带电粒子与电磁场的相互作用

第1页，共41页，2023年，2月20日，星期一第七章带电粒子和电磁场的相互作用第一节运动带电粒子的势和辐射电磁场第二节带电粒子的电磁场对粒子本身的反作用第三节电磁波的散射和吸收及介质的色散第2页，共41页，2023年，2月20日，星期一第一节运动带电粒子的势和辐射电磁场

推迟势：一、任意运动带电粒子的势

粒子的带电量e，在一定的轨道上以速度v运动，(x,t)的势是粒子在xe(t´)发出的，此时，粒子的速度ve(t´)：取坐标系在t´时刻相对粒子静止，在该参考系中：第3页，共41页，2023年，2月20日，星期一在Σ系，由坐标变换关系：将换到Σ系中（不同时）：因此：称李纳-维谢尔势。第4页，共41页，2023年，2月20日，星期一①v与r垂直：②v与r同向：③v与r反向：二、偶极辐射第5页，共41页，2023年，2月20日，星期一分别计算:(1)因此：第6页，共41页，2023年，2月20日，星期一(2)(3)

将(1)、(2)、(3)相关量代入E的表示式：第7页，共41页，2023年，2月20日，星期一类似地可得：①E和B由粒子在t´时刻的位置、速度、加速度决定，与粒子在其它地方的情况无关。②

粒子在远处产生的场，E2和B2起主要作用，E2和B2称辐射场；粒子在近处产生的场，E1和B1起主要作用，E1和B1称库仑场或自由场；考虑辐射问题，只需考虑E2和B2即可。③v<<c时，忽略(v/c)以上的高次项：第8页，共41页，2023年，2月20日，星期一取在z轴上，则：令：

此为电偶极辐射场。辐射能流：辐射功率：

第9页，共41页，2023年，2月20日，星期一④当粒子做匀速直线运动时：这是匀速带电粒子的电磁场，与第六章第五节的例题同。上式中的R、v是与(x,t)同时刻的位置和速度。现在把两者统一。粒子在t´时刻位于A点，t时刻位于B点，则：第10页，共41页，2023年，2月20日，星期一

电场的分子统一。由上式可得：即：(1)-(2)可得：电场的分母统一。

磁场统一。第11页，共41页，2023年，2月20日，星期一应用公式求解需注意：

(1)有关公式中的v、r等均为t´的函数；(2)对李纳——维谢尔势做微分运算时，要注意t´为(x,t)的隐函数；r为(x,t´)的函数；t´又隐含x；(3)当v<<c时：问题归结为偶极辐射。第12页，共41页，2023年，2月20日，星期一例：带电粒子e作匀速圆周运动，圆半径为a，速度v<<c，试求在什么距离之外辐射场占优势。解：当E2>E1时，辐射场占优势。令r=r1时，E2=E1，即：因此：当r>r1时，E2>E1。第13页，共41页，2023年，2月20日，星期一例：设带电粒子的速度与加速度的夹角为α，求其辐射场为0的方向与加速度方向的夹角θ。解：若：

第14页，共41页，2023年，2月20日，星期一第二节带电粒子的电磁场对粒子本身的反作用

运动的带电粒子：若：v<<c：一、电磁质量

E1称为库仑场或自由场，存在粒子附近，其自由能很难从粒子运动能量分离。这部分自由能对应于一定的质量，称为电磁质量mem。设粒子的电荷分布于半径为re的球面上，则自由能：第15页，共41页，2023年，2月20日，星期一电磁质量：若测出的电子质量为m，则m=m0+mem，m0为非电磁引起的质量。设m0≈mem，则：而电子的“经典半径”：实验：①电荷分布不清楚；②mem与机械惯性质量分不开。二、辐射阻尼粒子做加速运动，辐射功率：

第16页，共41页，2023年，2月20日，星期一若不对粒子做功，相当于有一个力作用于粒子，使粒子的速度变慢，这就是阻尼力，用Fs表示：上式对任一瞬时考虑并不成立，因为只考虑了辐射能量，略去了自由能，可作为平均结果。考虑粒子作近似周期运动情况，其周期为T:粒子运动一个周期，速度和加速度回到初始值，上式右边第一项为0：这是平均效应。第17页，共41页，2023年，2月20日，星期一三、谱线的自然宽度1、谱线的自然宽度原子从一个高能级Em跃迁至一低能级En,发出频率为ω0的光子：由精密光谱分析，所得光线不是纯线光谱，而是有一定宽度分布的光谱，ω=ω0处，强度最大，ω=ω1、ω2时，强度降为最大值的一半。Δω=ω1-

ω2用波长表示Δω：实验给出，不管那一频率之光谱，用波长表示有一极限值：2、经典电动力学对谱线的自然宽带处理①模型：原子中的电子作为谐振子，由于受辐射阻尼力，电子将在原子中作衰减运动。第18页，共41页，2023年，2月20日，星期一②处理：设电子沿x轴运动，作用于电子的力为弹性力(-kx)、辐射阻尼力Fs。电子的运动方程：因为Fs<<(-kx)，作零级近似，忽略Fs

