2023届湖南省邵阳市邵东县创新实验学校数学高二第二学期期末联考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．展开式中x2的系数为（）A．15 B．60 C．120 D．2402．己知集合，，若，则实数的取值范围_______.A． B． C． D．3．复数的实部与虚部分别为（）A．， B．， C．， D．，4．设等差数列{an}满足3a8=5a15，且A．S23 B．S24 C．S5．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A． B． C． D．6．已知，，则函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．07．设、、，，，，则、、三数（）A．都小于 B．至少有一个不大于C．都大于 D．至少有一个不小于8．若集合，则集合()A． B．C． D．9．若函数满足：对任意的，都有，则函数可能是A． B． C． D．10．设，，则A． B．C． D．11．i是虚数单位，若集合S=，则A． B． C． D．12．点的直角坐标化成极坐标为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知在R上不是单调增函数，那么实数的取值范围是____．14．直线与圆相交的弦长为__________．15．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在前人的基础上写了一部划时代的著作《圆锥曲线论》，该书给出了当时数学家们所研究的六大轨迹问题，其中之一便是“到两个定点的距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”，简称“阿氏圆”．用解析几何方法解决“到两个定点，的距离之比为的动点轨迹方程是：”，则该“阿氏圆”的圆心坐标是______，半径是_____．16．对于定义域为的函数，若满足①；②当，且时，都有；③当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：①；②；③；④.则其中是“偏对称函数”的函数序号为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（且），.（1）函数的图象恒过定点，求点坐标；（2）若函数的图象过点，证明：方程在上有唯一解.18．（12分）随着生活水平的提高，越来越多的人参与了潜水这项活动.某潜水中心调查了100名男性与100女性下潜至距离水面5米时是否耳鸣，下图为其等高条形图：①绘出列联表；②根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为耳鸣与性别有关系？附：，其中.0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.82819．（12分）随着共享单车的蓬勃发展，越来越多的人将共享单车作为短距离出行的交通工具.为了解不同年龄的人们骑乘单车的情况，某共享单车公司对某区域不同年龄的骑乘者进行了调查，得到数据如下：年龄152535455565骑乘人数958065403515（1）求关于的线性回归方程，并估计年龄为40岁人群的骑乘人数；（2）为了回馈广大骑乘者，该公司在五一当天通过向每位骑乘者的前两次骑乘分别随机派送一张面额为1元，或2元，或3元的骑行券.已知骑行一次获得1元券，2元券，3元券的概率分别是，，，且每次获得骑行券的面额相互独立.若一名骑乘者五一当天使用了两次该公司的共享单车，记该骑乘者当天获得的骑行券面额之和为，求的分布列和数学期望.参考公式：，.参考数据：，.20．（12分）知数列的前项和.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若直线与圆相切，求的值.22．（10分）某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品研发成功,预计企业可获得万元,若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

∵展开式的通项为，令6-r=2得r=4，∴展开式中x2项为，所以其系数为60,故选B2、B【解析】

首先解出集合,若满足，则当时，和恒成立，求的取值范围.【详解】，，即当时，恒成立，即，当时恒成立，即，而是增函数，当时，函数取得最小值，且当时，恒成立，，解得：综上：.故选：B【点睛】本题考查根据给定区间不等式恒成立求参数取值范围的问题，意在考查转化与化归和计算求解能力，恒成立问题可以参变分离转化为求函数的最值问题，如果函数是二次函数可以转化为根的分布问题，列不等式组求解.3、A【解析】分析：化简即可得复数的实部和虚部.详解：复数的实数与虚部分别为5，5.故选A.点睛：复数相关概念与运算的技巧(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键．(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程．4、C【解析】因a8=a1+7d,a15=a1+14d，故由题设3a8=5a155、D【解析】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.6、B【解析】

由题意可作出函数f(x)和g(x)的图象，图象公共点的个数即为函数h(x)=f(x)−g(x)的零点个数．【详解】可由题意在同一个坐标系中画出f(x)=2lnx，的图象，其中红色的为f(x)=2lnx的图象，由图象可知：函数f(x)和g(x)的图象有2个公共点，即h(x)=f(x)−g(x)的零点个数为2，故选：B．【点睛】本题考查函数的零点问题，属于函数与方程思想的综合运用，求零点个数问题通常采用数形结合方法，画出图像即可得到交点个数，属于中等题.7、D【解析】

利用基本不等式计算出，于此可得出结论.【详解】由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，若、、三数都小于，则与矛盾，即、、三数至少有一个不小于，故选D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8、D【解析】试题分析：解：所以选D．考点：集合的运算．9、A【解析】

由判断；由判断；由判断判断；由判断.【详解】对于，，对．对于，，不对．对于，，不对．对于，，不对，故选A．【点睛】本题考查了函数的解析式的性质以及指数的运算、对数的运算、两角和的正弦公式，意在考查对基本运算与基本公式的掌握与应用，以及综合应用所学知识解答问题的能，属于基础题．10、B【解析】

分析：求出，得到的范围，进而可得结果．详解：.,即又即故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．11、B【解析】

试题分析：由可得，，，，.考点：复数的计算，元素与集合的关系.12、D【解析】

分别求得极径和极角，即可将直角坐标化为极坐标.【详解】由点M的直角坐标可得：，点M位于第二象限，且，故，则将点的直角坐标化成极坐标为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直角坐标化为极坐标的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【解析】

