导数的几何意义可用

导数的几何意义可用1第1页，共18页，2023年，2月20日，星期一预习提纲：（一）复习： 回顾我们上次学习过的“平均变化率”、“瞬时变化率”和“导数”的概念，体会他们之间的内在联系，并思考平均变化率的表达式是我们以前学习过的直线斜率吗？（二）、预习课本p34-P37，并讨论一下几个问题：

1、体会曲线上某一点处的切线的形成过程；

2、导数的几何意义是什么？

3、总结求在曲线上某一点处的切线方程的一般步骤。2第2页，共18页，2023年，2月20日，星期一下面来我们一起讨论导数的几何意义:

βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy

如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.斜率!探究思考：当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ会发生什么样的变化？3第3页，共18页，2023年，2月20日，星期一PQoxyy=f(x)割线切线T下面我们一起来请看，当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.如图所示：4第4页，共18页，2023年，2月20日，星期一

由此，我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.

设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

所以，函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.即:

这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.5第5页，共18页，2023年，2月20日，星期一例1:已知函数y=f(x)=x2，x0=2.（1）分别对△x=2，1，0.5求y=f(x)=x2在区间〔x0，x+△x

〕上的平均变化率，并画出过点（x0，f（x0））的相应的割线；（2）求函数y=x2，在x0=2处的导数，并画出曲线y=x2在点（2，4）处的切线.典例探究：6第6页，共18页，2023年，2月20日，星期一1.过点P（－1，2）且与y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是___．课堂练习：7第7页，共18页，2023年，2月20日，星期一例2求函数处的切线方程.8第8页，共18页，2023年，2月20日，星期一练习:如图已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.

yx-2-112-2-11234OP即点P处的切线的斜率等于4.

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.9第9页，共18页，2023年，2月20日，星期一下面把前面知识小结:a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。即：一差二商三极限。10第10页，共18页，2023年，2月20日，星期一（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即归纳:求切线方程的步骤

无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数概念。11第11页，共18页，2023年，2月20日，星期一作业:2.小结：函数在x0处的导数，是曲线在点（x0，）处的切线的斜率。在x0处切线的斜率反映了导数的函数几何意义。五、教后反思：12第12页，共18页，2023年，2月20日，星期一巩固练习1.过点P（－1，2）且与y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是__________．2.在曲线y=x3+3x2+6x－10的切线斜率中斜率最小的切线方程是

__________

.3.曲线y=ln(2x－1)上的点到直线2x－y+3=0的最短距离是__________．4.过曲线C:y=x2－1（x>0）上的点P作C的切线与坐标轴交于M、N两点，试求P点坐标使△OMN面积最小．思考：已知曲线C：y=x3－3x2+2x，直线l：y=kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．y=2x+4y=3x－1113第13页，共18页，2023年，2月20日，星期一基础自主演练：1.函数y=f(x)=3x+1在x=1处的导数为()(A)1(B)2(C)3(D)42.设曲线y=f(x)在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线()(A)垂直于x轴(B)垂直于y轴(C)既不垂直于x轴也不垂直于y轴(D)方向不能确定3.设曲线y=f(x)在某点处的导数值为负，则过该点的曲线的切线的倾斜角()(A)大于90°(B)小于90°(C)不超过90°(D)大于等于90°4.已知曲线y=2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为__________.5.求抛物线y=x2过点(1，1)的切线方程.14第14页，共18页，2023年，2月20日，星期一1.函数y=f(x)=3x+1在x=1处的导数为()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】选C.故f′(1)＝3.基础自主演练解析：2.设曲线y=f(x)在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线()(A)垂直于x轴(B)垂直于y轴(C)既不垂直于x轴也不垂直于y轴(D)方向不能确定【解析】选B.导数值为0即切线斜率为0，所以过曲线上该点的切线垂直于y轴.15第15页，共18页，2023年，2月20日，星期一3.设曲线y=f(x)在某点处的导数值为负，则过该点的曲线的切线的倾斜角()(A)大于90°(B)小于90°(C)不超过90°(D)大于等于90°【解析】选A.导数值为负即切线斜率为负，所以切线的倾斜角为钝角.4.已知曲线y=2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为_________【解析】由题意点A在曲线y=2x2上，因为∴y′|x=2=8,∴点A处的切线斜率为k=8.答案：816第16页，共18页，2023年，2月20日，星期一