2023届湖南省名校高二数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．盒子里共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个红球个白球，从盒子中任取个球，则恰好取到个红球个白球的概率为（）．A． B． C． D．3．若，，，则（）A． B．C． D．4．若幂函数的图象经过点，则其解析式为（）A． B． C． D．5．下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（）A． B． C． D．6．函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．若，则()A．2 B．0 C．-1 D．-28．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响.设随机变量为该射手在次射击中击中目标的次数，若，，则和的值分别为（）A．5， B．5， C．6， D．6，9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．10．若X是离散型随机变量，P(X=x1)=23,P(X=x2)=1A．53 B．73 C．311．设：实数，满足，且；：实数，满足；则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，的部分临界值表如下：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879以下判断正确的是（）A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量有关系B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量没有关系C．有的把握说变量有关系D．有的把握说变量没有关系二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，，当时，这两个函数图象的交点个数为____个．（参考数值：）14．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为____________15．已知函数的导函数为，若，则的值为___.16．椭圆，参数的范围是）的两个焦点为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且，则等于．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，是平面的斜线，为斜足平面，为垂足，是平面上的一条直线，于点，，.（1）求证：平面；（2）求和平面所成的角的大小.18．（12分）设为实数，函数，（Ⅰ）若求的极小值.（Ⅱ）求证：当且时，.19．（12分）已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)对于任意正实数x,不等式恒成立,求实数k的取值范围.20．（12分）在平面直角坐标系中，对于点、直线，我们称为点到直线的方向距离.（1）设双曲线上的任意一点到直线，的方向距离分别为，求的值；（2）设点、到直线的方向距离分别为，试问是否存在实数，对任意的都有成立？说明理由；（3）已知直线和椭圆，设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为满足，且直线与轴的交点为、与轴的交点为，试比较的长与的大小.21．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）曲线与相交于两点，求过两点且面积最小的圆的标准方程.22．（10分）如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

对进行变形，得到，令，，即的整数个数为3，再由的函数图像和的函数图像，写出限制条件，得到答案【详解】，即设，其中时，时，即符合要求，所以时，，单调递减，，单调递增，为极小值.有三个整数解，则还有一个整数解为或者是①当解集包含时，时，所以需要满足即，解得②当解集包含时，需要满足即整理得，而，所以无解集，即该情况不成立.综上所述，由①②得，的范围为故选D项.【点睛】利用导数研究函数图像，两个函数图像的位置关系与解析式大小之间的关系，数形结合的数学思想，题目较综合，考查内容比较多，属于难题.2、B【解析】由题意得所求概率为．选．3、C【解析】

直接由微积分基本定理计算出可得．【详解】因为，，，所以，故选：C.【点睛】本题考查微积分基本定理，掌握基本初等函数的积分公式是解题关键．4、C【解析】

设幂函数，代入点，即可求得解析式.【详解】设幂函数，代入点，，解得，.故选C.【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法.5、D【解析】

由奇函数和偶函数图象的对称性，根据的图象和的定义域便可判断出错误，而由的单调性便可判断选项错误，从而得出正确．【详解】选项：根据的图象知该函数非奇非偶，可知错误；选项：的定义域为，知该函数非奇非偶，可知错误；选项：时，为增函数，不符合题意，可知错误；选项：，可知函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在上单调递减，可知正确.本题正确选项：【点睛】本题考查奇函数和偶函数图象的对称性，函数单调性的问题，属于基础题．6、B【解析】

因为和在均为增函数，所以在单调递增，所以函数至多一个零点，再给赋值，根据可得函数在上有一个零点【详解】因为与均在上为增函数，所以函数至多一个零点又，，，即函数在上有一个零点答案选B【点睛】零点问题可根据零点存在定理进行判断，也可采用构造函数法，根据构造的两新函数函数交点个数来确定零点个数7、C【解析】令可得：，令，可得：，据此可得：-1.本题选择C选项.点睛：因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．8、B【解析】

通过二项分布公式及可得答案.【详解】根据题意，，因此，，解得，故选B.【点睛】本题主要考查二项分布的相关公式，难度不大.9、B【解析】

根据三视图可确定几何体为一个底面半径为的半圆柱中间挖去一个底面半径为的半圆柱；依次计算出上下底面面积、大圆柱和小圆柱侧面积的一半以及轴截面的两个矩形的面积，加和得到结果.【详解】由三视图可知，几何体为一个底面半径为的半圆柱中间挖去一个底面半径为的半圆柱几何体表面积：本题正确选项：【点睛】本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够通过三视图确定几何体，从而明确表面积的具体构成情况.10、C【解析】

