C类选修课2门，每位同学从中共选4门课，若每类课程至少选一门，则不同的选法共有_______种.15．已知函数，若方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是______.16．观察如图等式，照此规律，第个等式为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目.（Ⅰ）3名女生相邻，有多少种不同的站法？（Ⅱ）女生甲不能站在最左端，有多少种不同的站法？18．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于不同的两点，，求的值.19．（12分）2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购.乘坐高铁可以网络购票，为了研究网络购票人群的年龄分布情况，在5月31日重庆到成都高铁9600名网络购票的乘客中随机抽取了120人进行了统计并记录，按年龄段将数据分成6组：，得到如下直方图：（1）试通过直方图，估计5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数；（2）若在调查的且年龄在段乘客中随机抽取两人，求两人均来自同一年龄段的概率.20．（12分）已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）若存在实数，，使得，求的最小值.21．（12分）若函数，.（1）把化成或的形式；（2）判断在上的单调性，并求的最大值．22．（10分）从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组，第一组[40,50)；第二组[50,60)；…；第六组[90,100]，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求成绩在区间[80,90)内的学生人数；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选取2名，求至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内的概率．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【详解】当n=k时，左边的代数式为1k+1当n=k+1时，左边的代数式为1k+2故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：12k+1【点睛】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化，属于中档题.2、D【解析】

函数满足，，令，则，由，得，令，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为.又在单调递增，既无极大值也无极小值，故选D.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.3、D【解析】分析：先解绝对值不等式得集合A，再解分式不等式得集合B，最后根据交集定义求结果.详解：因为，所以因为，所以或x>3,因此，选D.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．4、D【解析】

将事件表示出来，再利用排列组合思想与古典概型的概率公式可计算出事件的概率．【详解】事件：两次拿出的都是白球，则，故选D.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，解题时先弄清楚各事件的基本关系，然后利用相关公式计算所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题．5、A【解析】

根据平面向量的投影定义，利用平面向量夹角的公式，即可求解．【详解】由题意，，则在方向上的投影为，解得，又因为，所以与的夹角为，故选A．【点睛】本题主要考查了平面向量的投影定义和夹角公式应用问题，其中解答中熟记向量的投影的定义和向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．6、A【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A．考点：线性回归直线.7、C【解析】分析：由题意根据二项式展开式的通项公式可得，再分别求得的值，从而可得结果.详解：由常数项为零，根据二项式展开式的通项公式可得，且，，，故选C.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.8、D【解析】

求对数函数的定义域求得集合，解一元二次不等式求得集合，求得集合的补集后与集合求交集，由此得出正确选项.【详解】对于集合，，对于集合，，解得或，故，所以，故选D.【点睛】本小题主要考查对数函数定义域、一元二次不等式的解法，集合补集、交集运算，属于基础题.9、C【解析】

根据时可得：；令可得函数在上单调递增；利用奇偶性的定义可证得为偶函数，则在上单调递减；将已知不等式变为，根据单调性可得自变量的大小关系，解不等式求得结果.【详解】当时，令，则在上单调递增为奇函数为偶函数则在上单调递减等价于可得：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较.10、A【解析】分析：根据互斥事件概率加法公式以及独立事件概率乘积公式求概率.详解：因为这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140分以上的概率为甲考140分以上乙未考到140分以上事件概率与乙考140分以上甲未考到140分以上事件概率的和，而甲考140分以上乙未考到140分以上事件概率为，乙考140分以上甲未考到140分以上事件概率为，因此，所求概率为，选A.点睛：本题考查互斥事件概率加法公式以及独立事件概率乘积公式，考查基本求解能力.11、B【解析】

将两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果.【详解】依题意.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题.12、A【解析】

先求得圆M的圆心坐标，再根据半径为3即可得圆的标准方程.【详解】由题意可得圆M的圆心坐标为，以为圆心，以3为半径的圆的方程为．故选:A.【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程转化，圆的方程求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先由题意，画出平行六面体，连接，，用向量的方法，根据题中数据，求出，，再根据余弦定理，即可求出结果.【详解】由题意，画出平行六面体，连接，，则，因为，，，，所以，又，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查空间向量的方法求夹角问题，熟记空间向量的运算法则，以及余弦定理即可，属于常考题型.14、160【解析】

