中考数学压轴01因动点产生的面积问题（教师版）

2019版突破中物学压轴之学硒笈大揭秘

专题01因动点产生的面积问题

【类型综述】

面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题,

是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱

形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常

考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问

题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法.面积的存在性问题常见的

题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根.二是先假设关

系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确.

【方法揭秘】

解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下:

如图1,如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式.

如图2,图3,三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用''割”或“补”

的方法.

计算面积长用到的策略还有:

如图4,同底等高三角形的面积相等.平行线间的距。离处处相等.

如图5,同底三角形的面积比等于高的比.

如图6,同高三角形的面积比等于底的比.

AA

图4图5图6

【典例分析】

例1如图，抛物线尸滤+bx+c(分0)与x轴交于4(—I,0),8(4,0)两点，与y轴交于点C(0,2).点

〃(，",")是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上.过点用作x轴的平行线交y轴于点Q,

交抛物线于另一点E,直线2M交y轴于点F.

(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；

(2)当SAMF。：SAMEB=1：3时，求点M的坐标.

思路点拨

1.设交点式求抛物线的解析式比较简便.

2.把AMFQ和AMEB的底边分别看作MQ和ME,分别求两个三角形高的比，底边的比(用含，”的式

子表示)，于是得到关于”的方程.

3.方程有两个解，慎重取舍.解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列一个方程，得到两个符

合条件的解.

满分解答

(1)因为抛物线与x轴交于4-L0)，8(4,0)两点，设y=a(x+l)(x—4).

代入点C(0,2),得2=-4a.解得。=-3.

-1/~八I23,I3.25

所以y=_彳(x+])(x_4)=_彳x-+彳x+2=_彳(zx_x)2-+弁

222228

顶点坐标为弓3,胃25).

28

（2）如图2,已知Mm,叫作轴于.V.

由丝=肛，得丝=/_.所以尸主旦_.

MQBNm4-tn4-m

因为抛物线的对称轴是直线x=之，所以诳=2（3-m）=3-2加.

22

由于S,.s0=LFQMO==LxQ",

224-w24-w

S,.ww=LwE.A£V=1（3-2泄”>

22

所以当S,MFQ：：3时‘":（3-2加）〃=1:3.

4-w

整理，得加+11泄-12=0.解得〃1=1,或〃i=-12.

所以点M的坐标为（1：3）或（一12：—88）.

考点仲辰

第（2）题SAMFQ:SAMEB=1•3,何需点M一定要在抛物线上？

从上面的解题过程可以看到，AMF。与AMEB的高的比丝=不”一与〃无关，两条底边的比

MN4-m

MQm1一十乂

哇二『k也与"无关•

ME3-2m

3

如图3,因此只要点E与点M关于直线x==对称，点M在直线的左侧，且点M不在坐标轴匕就存

2

在SAMFQ：SAME8=1：3,点例的横坐标为1（如图3）或一12（如图4）.

图3图4

1

例2如图，已知抛物线，=-/29+取+呜坐标轴分别交于点4(0,8)、B(8,0)和点E,动点。从原点0开始沿04

方向以每秒1个单位长度移动，动点。从点8开始沿B。方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当

动点。到达原点。时，点C、。停止运动.

(1)直接写出抛物线的解析式：；

(2)求ACED的面积S与。点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，ACED的面积最大？最大面积是多少？

(3)当ACED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点E除外)，使△PCD的面积等于ACED的最大面积？

若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

思路点拨

11

(1)将点A(0,8)、B(8,0)代入抛物线y^/xZ+bx+c即可求出抛物线的解析式为：y=--x2+3x+8；

(2)根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t,OC=t,然后由点A(0,8)、B(8,0),可得OA=8,OB=8,

从而可得OD=8-t,然后令y=0,求出点E的坐标为(-2,0),进而可得OE=2,DE=2+8-t=10-t,然后利用

1

三角形的面积公式即可求ACED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：S=--t2+5t,然后转化为顶点式

25

即可求出最值为：S;

25

(3)由(2)知：当t=5时，Sa*=y,进而可知：当t=5时，OC=5,OD=3,进而可得CD=©$,从而确

定C(0,5),D(3,0)然后根据待定系数法求出直线CD的解析式为：y=-|x+5,然后过E点作EF〃CD,

交抛物线与点P，然后求出直线EF的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P的坐标，

然后利用面积法求出点E到CD的距离为259，然后过点D作DNLCD,垂足为N,且使然

3434

后求出N的坐标，然后过点N作NH〃CD,与抛物线交与点P,然后求出直线NH的解析式，与抛物线联

立方程组求解即可得到其中的另两个点P的坐标.

