高中数学(人教版B版·必修5)配套练习1.2应用举例 第1课时

应举例课一、选择题1．海上两个小岛相距10nmile，望C岛和B成的视角，岛望C岛和岛成的视角，则B的距离是()A．3nmileC．52nmile

B．10mileD．56nmile[案][析]

D如图，由正弦定理，得＝，sin45°∴＝2．某人向东方向走km后，他向右转，然后朝新方向走，结果他离出发点恰好3km，那么x的值为)A．3C．23[案]

B．2D．3[析]

由题意画出三角形如图．则ABC30°由余弦定理，得cos30°

x＋936

，∴x233.3灯A和与海洋观察站C的距离都等于akmA观察站的北偏东，灯塔在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔的距离为()A．akmC．2akm

B．3kmD．2akm[案][析]

B∠ACB120°ACa由余弦定理可得AB(km)4．有一长为的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提，通过加长

sin30°2222sin30°2222坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸()A．5mC．102[案]

B．10mD．3m[析]

如图，在△ABC中，由正弦定理，得x＝，∴x5．江岸边一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别和，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()A．3mC．203m

B．100D．[案][析]

D设炮台顶部A条船分别为B台底部为D知∠BADCAD＝60°∠BDC，AD分别在Rt、RtADC中，求得BD，DC在△中，由余弦定理，得＝DB＋－DC，解得＝30.6．如图所，设、两点在河的两岸，一测量者在所在的河岸边选定一点C，测出距离为50m，∠ACB＝45°，∠＝后，就可以计算、两点的距离为()A．2mC．252m

B．5025D．m[案][析]

A由题意知∠＝30°，由正弦定理，得＝，sin∠sin∠

22260sin30°22260sin30°∴AB＝

·sinACBsin∠

＝

501

22

＝50．2二、填空题7．两船同从A出发，甲船以每小时20nmile的速度向北偏东80°的方向行，乙船以每小时mile的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距_______nmile.[案][析]

28如图，△ABC，＝，AC，∠CAB40°＝120°由余弦定理，BC20＋12－2××12·cos120°mile)

BC8以24km/h的速度向正北方向航行A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上船在点B时与灯塔S的距离是_km.(精确0.1km)[案][析]

5.2作出示意图如图．由题意知，15则AB＝×＝66BS∠＝35°由正弦定理，得＝，可得≈．三、解答题

6022222206022222209．如图，船以每小302nmile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B处，此时两船相距mile.11当甲船航行20min到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距22102nmile，问乙船每小时航行多少n[析]

解法一：如图，连AB，由已知，120＝102＝302×＝102212∴＝AB，又∠A＝－＝60°12222∴eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)是等边三角形，12∴＝AA＝102.122由已知，B＝201∠＝－60°45°11由eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)中，由余弦定理，得11＝BAB－·A111112＝20＋(102)－×20×102＝200.∴＝1012102因此乙船的速度的大小为×60302(n．答：乙船每小时航行2nmile.解法二：如图，连结AB.21

602221222220602221222220由已知，B＝20120＝302×＝102∠＝105°11＝＋＝cos45°cos60°＝＋60°)＝＋

234234

..在eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)中，由余弦定理，得21＝BAA－·A·cos105°21211＝＋20－×10×20×

234＝＋23)∴＝＋．21由正弦定理，得sin∠＝·sinB1AB112202＝×＝，104∴∠B＝45°即＝－＝，1112cos15°sin105°

24

.在eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)中，由已知AB＝10，122由余弦定理，得BB＝AB＋－2AB·AB·cos15°122212＝10(13)＋2)－×10(1×10×∴＝10，12102乙船速度的大小为×60302nmile/h

24

＝200.

22答：乙船每小时航行2nmile.一、选择题1．如图，货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东，与灯塔S相距mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A．＋6)nB．－2)nC．6mile/hD．－3)n[案][析]

B由题意可知＝，∠MNS105°则∠＝－105°45°30°.＝20MS在△中，由正弦定理，得＝，sin105°20sin30°∴MN＝

10sin45°10＝＋＝

10624

＝6．1∴货轮的速度为10(62)÷＝6mile/h)2．一船向北航行，看见正西方向有相距mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏方向上，另一灯塔在船的南偏75°方向上，

0.522222214140.52222221414则这艘船的速度是每小时()A．mileC．10nmile[案]

B．53nD．3n[析]

如图，依题意有＝60°∠BAD，∴∠CAD∠CDA，从而CDCA，在Rt△中，求得＝55∴这艘船的速度是＝mile/h)二、填空题3．甲船在A的正南处，以的速度向正北航行，AB＝10km，同时乙船自岛出发以的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为_[案]

1507

min[析]

如图两船航th船到D处船到C处，

则AD10－4tACtCADAD＝4t10AC＝6t′1所以＝t)＋(10t)－×t×t)()28－

＝，20t10055150∴当t＝时，CD最小，即两船最近t＝hmin.4．已知船A处测得它的南偏东的海面上有一灯塔C，船以每小时30nmile速度向东南方向航行半小时后到达B点，于处看到灯塔在船的正西方向，问这时船和灯塔相距__________nmile.[案][析]

56－2如图，－＝，

2222262222261∠ACB180°60°＝120°AB30＝15∴＝

×CAB15×sin15°＝sin∠∵＝sin(45°30°)＝－

624

，56∴＝(3mile)三、解答题5图炮兵阵地位于地面处观察所分别位于地面点CD处知CD＝000m∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面处时测得∠BCD＝30°，BDC＝求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)[析]

由于∠ADC75°BDC15°，∴直角．题中有多个三角形而抓住△为直角三角形作为突破口可简化计算．6在△ACD，∠CAD，AD＝CD2在△BCD，∠CBD，BD＝，∠＝90°.在Rt△ABD中，＝

42＋BD＝1．答：炮兵阵地到目标的距离为42．

22222226161616222222261616166．如图所，表示海中一小岛周围mile内有暗礁，一船从A由西向东航行望见此岛在北75°．船8mile，望见这岛在东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险．[析]ABC15°.

在△ABC中，＝8∠ACB＋60°，∠CAB＝－75°∴∠∴△ABC为等腰三角形＝8BCD＝30°8＝·sin30°＝故该船没有触礁危险．7．碧波万的大海上，“蓝天号”渔轮在处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”的B处在“白云号”以每小时mile速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时的速度由A处向南偏西方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．[析]如右图，设经th“天号”渔轮行驶到C