2023北京高三一模数学汇编：数列

第1页/共1页2023北京高三一模数学汇编数列1．（2023·北京海淀·统考一模）在等差数列中，，，则（

）A． B． C． D．2．（2023·北京石景山·统考一模）已知数列满足：对任意的，都有，且，则（

）A． B． C． D．3．（2023·北京房山·统考一模）已知数列对任意满足，且，则等于（

）A． B． C． D．4．（2023·北京朝阳·统考一模）已知项数为的等差数列满足，．若，则k的最大值是（

）A．14 B．15 C．16 D．175．（2023·北京顺义·统考一模）若等差数列和等比数列满足，则的公差为（

）A．1 B． C． D．26．（2023·北京平谷·统考一模）设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件7．（2023·北京石景山·统考一模）项数为的有限数列的各项均不小于的整数，满足，其中.给出下列四个结论：①若，则；②若，则满足条件的数列有4个；③存在的数列；④所有满足条件的数列中，首项相同.其中所有正确结论的序号是_________.8．（2023·北京海淀·统考一模）已知数列．给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意连续三项，均有．(1)分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由：（i）有穷数列：；（ⅱ）无穷数列：．(2)若有穷数列满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值；(3)若数列满足性质①和性质②，且，求的通项公式．9．（2023·北京房山·统考一模）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.(1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由；(2)若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值；(3)已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：.10．（2023·北京东城·统考一模）已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：①；②.则称这样的数表具有性质.(1)若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；(2)对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得；(3)对于具有性质的数表，当n为偶数时，求的最大值.11．（2023·北京石景山·统考一模）若无穷数列满足以下两个条件，则称该数列为数列.①，当时，；②若存在某一项，则存在，使得（且）.(1)若，写出所有数列的前四项；(2)若，判断数列是否为等差数列，请说明理由；(3)在所有的数列中，求满足的的最小值.12．（2023·北京东城·统考一模）已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为的等差数列，则______，______.

参考答案1．C【分析】设等差数列的公差为，求出的值，即可得出，即可得解.【详解】设等差数列的公差为，则，则.故选：C.2．B【分析】根据对任意的，有，且，求得的值，即可得的值.【详解】对任意的，都有，且，所以，则，所以.故选：B.3．D【分析】由数列递推公式依次计算，，，，即可得答案.【详解】由题意可得，，，，.故选：D4．B【分析】通过条件，，得到，再利用条件得到，进而得到不等关系：，从而得到的最大值.【详解】由，，得到，即，当时，恒有，即，所以，由，得到，所以，，整理得到：，所以.故选：B5．A【分析】根据等差等比数列的通项公式转化为首项与公比，公差的关系求解.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，又又，故选：A6．C【详解】试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．②等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．7．①②④【分析】根据有限数列的性质，，及满足，其中，利用不等式放缩，结合等比数列求和可得，即可确定的值，从而可判断①③④的正误，若，得，结合，求得的关系，根据不等式求得的范围，一一列举得数列，即可判断②.【详解】由于有限数列的各项均不小于的整数，所以，，又因为，所以所以，且，为整数，所以，故③不正确，④正确；当时，得，所以，则，故①正确；当时，得，因为，所以，则，所以，为整数，则的可能取值为，对应的的取值为，故数列可能为；；；，共4个，故②正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：项数为的有限数列的性质入手，从各项，结合不等式放缩，确定的范围，从而得的值，逐项验证即可.8．(1)（i）不满足，理由见详解；（ⅱ）满足，理由见详解(2)3(3)【分析】（1）（i）令，代入求解即可判断；（ⅱ）对于任意，直接相乘得到即可判断；（2）对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为，令时，得到；再令时，得到，从而得到数列至多有0，-1，1共3项，再构造数列：0，-1，1，证明其满足性质①和性质②，进而即可求得项数m的最大值；（3）首先证明：当，时，数列满足，且，(*)，再考虑，，三项，结合性质(*)得到，从而，最后经验证，数列：满足条件，再通过反证法证明这是唯一满足条件的数列即可．【详解】（1）（i）不满足．令，则不是数列{an}中的项，故有穷数列不满足性质①；（ⅱ）满足．对于任意，有，由于，令即可，故无穷数列满足性质①．（2）对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为，故令时，存在一项，又是数列非零项中绝对值最大的，所以，即；再令时，存在一项，又是数列非零项中绝对值最小的，所以，即，又，所以数列所有非零项的绝对值均为1，又数列的各项均不相等，所以其至多有0，-1，1共3项，所以，构造数列：0，-1，1，其任意两项乘积均为0，-1，1之一，满足性质①；其连续三项满足，满足性质②.又其各项均不相等，所以该数列满足条件，此时，综上，的最大值为3．（3）首先证明：当，时，数列满足，且，(*)因为对于任意数列的连续三项，，，总有，即或，不论是哪种情形，均有当时，，即；当时，，亦有，又，故性质(*)得证．考虑，，三项，有或，若，则，此时令，有，由性质(*)知不存在k使得，且，故只有，此时，因为，