满分解等

例3如图，在平面直角坐标系中，直线y=gx+l与抛物线y=or2+法一3交于A、8两点，点A在x

轴上，点8的纵坐标为3.点户是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、B重合)，过点P作x轴

的垂线交直线4B于点C,作于点D

(1)求心b及sinNACP的值；

(2)设点P的横坐标为，九

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连结P8,线段PC把APOB分成两个三角形，是否存在适合的根的值，使这两个三角形的面积比为

9：10?若存在，直接写出机的值；若不存在，请说明理由.

思路点拨

1.第(1)题由于CP//y轴，把NACP转化为它的同位角.

2.第(2)题中，PD=PCsinZACP,第(1)题已经做好了铺垫.

3.△PCO与△PC8是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高ON与8例的比.

4.两个三角形的面积比为9：10,要分两种情况讨论.

满分解答

(1)设直线y=gx+l与y轴交于点E,那么4—2,0),8(4,3),£(0,1).

在RtAAE。中，OA=2,OE=l,所以AE=6.所以sinN4EO=年.

因为PC//EO,所以/ACP=/AEO.SlitsinZACP=-.

4a-2b-3=0,

将A(—2,0)、8(4,3)分别代入丫=52+代一3,得，

16a+4b-3=3.

解得^4

（2）由p（优♦加:_g/-3）,w-1）>

得PC=（'加+1）—（\洲：_；a_3）=_!於:_加_4•

2事,1:“、君，，、：9有

所以PD=PCsinZACP="PC（—m-?M-4）=（tn-1）+-

5--25-----------5

所以PD的最大值为

（3）当S“CD：S“CB=9：10时,m=-

7

当S^PCD:S^PCB=10：9时，w=—

9

考点伸展

第(3)题的思路是："CQ与"C8是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高。N与8M的比.

而DN=PDcosZ.PDN=PDcosNACP=(x-(-^-/W2+ZH+4)=+2)(m一4),

BM=4~m.

195

①当S^PCD:S&PCB=9：10时，—=(加+2)(机—4)=—(4-/72).解得m=—.

1in32

②当5“e：S“C8=1。：9时，-—(A724-2)(/7i—4)=—(4—/7?).解得〃?=不~.

Dv7

例4如图，己知二次函数的图象过点0(0,0)、4(4,0)、M是0A的中点.

3

(1)求此二次函数的解析式；

(2)设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点。，要使四边形尸04M是菱形,

求点P的坐标;

(3)将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线。夕A(8为B关于x轴的对称点)，在原抛

物线x轴的上方部分取一点C,连结CM,CM与翻折后的曲线OQA交于点。，若△CD4的面积是△〃£>?!面积

的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

思路点拨

1.设交点式或顶点式求抛物线的解析式都比较简便.

2.先确定四边形PQ4M是平行四边形，再验证它是菱形.

3.把ACD4与AMDA的面积比，转化为AMCA与AMDA的面积比，进而转化为点C与点D的纵坐标的

比.

满分斛答

(1)因为抛物线与x轴交于0(0,0)、.4(4,0)两点，设)■二衣(x-4).

代入点坑2,-竽)，得-羊=口*解得a=4.所以丁=4式*一4).

(2)如图2,由4(4,0),M是①的中点，可知。4=4,M4=2,MZ叽

如果四边形P&M是菱形，百口P。OA,苜献满足P?=2,再必须M—2.

因为抛物线的对称轴是直线x=2,P、。关于x=2对称,所以点E的横坐标为1,故点P的坐标为(L-有).

由M2,0)、P(「布)，可得MP=2.所以当点尸的坐标为(L-4)时，四边形尸。仙/是菱形.

(3)如图3,作CE_Lx轴于E,作QFJ_x轴于F.