根据函数单调性和导数之间的关系，转化为f′（x）≥0不恒成立，即可得到结论．【详解】∵函数yx3+mx2+（m+2）x+3，∴f′（x）＝x2+2mx+m+2，∵函数yx3+mx2+（m+2）x+3在R上不是增函数，∴f′（x）＝x2+2mx+m+2≥0不恒成立，∴判别式△＝4m2﹣4（m+2）＞0，∴m2﹣m﹣2＞0，即m＜﹣1或m＞2，故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，考查了转化思想，考查了二次不等式恒成立的问题，属于中档题．14、【解析】

将极坐标方程化为直角坐标系方程是常用方法．【详解】将直线化为普通方程为：，∵，∴，化为普通方程为：，即，联立得，解得，∴直线与圆相交的弦长为，故答案为．考点：简单曲线的极坐标方程．15、2【解析】

将圆化为标准方程即可求得结果.【详解】由得：圆心坐标为：，半径为：本题正确结果：；【点睛】本题考查根据圆的方程求解圆心和半径的问题，属于基础题.16、①④.【解析】分析：条件②等价于f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，条件③等价于f（x）﹣f（﹣x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，依次判断各函数是否满足条件即可得出结论．详解：由②可知当x＞0时，f′（x）＞0，当x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，f2（x）=ln（﹣x）=ln，∴f2（x）在R上单调递减，不满足条件②，∴f2（x）不是“偏对称函数”；又（）=（）=0，∴（x）在（0，+∞）上不单调，故（x）不满足条件②，∴（x）不是“偏对称函数”；又f2（x）=ln（﹣x）=ln，∴f2（x）在R上单调递减，不满足条件②，∴f2（x）不是“偏对称函数”；由③可知当x1＜0时，f（x1）＜f（﹣x2），即f（x）﹣f（﹣x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，对于（x），当x＜0时，（x）﹣（﹣x）=﹣x﹣e﹣x+1，令h（x）=﹣x﹣e﹣x+1，则h′（x）=﹣1+e﹣x＞0，∴h（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故h（x）＜h（0）=0，满足条件③，由基本初等函数的性质可知（x）满足条件①，②，∴（x）为“偏对称函数”；对于f4（x），f4′（x）=2e2x﹣ex﹣1=2（ex﹣）2﹣，∴当x＜0时，0＜ex＜1，∴f4′（x）＜2（1﹣）2﹣=0，当x＞0时，ex＞1，∴f4′（x）＞2（1﹣）2﹣=0，∴f4（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，满足条件②，当x＜0，令m（x）=f4（x）﹣f4（﹣x）=e2x﹣e﹣2x+e﹣x﹣ex﹣2x，则m′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣e﹣x﹣ex﹣2=2（e2x+e﹣2x）﹣（e﹣x+ex）﹣2，令e﹣x+ex=t，则t≥2，于是m′（x）=2t2﹣t﹣6=2（t﹣）2﹣≥2（2﹣）2﹣=0，∴m（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴m（x）＜m（0）=0，故f4（x）满足条件③，又f4（0）=0，即f4（x）满足条件①，∴f4（x）为“偏对称函数”．故答案为：①④．点睛：本题以新定义“偏对称函数”为背景，考查了函数的单调性及恒成立问题的处理方法，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)结合对数函数的性质可得函数的图象恒过定点；(2)由题意结合函数的单调性和函数的值域即可证得题中的结论.试题解析：（1）解：∵当时，，说明的图象恒过点.（2）证明：∵过，∴，∴，∵分别为上的增函数和减函数，∴为上的增函数，∴在上至多有一个零点，又，∴在上至多有一个零点，而，，∴在上有唯一解.18、①答案见解析；②能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为耳鸣与性别有关系.【解析】分析：①.由题意结合等高条形图求得相应的人数，然后绘制列联表即可；②.结合①中的列联表计算的观测值：，则能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为耳鸣与性别有关系.详解：①由男女生各100人及等高条形图可知耳鸣的男生有人，耳鸣的女生有人，∴无耳鸣的男生有100-30=70人，无耳鸣的女生有100-50=50人，所以列联表如下：有耳鸣无耳鸣总计男3070100女5050100总计80120200②公式计算的观测值：，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为耳鸣与性别有关系.点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．19、（1）大致为55人（2）分布列见解析，【解析】分析：（1）根据题意求得，代入公式求得回归直线方程，令代入方程可估计年龄为40岁人群的骑乘人数；（2）由题意．的所有可能取值为．分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．详解：（1）由题意可知，代入公式可得，，，所以线性回归方程为，令可得，，故年龄为40岁人群的骑乘人数大致为55人.（2）由题意可知的所有可能取值为，其相应概率为：，，，，，所以的分布列为：X23456P.点睛：本题考查回归直线方程的求法及其应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20、（1）；（2）。【解析】

（1）利用当时，，再验证即可.（2）由（1）知.利用裂项相消法可求数列的前项和.【详解】（1）.当时，.又符合时的形式，所以的通项公式为.（2）由（1）知.数列的前项和为.【点睛】本题考查数列的通项的求法，利用裂项相消法求和，属于中档题．21、（1）,；（2）．【解析】

（1）根据参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标