人教B版必修三三角函数本章小结

《综合复习与测试》学案第2课时两角和与差的正切新课标新学法课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能运用两角和与差的正切公式进行简单的恒等变换．教学重点：两角和与差的正切公式的推导过程及运用．教学难点：两角和与差的正切公式的灵活运用.核心概念掌握【知识导学】知识点一两角和的正切公式为tan(α＋β)＝eq\o(□,\s\up3(01))eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，记作Tα＋β.它成立的条件是eq\o(□,\s\up3(02))α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)，α≠kπ＋eq\f(π,2)，β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．知识点二两角差的正切公式为tan(α－β)＝eq\o(□,\s\up3(01))eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)，记作Tα－β.它成立的条件是eq\o(□,\s\up3(02))α≠kπ＋eq\f(π,2)，β≠kπ＋eq\f(π,2)，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．知识点三公式的变形，由tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可变形为tanα＋tanβ＝eq\o(□,\s\up3(01))tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．同理tanα－tanβ＝eq\o(□,\s\up3(02))tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．【新知拓展】1．公式Tα±β的结构特征和符号规律(1)公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．2．公式Tα±β的角的范围(1)公式中的α，β，α＋β，α－β都不能等于kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.(2)当tanα，tanβ，tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式处理有关问题，但可以改用诱导公式或其他方法．3．公式灵活变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．(2)tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.(3)在Tα±β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的，如eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))；eq\f(\r(3)tanα＋\r(3),1－tanα)＝eq\r(3)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))).评价自测1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ.()(2)对任意的α，β∈R，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).()(3)eq\f(tan16°＋tan44°,1＋tan16°tan44°)＝eq\r(3).()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)eq\f(tan75°－tan15°,1＋tan75°tan15°)＝()A．－eq\r(2) \r(2)C．－eq\r(3) \r(3)(2)已知tanα＝1，tanβ＝2，则tan(α＋β)＝________.(3)若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝2，则tanα＝________.答案(1)D(2)－3(3)－3核心素养养成题型一给角化简求值例1求值：(1)tan105°；(2)eq\f(1－tan75°,1＋tan75°).[解](1)原式＝tan(60°＋45°)＝eq\f(tan60°＋tan45°,1－tan60°tan45°)＝eq\f(\r(3)＋1,1－\r(3))＝－(2＋eq\r(3))．(2)原式＝eq\f(tan45°－tan75°,1＋tan45°tan75°)＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－eq\f(\r(3),3).金版点睛给角化简求值的策略(1)分析式子的结构，正确选用公式形式．Tα±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一．因此在应用时先从所化简(求值)的式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用．当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值时．要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换．eq\a\vs4\al([跟踪训练1])求值：(1)tan2°＋tan43°＋tan2°·tan43°；(2)(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·…·(1＋tan44°)·(1＋tan45°)．解(1)原式＝tan(2°＋43°)·(1－tan2°·tan43°)＋tan2°·tan43°＝tan45°(1－tan2°·tan43°)＋tan2°·tan43°＝1.(2)∵(1＋tan1°)·(1＋tan44°)＝1＋(tan1°＋tan44°)＋tan1°·tan44°＝1＋tan45°(1－tan1°·tan44°)＋tan1°·tan44°＝1＋1＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…依次类推，得原式＝222·(1＋tan45°)＝223.题型二给值求值或求角例2已知tanα＝eq\f(1,3)，tanβ＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<α<\f(π,2)，\f(π,2)<β<π)).求：(1)tan(α－β)；(2)α＋β.