本题考查期望与方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得结论．【详解】∵E(X)=∴2∴x1=1x∴x故选C.考点：离散型随机变量的期望方差.11、A【解析】

利用充分必要性定义及不等式性质即可得到结果.【详解】当，且时，显然成立，故充分性具备；反之不然，比如：a=100，b=0.5满足，但推不出，且，故必要性不具备，所以是的充分不必要条件.故选A【点睛】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12、A【解析】分析：根据所给的观测值，对照临界值表中的数据，即可得出正确的结论．详解：∵观测值，

而在观测值表中对应于3.841的是0.05，

∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量有关系．

故选：A．点睛：本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1．【解析】

原问题等价于函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数y＝m，m∈（7，8）的交点个数，作出函数图象观察即可得出答案．【详解】函数f（x）与函数g（x）的交点个数，即为﹣x2+8x＝6lnx+m的解的个数，亦即函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数y＝m，m∈（7，8）的交点个数，，令y′＝0，解得x＝1或x＝1，故当x∈（0，1）时，y′＜0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递减，当x∈（1，1）时，y′＞0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递增，当x∈（1，+∞）时，y′＜0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递减，且y|x＝1＝7，y|x＝1＝15﹣6ln1＞8，作出函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx的草图如下，由图可知，函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数y＝m，m∈（7，8）有1个交点．故答案为：1．【点睛】本题考查函数图象的运用，考查函数交点个数的判断，考查了运算能力及数形结合思想，属于中档题．14、【解析】

因为点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是过点P的切线与直线平行的时候，则，即点（1，1）那么可知两平行线间的距离即点（1，1）到直线的距离为15、【解析】

求函数的导函数，令即可求出的值.【详解】因为令则所以【点睛】本题主要考查了函数的导数，及导函数求值，属于中档题.16、【解析】试题分析：设P为椭圆平分正三角形的边的一个点，则为一个锐角为直角三角形，因为斜边长，所以另两条直角边长为由椭圆定义有考点：椭圆定义三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）推导出，，由此能证明平面．（2）设，推导出，，，从而，由平面，得是和平面所成的角，由此能求出和平面所成的角．【详解】（1）是平面的斜线，为斜足，平面，为垂足，是平面上的一条直线，，又，且，平面．（2）设，于点，，．平面，，，，，平面，是和平面所成的角，，，，和平面所成的角为．【点睛】本题考查线面垂直的证明、线面角的求法、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】

（Ⅰ）将代入，求导，得出极小值点，代入即可求出答案。（Ⅱ）令，则，即只需说明当，在内单调递增即可。【详解】解：（I）由，，知，，令，得，则当时，，当时，，故在处取得极小值.极小值为.（II）证明：设，，于是，，由（I）知，对于，都有，故在内单调递增.于是，当时，对任意的，都有，而，从而对，都有，即故【点睛】本题考查利用函数单调性证明不等式，属于中档题。19、（1）在上单调递减,在上单调递增（2）【解析】

（1）利用导数的正负即可求出单调区间；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最小值即可；【详解】(1)因为.所以,令,得,当时,;当时,所以函数在上单调递减,在上单调递增.(2)由于,恒成立,所以.构造函数,所以.令,解得,当时,,当时,.所以函数在点处取得最小值,即.因此所求k的取值范围是.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查计算能力和分析问题的能力，以及转化思想，属于中档题．20、(1)；(2)，理由见详解；(3)，证明见详解.【解析】

(1)根据定义表示出，然后结合点在双曲线上计算出的值；(2)假设存在满足条件，计算出的值，令，即可求解出满足条件的的值；(3)根据新定义得到的结果，根据条件得到的范围，将的范围代入到中利用基本不等式即可比较出与的大小，即可比较出与的大小.【详解】(1)由题设可知：设，所以，所以，又因为，所以；(2)假设存在实数满足条件，因为，，所以，所以，所以，故存在满足条件；(3)因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，取等号时，所以，所以.【点睛】本题考查新定义背景下的圆锥曲线的综合应用，难度较难.(1)存在性问题，先假设成立，然后再探究成立的条件；(2)新定义问题，首先要理解定义，其次才是利用所学知识解答问题.21、（1）曲线的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）【解析】试题分析：（1）利用消参和极坐标公式，化参数方程和极坐标方程为普通方程；（2）直线和椭圆相交，联立求中点即为圆心，弦长即为直径，所以过两点且面积最小的圆的标准方程为．试题解析：（1）由消去参数，得，即曲线的普通方程为，由，得，即，即．即曲线的直角坐标方