所以令时，，由性质(*)知，只有或，当时，，，此时令，，但，即，由性质(*)知不存在k使得，所以，即，从而，经验证，数列：满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列，假设是第一个不满足上述通项公式的项，，当，时，只能为，令，则，但，由性质(*)，不存在k使得，当，时，只能为，则，令，则，但，由性质(*)，不存在k使得，故不存在不满足上述通项公式的项，综上，数列的通项公式为．【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决．9．(1)是，理由见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）计算，，，得到答案.（2）根据题意得到，，计算当时，，当时，，得到答案.（3）证明，得到，得到，代入计算得到证明.【详解】（1）因为，则，，又，故，数列是“速增数列”.（2），当时，，即，，当时，，当时，，故正整数k的最大值为.（3），故，即；，故，即，同理可得：，，，故，故，，得证.【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题意利用累加法的思想确定是解题的关键.10．(1)答案见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据题意写出满足性质的所有数表，再分别计算即可；（2）根据题意，可知当取最大值时，存在，使得，由数表具有性质可得为奇数，不妨设此时数表为，再利用反证法证明即可；（3）结合性质可得，，两式相加可得得，结合，可得，构造数表，结合性质进而可以求解.【详解】（1）满足条件的数表为，所以的值分别为5，5，6.（2）若当取最大值时，存在，使得.由数表具有性质可得为奇数，不妨设此时数表为.①若存在（为偶数，），使得，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在，使得.②若对任意的（为偶数，），都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，此时转化为①的情况.综上可知，存在正整数，使得.（3）当n为偶数时，令，，对任意具有性质数表，一方面，，因此．①另一方面，，因此.②记．由①+②得.又，可得.构造数表可知数表具有性质，且.综上可知，当n为偶数时，的最大值为.【点睛】方法点睛：在证明抽象问题时，常常使用反证法：先设题设不成立，结合条件推出矛盾，即可说明题目成立.11．(1)数列的前四项为：；；；(2)数列为首项为1公差为4的等差数列，理由见解析(3)的最小值为【分析】（1）先根据条件①去绝对值可得或，由得，再根据条件逐个列举即可；（2）由条件①知，当时，或，由得，利用反证法假设数列中存在最小的正整数（），使得，根据单调性结合条件②可知假设不成立，即可得结论；（3）先根据条件②可得必为数列中的项，再结合条件①可得分析即可．【详解】（1）由条件①知，当时，或，因为，由条件①知，所以数列的前四项为：；；；.（2）若，数列是等差数列由条件①知，当时，或，因为，所以假设数列中存在最小的正整数（），使得，则单调递增，由则均为正数，且.所以.由条件②知，则存在，使得此时与均为正数矛盾，所以不存在整数（），使得，即.所以数列为首项为1公差为4的等差