我们把面积进行两次转换：

如果△CD4的面积是AMD4面积的2倍，那么△MC4的面积是AMDA面积的3倍.

而△例CA与△MD4是同底三角形，所以高的比CE：OF=3：1,即”：")=3：1.

因此ME:MF=3：1.设MF=m,那么ME=3m.

原抛物线的解析式为y=^x(x-4),所以翻折后的抛物线的解析式为y=-且x(x-4).

所以。(2+机,一刀(2+加)(2+加一4)),C(2+3九刀(2+3次)(2+3加-4)).

回「行'

根据"：丫/)=3：1,列方程_^-(2+3m)(2+3〃2-4)=3—^-(2+m)(2+7n—4).

整理，得3〃於=4.解得加=±.所以2+3加=2±2百.

23"

所以点C的坐标为(2+26,弊)(如图3),或(2-20,

考点伸展

第(1)题可以设抛物线的顶点式：

由点0(0,0),4(4,0),3(2,_逑)的坐标，可知点B是抛物线的顶点.

3

可设…(x-2)2-殍，代入点0(0,0),得♦邛.

例5如图，直线/经过点A(l,0),且与双曲线y=-a＞0)交于点8(2,1).过点尸(p,p-l)(p＞l)作x

x

轴的平行线分别交曲线＞=」(》＞0)和〉=-」(》＜0)于〃、N两点.

xx

(1)求m的值及直线/的解析式;

(2)若点尸在直线y=2上，求证："MBs/\PNA；

(3)是否存在实数p,使得S“MN=45»MP?若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说

明理由.

思路点拨

1.第(2)题准确画图，点的位置关系尽在图形中.

2.第(3)题把SAAMN=4S%AMP转化为MN=4MP,按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论.

满分斛答

(1)因为点5(2,D在双曲线i，=巴上，所以?”=2.设直线/的解析式为了=匕-匕，代入点41,0)

"X

和点5(2,1)，得!一=°'解得5i所以直线j的解析式为j.=x-1.

[2兀+)=L[b=-l.

(2)由点P(AP-1)仍＞1)的坐标可知，点P在直线J=x-1上x轴的上方.如图2,当丁=2时，点P

的坐标为(3,2).此时点M的坐标为(1,2),点X的坐标为(-1,2).

由P(3,2),Ml,2)、5(2,1)三点的位置关系，可知四为等腰直角三角形.

由P(3,2)、N(-1,2)、A(l,0)三点的位置关系，可知为等腰直角三角形.

所以“MBsMNA.

(3)△zlMV和ALW?是两个同高的三角形，底边&V和MP在同一条直线上.

当Su.g=4Suwp时,MV—4Mp.

①如图3,当M在AP上时，xv-xv=4(x?-x-v).因此:'二_(二)'；=4；(*-1)二)解得x=匕业"或

\XXJ\xj2

X=三叵(此时点「在X轴下方，舍去).此时「=匕2叵.

2户2

②如图4,当A/UAP的延长线上时,x.v-xv=4(xv-»).因此._(-$]=4；--(x-1)[.解得x=上4

或x=匕苴(此时点P在x轴下方，舍去).此时p=L甚.

222

考点伸梭

在本题情景下，AAMN能否成为直角三角形？

情形一，如图5,NAMN=90。，此时点M的坐标为(1,2),点P的坐标为(3,2).

情形二，如图6,ZMAN=90°,此时斜边MN上的中线等于斜边的一半.

不存在NAMW=90。的情况.

图5图6

例6如图1,在AABC中，ZC=90°,AC=3,8c=4,CD是斜边4B上的高，点E在斜边AB上，

过点E作直线与AABC的直角边相交于点F,设AE=x,AAEF的面积为y.

（1）求线段的长；

（2）若EFLAB,当点E在斜边AB上移动时，

①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；

②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值.

（3）若点尸在直角边4C上（点尸与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线

EF将aABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF,求出x的值；若不存在直线EF,请说明理由.

思路点拨

1.第（1）题求得的A。的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点.

2.第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论.

3.第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断.

满分解答

3Q

⑴在Rt△43C中，NC=3,5C=4,所以WB=S.在RtAJCD中，=JCcosJ=3x-=-.

