常微分方程李淑娟

常微分方程李淑娟第1页，共41页，2023年，2月20日，星期一

函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系。

现实中的量与量之间的关系稍微复杂一些，不能直接写出它们之间的关系，但容易地建立这些变量和它们的导数（或微分）直接的关系式。数学建模工作室欢迎您第2页，共41页，2023年，2月20日，星期一表示未知函数、未知函数的导数(微分)以及自变量之间的关系的方程。数学建模工作室欢迎您未知函数是多元函数的微分方程未知函数是一元函数的微分方程。微分方程常微分方程偏微分方程第3页，共41页，2023年，2月20日，星期一引例：曲线方程

已知曲线上任意一点处切线的斜率等于该点横坐标3倍，且过点(-1,3)，求此曲线方程。数学建模工作室欢迎您第4页，共41页，2023年，2月20日，星期一（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。建立微分方程模型的方法数学建模工作室欢迎您第5页，共41页，2023年，2月20日，星期一在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。建立微分方程模型的方法（3）模拟近似法数学建模工作室欢迎您第6页，共41页，2023年，2月20日，星期一

微分方程是数学建模中用到的最广泛的模型之一。它可以应用于预测人口的走势，种群的增长，污染物的扩散等实际问题的解决中。数学建模工作室欢迎您第7页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模中常用的微分方程模型人口增长模型1传染病传播模型2数学建模工作室欢迎您第8页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您人口增长模型种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，短时间内改变的是少数个体，与整体数量相比，这种变化是很微小的。我们通常假定大规模种群的个体数量是时间的连续可微函数，由此引起的误差将是十分微小的。第9页，共41页，2023年，2月20日，星期一马尔萨斯(Malthus)模型人口增长模型阻滞增长(Logistic)模型数学建模工作室欢迎您第10页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您模型1：马尔萨斯（Malthus）模型第11页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您等式两边同时除以，有由初始条件，即为初始时刻的人口数再运用极限的思想，令有

故解方程得第12页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您当r>0,人口将以指数规律增长。当r<0,人口将以指数规律减少。当r=0,人口将保持常数。第13页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您

马尔萨斯模型的一个显著特点：

种群数量翻一番所需的时间是固定的第14页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您几何级数增长马尔萨斯模型人口预测图第15页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您模型检验人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符。第16页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您第17页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。得出结论：Malthus模型只适用于短时期预测第18页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您模型2：阻滞增长（Logistic）模型

人口净增长率应与人口数量有关，即反应了自然因素对人口增长的影响，令r=r(N)

第19页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您1r(N)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求.2为了得到实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则.工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法.3r(N)最简单的形式是常数，此时得到Malthus模型。对Malthus模型的最简单的改进就是引入一次项（竞争项）.分析：第20页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您注：设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量。故第21页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您故满足初始条件N(0)=N0的解为：易见：

N(0)=N0

，第22页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您不同初始条件下的N(t)的图形第23页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长规律，效果还是相当不错的。例如，1945年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验；数学生物学家高斯（E·F·Gauss）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和Logistic曲线十分吻合。

模型检验第24页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，N(0)=5的Logistic曲线：

几乎完全吻合，见图3.6。

图3-6第25页，共41页，2023年，2月20日，星期一

Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。

Malthus模型呈现的是J型增长，只适应于短期内，并无外界因素影响。而Logistic模型呈现S型，适应于中长期且有外界因素影响。Malthus模型和Logistic模型的总结数学建模工作室欢迎您用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好。否则，就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。第26页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您

Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。Malthus模型和Logistic模型的推广如：单位人员管理问题渔业管理问题单位资金管理问题森林管理问题第27页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您单位人员管理问题合理安排进人速度和出人速度，使得单位人员的利用率达到最高。如：单位人员管理问题渔业管理问题单位资金管理问题森林管理问题第28页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您

单位资金管理问题当收入资金速率一定时，合理安排支出，使得在某段时间内资金积累达到所需要求。如：单位人员管理问题渔业管理问题单位资金管理问题森林管理问题第29页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您森林管理问题主要协调植树和用材的关系，使得森林发挥其应有的作用。如：单位人员管理问题渔业管理问题单位资金管理问题森林管理问题第30页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您

渔业管理问题每年捕捞的速率控制在多少时，既能保持持续发展，还能有较大的收获量。如：单位人员管理问题渔业管理问题单位资金管理问题森林管理问题第31页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您

渔业管理问题每年捕捞的速率控制在多少时，既能保持持续发展，还能有较大的收获量。如：单位人员管理问题渔业管理问题单位资金管理问题森林管理问题传染病传播第32页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您传染病经常在世界各地流行，如霍乱，天花，艾滋病，SARS,H5N1病毒等，建立传染病的数学模型,分析其变化规律，防止其蔓延是一项艰巨的任务.一个地区有m个人，一名群众不慎患传染病，t小时后有n人发病，由于此地区不能及时隔离，问经过t1小时、t2小时，患此传染病的人数有多少？第33页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您微分方程模型可以解决问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻第34页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您传染病模型每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设建模t时刻已感染人数(病人)

为i(t)第35页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)?等式两边同时除以，有由初始条件，即为初始时刻的已感染疾病的人口数.再运用极限的思想，令有

故解方程得第36页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，t时刻病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触(使接触的健康人致病)人数为建模称为SI模型为日接触率即为Logistic模型第37页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您(日接触率)tm病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大求解得

tm表示传染病高潮到来时刻

1/2tmii010t第38页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室欢迎您微分方程可以解决的相关问题经济增长的预测正规战与游击战地震破坏程度的估计种群的相互竞争药物在体内的分布与排除香烟过滤嘴烟雾的扩散与消失万有引力定律的发现火箭的发射范.梅格伦(VanMeegren)伪造名画案第39页，共41页，2023年，2月20日，星期一数学建模工作室期待您的加入谢谢！！！第40页，共41页，2023年，2