2023年高考数学一轮复习课件：3-2第二节导数在研究函数中的应用

第二节导数在研究函数中的应用必备知识—基础落实·最新考纲·1．了解函数的单调性和导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)．3．了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件．4．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．5．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．·考向预测·考情分析：本节一直是高考的重点和难点，一般以基本函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值及最值，求解中多利用分类讨论思想，题型主要以解答题为主，属中高档题．学科素养：通过利用导数研究函数的性质考查数学抽象、数学运算的核心素养．必备知识—基础落实一、必记3个知识点1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导：(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内________．(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内________．(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内____________．单调递增单调递减不具备单调性[提醒]

注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别．若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”或“和”字隔开．2．函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值______，而且在x＝a附近的左侧________，右侧________，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值______，左侧________；右侧________，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．都小f′(x)＜0f′(x)＞0都大f′(x)＞0f′(x)＜0[提醒]

(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条__________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的_____．②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[提醒]

极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．连续不断极值二、必明4个常用结论1．f′(x)>0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件．2．f′(x)≤0是函数f(x)为减函数的必要不充分条件．3．若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点．4．若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(

)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(

)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(

)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(

)(5)函数的极大值一定是函数的最大值．(

)(6)开区间上的单调连续函数无最值．(

)×××√√√(二)教材改编2．[选修2－2·P26练习T2改编]函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：①f′(x)>0时，－1<x<2；②f′(x)<0时，x<－1或x>2；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.则函数f(x)的大致图象是(

)答案：C解析：根据信息知，函数f(x)在(－1，2)上是增函数，在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数．3．[选修2－2·P30例5改编]已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x，则f(x)在闭区间[－1，5]上的最小值为______，最大值为________．－1620解析：f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，当－1<x<1或3<x<5时，f′(x)>0，所以f(x)在(－1，1)，(3，5)上为增函数，当1<x<3时，f′(x)<0，所以f(x)在(1，3)上为减函数，f(－1)＝－16，f(3)＝0，f(1)＝4，f(5)＝20，故f(x)在闭区间[－1，5]上的最小值为－16，最大值为20.(三)易错易混4．(极值点存在的条件不清致误)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(

)

A.1

B．2C．3

D．4答案：A解析：如图，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，

且在x＝c附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，所以在区间(a，b)内只有1个极小值点．5．(极值点存在的条件不清致误)设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是____________．(－∞，－1)解析：∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数

y＝ex＋ax有大于零的极值点，且函数y′＝ex