94

(2)①如图2,当F在/C上时，Ovxv1.在RtAJE尸中，EF=AElsnA=-x.所以

i2

v=-AEEF=-x^.

"23

g3

如图3,当尸在BC上时，一<x<5.在Rt2L3E尸中，即=BEtanB=—(5-x).所以

54

1心b3.15

”288

②当0<x<］9时，y=2、的最大值为三；

当9/5时，y=-±3X,2+^-X=一，3,(x—"=>+7=s的最大值为”二.

588823232

因此，当x=?时，)■的最大值为三

232

图2图3图4

(3QABC的周长等于12,面积等于6.

先假设EF平分A48C的周长，那么AE=x,AF=6-x,x的变化范围为3〈烂5.因此

5urF=—ME-^FsinA=—x(6-x)x—=--x(x-6).解方程一2双8-6)=3,得x=3±，V^.

225552

因为％=3+,后在把烂5范围内(如图4),因此存在直线EF将△A8C的周氏和面积同时平分.

2

考点伸展

如果把第(3)题的条件“点尸在直角边AC上''改为"点F在直角边BC上”,那么就不存在直线EF将AABC

的周长和面积同时平分.

先假设EF平分”BC的周长，那么AE=x,BE=5—x,BF=x+l.

I]33

因此"即尸=-B£B/7sin5=-(5-x)(x+l)x|=--^(X2-4X-5).

3,

解方程一二（尤2-4x—5）=3.整理。，得4x+5=0.此方程无实数根.

【变式训练】

1.如图，点A是直线y=-x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB=2,则AAOB面积的最大值为（）

A.2B.也+1C.依1D.2媳

【答案】B

【解析】

解：如图所示，

作AAOB的外接圆。C,连接CB,CA,CO,过C作CD1AB于D,贝UCA=AB,

由题可得NA0BT5。，

/.ZACB=90S,

.,.CD=：AB=1,AC=BC=、2=CO,

连接OD,则ODWOC+CD,

...当0,C,D在同一直线上时，OD的最大值为OC+CD=y2+l,

此时OD_LAB,

...△AOB的面积最大值为:ABxOD=；x2(<2-1)=0-1,

当点A在第二象限内，点B在x轴负半轴上时,

同理可得，AA03面积的最大值为、2-1,

故选：B.

2.如图，已知4(-2,0),以B(0,l)为圆心，OB长为半径作0B,N是。B上一个动点,直线4N交y轴于M点,

则△40M面积的最大值是()

816

A.2B.—C.4D.—

33

【答案】B

【解析】

当直线AN与0B相切时，aAOM面积的最大.

连接AB、BN,

在RtAAOB和RtAANB中

(OB=BN

\AB=AB

：.RtAAOB^RtAANB,

；.AN=AO=2,

设BM=x,

/.MN2=(BM-1)(BM-1),

,/ZAOM=ZBNM=905,ZAMO=ZBMN,

.,.△BNNICOAAOM,

.BN_MN

-"OA—而'

即2=匹，

2*+1

解得X=「，

23

故选B.

3.如图，在A4BC中，zB=90°，AB=3cm,BC=6cm,动点P从点4开始沿4B向点B以Icm/s的速度移动，

动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从4B两点同时出发，P点到达B点运动停

止，贝必PBQ的面积S随出发时间珀勺函数关系图象大致是（）

【解析】

由题意可得：PB=3-t,BQ=2t,

则APBQ的面积S二PB・BQ=1(3-t)x2t=-t--3t,

故APBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下.

故选：C.

点睛：此题主要考查「动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键.

4.如图，在zUBC中，zB=90°.NC=30°，AB=6cm,动点P从点B开始沿边84、AC向点C以3cm/s

的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以平cm/s的速度移动，设△BPQ的面积为近”^)运动时间

为双s),则下列图象能反映y与x之间关系的是()

。|2x0\2x

【答案】B

【解析】

332

(1)当0Wt<2时，5ABP(?=|-B(2BP=1-3t-V3t=1t,图象为开口向上的抛物线;

(2)当2Wt时，如下图所示，

BH

5ABP（?=1-e（2-w=|-x（18-3t）=^（6-1）,图象为开口向下的抛物线；

故选：B.