[解](1)∵tanα＝eq\f(1,3)，tanβ＝－2，∴tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,3)＋2,1－\f(2,3))＝7.(2)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,3)－2,1＋\f(2,3))＝－1.∵0<α<eq\f(π,2)，eq\f(π,2)<β<π，∴eq\f(π,2)<α＋β<eq\f(3π,2)，∴α＋β＝eq\f(3π,4).金版点睛给值求值或求角问题的解题策略(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．(3)在给值求角的过程中把握好两点：①限定角的范围．②求角的某一个三角函数值．二者缺一不可．eq\a\vs4\al([跟踪训练2])已知tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<eq\f(π,2)，π<β<eq\f(3π,2)，求α＋β的值．解因为tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝eq\f(5,6)，tanαtanβ＝eq\f(1,6)，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(5,6),1－\f(1,6))＝1，因为0<α<eq\f(π,2)，π<β<eq\f(3π,2)，所以π<α＋β<2π，所以α＋β＝eq\f(5π,4).题型三公式的综合应用例3已知在△ABC中，满足tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanAtanB，且sinAcosA＝eq\f(\r(3),4)，判断△ABC的形状．[解]由tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanAtanB，得eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\r(3)，即tan(A＋B)＝－eq\r(3).∴tanC＝－tan(A＋B)＝eq\r(3)，从而C＝60°.由sinAcosA＝eq\f(\r(3),4)，得sin2Acos2A＝eq\f(3,16)化为16cos4A－16cos2A＋3＝0，解得cos2A＝eq\f(3,4)或cos2A＝eq\f(1,4)，∴cosA＝±eq\f(\r(3),2)或cosA＝±eq\f(1,2).又A∈(0，π)，∴A＝30°或150°或60°或120°.当A＝150°或120°时，A＋C≥180°，舍去．当A＝30°时，C＝60°，∴B＝90°，与tanB有意义矛盾，舍去．∴A＝60°，B＝60°，C＝60°，即△ABC为正三角形．金版点睛在三角形中，应用和、差角公式解题需注意以下几点：(1)三角形的内角和等于180°；(2)创造条件使之能运用两角和与差的三角函数公式；(3)记住常用结论：在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)等．eq\a\vs4\al([跟踪训练3])证明：在△ABC中，taneq\f(A,2)taneq\f(B,2)＋taneq\f(B,2)·taneq\f(C,2)＋taneq\f(C,2)taneq\f(A,2)＝1.证明在△ABC中，由A＋B＋C＝π，得eq\f(A,2)＋eq\f(B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)，且eq\f(A,2)，eq\f(B,2)，eq\f(C,2)，eq\f(A,2)＋eq\f(B,2)都不等于eq\f(π,2)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))，∴eq\f(tan\f(A,2)＋tan\f(B,2),1－tan\f(A,2)tan\f(B,2))＝eq\f(1,tan\f(C,2))，∴taneq\f(C,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan\f(A,2)＋tan\f(B,2)))＝1－taneq\f(A,2)taneq\f(B,2)，∴taneq\f(C,2)taneq\f(A,2)＋taneq\f(B,2)taneq\f(C,2)＝1－taneq\f(A,2)taneq\f(B,2)，∴taneq\f(A,2)taneq\f(B,2)＋taneq\f(B,2)taneq\f(C,2)＋taneq\f(C,2)taneq\f(A,2)＝1.随堂水平达标\f(1＋tan15°,1－tan15°)的值为()\r(3) B．1\f(\r(3),3) \f(\r(2),2)答案A解析上式化为eq\f(tan45°＋tan15°,1－tan45°tan15°)＝tan60°＝eq\r(3).2．已知tan1°＝a，则tan44°等于()A．1－a B．1＋a\f(1＋a,1－a) \f(1－a,1＋a)答案D解析利用1°＋44°＝45°可得tan45°＝eq\f(tan1°＋tan44°,1－tan1°tan44°).将tan1°＝a代入上式，解得tan44°＝eq\f(1－a,1＋a).故选D.3．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1,2)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝________.答案2解析taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝eq\f(1,2)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1,\f(1－tanα,1＋tanα))＝2.4．计算tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°＝________.答案eq\r(3)解析利用tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)进行计算可得．5．求值：eq\f(tan55°－tan385°,1－tan－305°tan－25°).解原式＝eq\f(tan55°－tan360°＋25°,1＋tan－360°＋55°tan25°)＝eq\f(tan55°－tan25°,1＋tan55°tan25°)＝tan(55°－25°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).课后课时精练A级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知cosα＝－eq\f(4,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A．