每位同学共选4门课，每类课程至少选一门，则必有某类课程选2门，另外两类课程各选1门，对选2门的这类课程进行分类，可能是A类，可能是B类，可能是C类.【详解】（1）当选2门的为A类，N1（2）当选2门的为B类，N2（3）当选2门的为C类，N3∴选法共有N1【点睛】分类与分步计数原理，要确定好分类与分步的标准，本题对选2门课程的课程类进行分类，再对每一类情况分3步考虑.15、【解析】

先由题意，得显然不是方程的根；当时，原方程可化为，令，，用导数的方法研究函数的单调性，极值，确定函数的大致形状，原方程有四个根，即等价于的图象与直线有四个不同的交点，结合图象，即可求出结果.【详解】当，显然不成立；当时，由得，令，，即，则，方程有四个不相等的实根等价于的图象与有四个不同的交点，当时，，则，由得，由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因此，函数的极小值为；当时，，则，由得；由得；所以在上单调递减，在上单调递增，因此函数的极大值为.画出函数的大致图象如下：由图象可得，只需.故答案为：.【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数的问题，熟记分段函数的性质，导数的方法判断函数的单调性，求函数的极值等，灵活运用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.16、.【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第个等式即可.详解：首先观察等式左侧的特点：第1个等式开头为1，第2个等式开头为2，第3个等式开头为3，第4个等式开头为4，则第n个等式开头为n，第1个等式左侧有1个数，第2个等式左侧有3个数，第3个等式左侧有5个数，第4个等式左侧有7个数，则第n个等式左侧有2n-1个数，据此可知第n个等式左侧为：，第1个等式右侧为1，第2个等式右侧为9，第3个等式右侧为25，第4个等式右侧为49，则第n个等式右侧为，据此可得第个等式为.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）720种；（Ⅱ）4320种【解析】

（Ⅰ）相邻问题用“捆绑法”；（Ⅱ）有限制元素采取“优先法”.【详解】解：（Ⅰ）3名女生相邻可以把3名女生作为一个元素，和4名男生共有5个元素排列，有种情况，其中3名女生内部还有一个排列，有种情况，∴一共有种不同的站法.（Ⅱ）根据题意，女生甲不能站在最左端，那么除最左端之外，甲有种站法，将剩余的6人全排列，安排在剩余的位置，有种站法，∴一共有种不同的站法.【点睛】本题主要考查排列的应用，较基础.18、（1）；（2）.【解析】

（1）将曲线的极坐标方程转化为由此可求出曲线的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入到中，设，对应的参数分别为，，利用韦达定理能求出的值.【详解】解：（1）根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，曲线的极坐标方程为，则，即.故曲线的直角坐标方程为.（2）直线的普通方程为，点在直线上，且倾斜角为，将直线参数方程（为参数），代入到曲线的直角坐标方程得：，设，对应的参数分别为，，则，由曲线的几何意义知：.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程，考查两线段长的平方和的求法，考查运算求解能力，考查与化归转化思想，是中档题.19、（1）32.5（2）【解析】

（1）中位数是直方图中把频率等分的那一点对应的数据．（2）由直方图得年龄在和的乘客人数频率都为0.05，可得人数，计算抽取方法总数和来自同一年龄段的方法数后可计算概率．【详解】（1）由直方图可知：中位数在区间内，设中位为x.由题可得：，所以5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数大约为32.5（2）年龄在和的乘客人数相等，频率为．人数为人则在调查的且年龄在段乘客中随机抽取两人求两人均来自同一年龄段的概率为：．【点睛】本题考查频率分布直方图，考查中位数，考查古典概型．掌握频率分布直方图的知识是解题基础．20、（1）；（2）【解析】

（1）由函数，根据函数的单调性证明即可.（2）设，求出，，，令，根据函数的单调性求出其最小值即可.【详解】（1），，由，解得，由，解得，在单调递减，在单调递增，，在上单调递增，当时，的最小值为.（2）设，则.，则，即，故，，，，即，.令，则，因为和在上单调递增，所以在上单调递增，且，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，当时，取最小值，此时，即最小值是.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性的应用、导数在求函数最值中的应用，考查了转化与化归的思想，属于难题.21、（1）；（2）函数在上单调递增，在上单调递减