差分方程方法与应用应用举例

差分方程方法与应用应用举例第1页，共54页，2023年，2月20日，星期一差分方程建模•处理动态的离散型的问题•处理对象虽然涉及的变量(如时间)是连续的，但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题

第2页，共54页，2023年，2月20日，星期一1市场经济中的蛛网模型2银行复利问题3抵押贷款买房问题4差分形式的阻滞增长模型5减肥计划——节食与运动6按年龄分组的种群增长7差分基础知识第3页，共54页，2023年，2月20日，星期一1蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

第4页，共54页，2023年，2月20日，星期一xy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0x0P0fg曲线斜率蛛网模型第5页，共54页，2023年，2月20日，星期一在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致第6页，共54页，2023年，2月20日，星期一~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格经济稳定结果解释第7页，共54页，2023年，2月20日，星期一经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0

以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直第8页，共54页，2023年，2月20日，星期一模型的推广生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件第9页，共54页，2023年，2月20日，星期一方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根平衡点稳定，即k,xkx0的条件:平衡点稳定条件比原来的条件放宽了模型的推广第10页，共54页，2023年，2月20日，星期一2银行复利问题

背景所付利息一年内复合n次，即把一年分n个相等的时间段，而所付利息为每一时间段的未尾.给出一个可以预测在任意给定时间的帐目余额

分析帐目余额与时间直接相关，而时间是离散的本期结束时的总存款等于前一时期余下的本利，及本利得到的利息与第本期内新存入的存款之和

任何时候都可以存款第11页，共54页，2023年，2月20日，星期一模型假设1.储蓄的年利率为

r2.任何时候都可以存款，但存款利息只从下一时期开始计算，如时间段开始第一天的存款即开始计算利息

t期结束时的总存款

记号第t期内的新存款

第12页，共54页，2023年，2月20日，星期一模型注：上式中n=2时，相应于半年的复利，而n=365则是相应于逐日计算的复利第13页，共54页，2023年，2月20日，星期一3抵押贷款买房问题

背景每户人家都希望有一套属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下。这就产生了贷款买房问题。某新婚夫妇急需一套属于自己的住房。他们看到一则理想的房产广告：“名流花园之高尚住宅公寓，供工薪阶层选择。一次性付款优惠价40.2万元。若不能一次性付款也没关系，只付首期款为15万元，其余每月1977.04元等额偿还，15年还清。(公积金贷款月利息为3.675‰）。问题公寓原来价多少？每月等额付款如何算出来？第14页，共54页，2023年，2月20日，星期一假设贷款期限内利率不变

银行利息按复利计算

记号A（元）：贷款额（本金）

n（月）：货款期限r

：月利率B(元):月均还款额

Ck：第k个月还款后的欠款第15页，共54页，2023年，2月20日，星期一模型求解代入n=180、r=0.003675、B=1977.04结果：A=260000（元）一次性优惠价9.8折还款总额？利息负担总额？第16页，共54页，2023年，2月20日，星期一4差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)t,xN,x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式x(t)~某种群t时刻的数量(人口)yk~某种群第k代的数量(人口)若yk=N,则yk+1,yk+2,…=N讨论平衡点的稳定性，即k,