－eq\f(1,7) B．－7\f(1,7) D．7答案C解析由cosα＝－eq\f(4,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，得tanα＝－eq\f(3,4)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(－\f(3,4)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))×1)＝eq\f(1,7).2．tan15°＋tan75°＝()A．2 B．2＋eq\r(3)C．4 \f(4\r(3),3)答案C解析tan15°＋tan75°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋30°)＝eq\f(tan45°－tan30°,1＋tan45°tan30°)＋eq\f(tan45°＋tan30°,1－tan45°tan30°)＝4.\f(tan32°＋tan88°,1＋tan32°tan92°)等于()A．－eq\r(3) \r(3)\f(\r(3),3) D．－eq\f(\r(3),3)答案A解析eq\f(tan32°＋tan88°,1＋tan32°tan92°)＝eq\f(tan32°＋tan88°,1－tan32°tan88°)＝tan(32°＋88°)＝tan120°＝－eq\r(3).\r(3)tan12°＋eq\r(3)tan18°＋tan12°tan18°的值是()\r(3) \f(\r(3),2)C．0 D．1答案D解析由tan30°＝tan(12°＋18°)＝eq\f(tan12°＋tan18°,1－tan12°tan18°)＝eq\f(\r(3),3)，得eq\r(3)tan12°＋eq\r(3)tan18°＝1－tan12°tan18°，则eq\r(3)tan12°＋eq\r(3)tan18°＋tan12°tan18°＝1.5．设tanα＝eq\f(1,3)，tan(β－α)＝－2，则tanβ等于()A．－7 B．－5C．－eq\f(5,7) D．－1答案D解析∵tanα＝eq\f(1,3)，tan(β－α)＝－2，∴tanβ＝tan[(β－α)＋α]＝eq\f(tanβ－α＋tanα,1－tanβ－αtanα)＝－1.6．已知M＝sin100°－cos100°，N＝eq\r(2)(cos46°cos78°＋cos44°cos12°)，P＝eq\f(1－tan10°,1＋tan10°)，Q＝eq\f(tan22°＋tan23°,1－tan22°tan23°)，那么M，N，P，Q之间的大小顺序是()A．M<N<P<Q B．P<Q<M<NC．N<M<Q<P D．Q<P<N<M答案B解析M＝sin100°－cos100°＝eq\r(2)sin(100°－45°)＝eq\r(2)sin55°>1，N＝eq\r(2)(cos46°cos78°＋cos44°cos12°)＝eq\r(2)(sin44°cos78°＋cos44°sin78°)＝eq\r(2)sin122°＝eq\r(2)sin58°>M，P＝eq\f(1－tan10°,1＋tan10°)＝tan(45°－10°)＝tan35°<1，Q＝eq\f(tan22°＋tan23°,1－tan22°tan23°)＝tan(22°＋23°)＝tan45°＝1，所以P<Q<M<N.故选B.二、填空题7．已知sinα＝eq\f(1,3)，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－eq\r(3)，则tanβ的值为________．答案eq\f(8\r(2)－9\r(3),5)解析由sinα＝eq\f(1,3)且α是第二象限角可得tanα＝－eq\f(1,2\r(2)).于是tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝eq\f(－\r(3)＋\f(1,2\r(2)),1＋\f(\r(3),2\r(2)))＝eq\f(8\r(2)－9\r(3),5).8．tan50°－tan20°－eq\f(\r(3),3)tan50°tan20°＝________.答案eq\f(\r(3),3)解析tan50°－tan20°－eq\f(\r(3),3)tan50°tan20°＝tan(50°－20°)·(1＋tan50°tan20°)－eq\f(\r(3),3)tan50°tan20°＝tan30°(1＋tan50°·tan20°)－eq\f(\r(3),3)tan50°tan20°＝eq\f(\r(3),3)＋eq\f(\r(3),3)tan50°tan20°－eq\f(\r(3),3)tan50°tan20°＝eq\f(\r(3),3).三、解答题9．已知tanα＝eq\f(1,7)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，且α，β为锐角，求α＋2β.解∵tanα＝eq\f(1,7)<1，且α为锐角，∴0<α<eq\f(π,4)，又∵sinβ＝eq\f(\r(10),10)<eq\f(\r(2),2)，且β为锐角，∴0<β<eq\f(π,4)，∴0<α＋2β<eq\f(3π,4).由sinβ＝eq\f(\r(10),10)，β为锐角，得cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，∴tanβ＝eq\f(1,3)，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(1,2)，∴tan(α＋2β)＝eq\f(tanα＋β＋tanβ,1－tanα＋βtanβ)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1，故α＋2β＝eq\f(π,4).10．在下列各条件下，判断三角形ABC的形状：(1)tanAtanB＝1；(2)tanAtanB>1.解(1)由tanAtanB＝1可得eq\f(sinA,cosA)·eq\f(sinB,cosB)＝1.∴sinAsinB＝cosAcosB.∴cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝0.∵∠A，∠B是△ABC的内角，即0<A＋B<π，∴A＋B＝eq\f(π,2).∴C＝eq\f(π,2).∴△ABC为直角三角形．(2)∵tanAtanB>1，∴tanA>0，tanB>0且1－tanAtanB<0.∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)<0.又tanC＝－tan(A＋B)>0，∴A，B，C全为锐角，△ABC为锐角三角形．B级：“四能”提升训练1．是否存在锐角α和β