:因此:

令：考虑：因此：第19页，共41页，2023年，2月20日，星期一电子的振动能正比于，能量减少为(1/e）时所需时间τ=(1/γ)，称为振子的寿命。大体与实验相符。

振子的偶极矩：其辐射场：做傅立叶变换：用W(ω)dω表示辐射场在ω→ω+dω的辐射能量，W(ω)表示单位频率间隔辐射的能量:第20页，共41页，2023年，2月20日，星期一总辐射能量：称Δω为谱线的自然宽度。用波长表示：大体与实验值相符。

第21页，共41页，2023年，2月20日，星期一第三节电磁波的散射和吸收及介质的色散

当频率为ω的外来电磁波入射到电子（自由电子或束缚电子）时，电子就会在电磁波的作用下以同样的频率作强迫振动(或在原来的运动上叠加一强迫振动)，并不断的发出该频率的次波，这种现象称为散射。一、自由电子对电磁波的散射自由电子的运动方程：作用于电子的外电磁波：①电子的振动速度v<<c，振动范围vT<<cT=λ，即在整个电子的振动范围，场近似是一样的。②电子受电场力远大于磁场力：Fe>>Fm。第22页，共41页，2023年，2月20日，星期一电子的运动方程：方程的稳态解：因此：设尝试解：只要入射波的波长：λ>>re，则γ<<ω，忽略阻尼：辐射场：

第23页，共41页，2023年，2月20日，星期一n是r方向的单位矢量，α是n与E0的夹角。平均辐射能流密度：总辐射功率：入射波的强度：因此：定义：自由电子的散射截面：当电磁波打到此面上，能量被散射出去——有效散射截面(汤姆孙散射截面）。第24页，共41页，2023年，2月20日，星期一

若入射波为非偏振的，沿z传播，观察点P在xoz平面内，电场E在xoy平面内：单位立体角内辐射功率与入射波强度之比称为微分散射截面。

当时，与实验值相符；但当大时，有偏离；需量子电动力学知识。第25页，共41页，2023年，2月20日，星期一二、束缚电子对电磁波的散射

作用于原子中电子的电磁波：电子的运动方程：令稳定解：代入上式得：因此：电磁场：第26页，共41页，2023年，2月20日，星期一平均能流密度和辐射功率：散射截面：瑞利散射；自由电子散射；

σ最大，能量大部分散射出去。当ω∽ω0，忽略阻尼，即γ≈0，x→∞,共振发生。第27页，共41页，2023年，2月20日，星期一三、电磁波的吸收在共振时，振子强烈地吸收入射波的能量，振子振幅增大，直至振子辐射的能量等于振子吸收的能量时，振幅达稳定值。若入射波为连续谱，透射波为吸收谱，ω=ω0处有暗线，即能量被吸收掉。

设入射波单位频率间隔单位面积的入射能量为I0(ω)：则振子辐射的总能量：上式积分计算时，因为主要来自ω=ω0的贡献，积分号内作近似ω≈ω0(分母因子ω-ω0除外），并考虑ω0>>γ,可得：W就等于振子从入射波吸收的能量。对应于量子力学：第28页，共41页，2023年，2月20日，星期一四、介质的色散折射率：讨论稀薄气体，忽略分子之间的相互作用。作用于电子的电场：电子运动的位移及偶极矩：若单位体积有N个电子，极化强度：因此：第29页，共41页，2023年，2月20日，星期一对稀薄气体，εr→1：令：n=n´+iη,则：①n´和η的物理意义

介质中沿z轴传播的单色平面波：n´就是通常的折射率，η是在传播方向上的衰减，只有ω∽ω0附近，介质中的波才显著衰减（被吸收）。第30页，共41页，2023年，2月20日，星期一②介质的色散当ω>>ω0和ω<<ω0时，n´≈1；当ω<<ω0时：柯西色散公式，a、b、c由实验给出。第31页，共41页，2023年，2月20日，星期一例:束缚电子e在初始时处于静止状态，x=0,v=0。固有频率为ω0，入射电磁波的频率为ω，忽略辐射阻尼及磁场作用力，求该谐振子的振动解，并证明该振子以ω和ω0两种频率振动。解：选E0的方向为x轴，则谐振子在该轴上振动，运动方程及解：由初始条件定常数：因此得到振子以ω和ω0两种频率振动的解：第32页，共41页，2023年，2月20日，星期一例：带电e的粒子在xy平面上绕z轴作匀速圆周运动，角频率为ω，半径为R0。设ωR0

<<c，试计算辐射场及平均辐射能流密度，讨论：处电磁场的偏振。解：因此：辐射场：第33页，共41页，2023年，2月20日，星期一平均辐射能流密度:θ=0：圆偏振；θ=180º：圆偏振；θ=45º：椭圆偏振；θ=90º：线偏振。第34页，共41页，2023年，2月20日，星期一例：设有一各向同性的带电谐振子，受弹性恢复力,处于均匀恒定外磁场B中，设v<<c，忽略辐射阻尼力，求：①