ykN？y*=N是平衡点第17页，共54页，2023年，2月20日，星期一离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶(非线性)差分方程(1)的平衡点y*=N讨论x*的稳定性变量代换(2)的平衡点第18页，共54页，2023年，2月20日，星期一(1)的平衡点x*——代数方程x=f(x)的根稳定性判断(1)的近似线性方程x*也是(2)的平衡点x*是(2)和(1)的稳定平衡点x*是(2)和(1)的不稳定平衡点补充知识一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性第19页，共54页，2023年，2月20日，星期一01的平衡点及其稳定性平衡点稳定性x*稳定x*不稳定另一平衡点为x=0不稳定第20页，共54页，2023年，2月20日，星期一01/2101的平衡点及其稳定性第21页，共54页，2023年，2月20日，星期一初值x0=0.2数值计算结果b<3,xb=3.3,x两个极限点b=3.45,x4个极限点b=3.55,x8个极限点0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55第22页，共54页，2023年，2月20日，星期一倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论单周期不收敛2倍周期收敛(*)的平衡点x*不稳定，研究x1*,x2*的稳定性第23页，共54页，2023年，2月20日，星期一倍周期收敛的稳定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0第24页，共54页，2023年，2月20日，星期一倍周期收敛的进一步讨论出现4个收敛子序列x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3平衡点及其稳定性需研究时有4个稳定平衡点2n倍周期收敛,n=1,2,…bn~2n倍周期收敛的上界b0=3,b1=3.449,b2=3.544,…n,bn3.57x1*,x2*(及x*)不稳定b>3.57,不存在任何收敛子序列混沌现象4倍周期收敛第25页，共54页，2023年，2月20日，星期一的收敛、分岔及混沌现象b第26页，共54页，2023年，2月20日，星期一5减肥计划——节食与运动背景多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析体重变化由体内能量守恒破坏引起饮食（吸收热量）引起体重增加代谢和运动（消耗热量）引起体重减少体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.第27页，共54页，2023年，2月20日，星期一模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡~320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。第28页，共54页，2023年，2月20日，星期一基本模型w(k)~第k天(末)体重c(k)~第k天吸收热量~代谢消耗系数(因人而异):因运动,每小时每千克体重消耗的热量(千卡)(因运动项目而异)t:每天运动时间(小时)第29页，共54页，2023年，2月20日，星期一某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。第30页，共54页，2023年，2月20日，星期一确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)体重c(k)~第k周吸收热量~代谢消耗系数(因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收20000千卡w=100千克不变第31页，共54页，2023年，2月20日，星期一第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10000千卡第一阶段10周,每周减1千克，第10周末体重90千克吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划第32页，共54页，2023年，2月20日，星期一第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克1）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型第33页，共54页，2023年，2月20日，星期一第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按减少至75千克。第34页，共54页，2023年，2月20日，星期一运动t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量(千卡):跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周运动时间(小时)基本模型第35页，共54页，2023年，2月20日，星期一3）达到目标体重75千克后维持不变的方案每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变不运动运动(内容同前)第36页，共54页，2023年，2月20日，星期一6按年龄分组的种群增长不同年龄组的繁殖率和死亡率不同建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,…,n时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,…以雌性个体数量为对象第i年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi第i年龄组在1时段内的死亡率为di,存活率为si=1-di第37页，共54页，2023年，2月20日，星期一假设与建模xi(k)~时段k第i年龄组的种群数量~按年龄组的分布向量预测任意时段种群按年龄组的分布~Leslie矩阵(L矩阵)(设至少1个bi>0)第38页，共54页，2023年，2月20日，星期一稳定状态分析的数学知识L矩阵存在正单特征根1，若L矩阵存在bi,bi+1>0,则P的第1列是x*特征向量,c是由bi,si,x(0)决定的常数且解释L对角化第39页，共54页，2023年，2月20日，星期一稳态分析——k充分大种群按年龄组的分布~种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布,与初始分布无关。~各年龄组种群数量按同一倍数增减，

称固有增长率与基本模型比较3）=1时~各年龄组种群数量不变第40页，共54页，2023年，2月20日，星期一

~1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1稳态分析~存活率si是同一时段的xi+1与xi之比（与si的定义比较）3）=1时第41页，共54页，2023年，2月20日，星期一处一阶向前差分

7差分基础知识一差分

1.概念

（h为非零实数称为步长）处k阶向前差分

第42页，共54页，2023年，2月20日，星期一处一阶向后差分

处k阶向后差分

处一阶中心差分

处k阶中心差分

第43页，共54页，2023年，2月20日，星期一2.性质第44页，共54页，2023年，2月20日，星期一二常微分方程化为差分方程

用导数近似式替代导数或者说用适当近似式替代含有导数的表达式，可以得到这些近似值满足的代数方程----差分方程

以二阶常微分方程边值问题为例

目的求差分法第45页，共54页，2023年，2月20日，星期一一般k阶常系数线性差分方程为差分方程第46页，共54页，2023