5.如图，在正方形A8CD中，AB^3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时

动点N自。点出发沿折线DC-CB以每秒2cm的速度运动，到达8点时运动同时停止，设A4MN的面

积为y（。加，，运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）

【答案】A

【解析】

...点N自D点出发沿折线DC-CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止,

/.N到C的时间为：t=3+2=L5,

分两部分:

113

①当OWxWl.5时，如图1,此时N在DC匕SsMN=y=-AM-AD=-XX3=-X,

222

②当1.5<xW3时，如图2,此时N在BC上，.-.DC+CN=2x,；.BN=6-2x,.,.SAMN=y=-AM«BN=-x(6

A22

图1图2

考点：动点问题的函数图象.

6.如图，在矩形4BCD中，AB=9,4。=34，点P是边BC上的动点（点P不与点B,点C重合），过点P作直

^.PQIIBD,交CD边于Q点，再把沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x,△PQR与

矩形4BCD重叠部分的面积为y.

(1)求ZCQP的度数；

(2)当x取何值时，点R落在矩形4BCD的4B边上?

(3)①求y与x之间的函数关系式;

7

②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的不;?

(备用图1)(备用图2)

【答案】解：⑴30°.

(2)2^3.

^■*2(。<x<2-^/3)

(3)①y=

-y/3x2+18x-18国<x<3何

__7

②综上所述，当久=39-媳时，APQR与矩形4BCD重叠部分的面积等于矩形面积的方.

【解析】

解：⑴如图，•••四边形4BCD是矩形，.-.AB=CD,AD=BC.

又4B=9,AD=3y/3,zC=90°>

.•.CD=9,BC=34.

BCJ3

tanz.CDB—:.乙CDB=30o-

■■■PQIIBD,Z.CQP=乙CDB=30°.

(2)如图1,

由轴对称的性质可知，4RPQSCPQ,

&RPQ=HPQ,RP=CP.

由3）知zCQP=301,­•/RPQ=KPQ=60',

•••4RPB=60,­•RP=2BP.

•••CP=x,:-PR=x,PB=3V3-x.

在△RP8中，根据题意得：2（3、rx）=x,

解这个方程得：x2\3.

（3）①当点R在矩形ABCD的内部或4B边上时，

L11L邪，

0<x<2A/3,ShCPQ=~xCPxCQ—^x-y/3x=—

•••ARPQ^ACPQ,.•.当0<万42小时，y=*2

当R在矩形4BCD的外部时（如图2）,2非〈尤<38,

在RgPFB中，•.zRPB=60°，

.••PF=2BP=2（3/-x）,

XvRP=CP=x,；.RF=RP-PF=3x-6^

在Rt△£7?「中〉

VAEFR=cPFB=30°,・•・ER=\[3x-6.

SdERF=；ERxFR=号--18x+18v3,

v

y-S'RPQ-s匕ERF》

二当v3、量寸,y=-v3x2^18x-18v3.

综上所述，y与X之间的函数解析式是：y=[^(0<x<2,)

IV&2-18x-18颂2V5<x<3V3)

/3

②矩形面积=9x3市=27小，当0<xW2小时，函数y=随自变量的增大而增大，所以y的最大值是

77

6平,而矩形面积的方的值=方'270=70,

7

而70>6居所以，当0<久<2々时，y的值不可能是矩形面积的万

当273Vx<34时，根据题意，得：

-V3x2+18x-1873=7^)解这个方程，得x=3/±@因为3十+祝>3强

所以*=3/+隹不合题意，舍去.

所以x=34-嫄.

LL7

综上所述，当久=34-a时，△「<?/?与矩形4BCD重叠部分的面积等于矩形面积的方.

7.已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB//OC,AB=10,OC=22,BC=15,动点M从

A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度

的速度沿CO向O点运动。当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动。

(1)求B点坐标；

(2)设运动时间为t秒。

①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；

②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积。

③若另有一动点P,在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动。在②的条件下，PM+PN的长度

也刚好最小，求动点P的速度。

.'.OD=.AB=10,-.CD=OC-OD=12.,.OA=BD=^BC：-CDZ=9.*.B（10,9）

（2）①由题意知：AM=t,ON=OC-CN=22-2t•四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半

i（r+22-2r）x9=^xA（io+22）x9.-.t="6"

19

②设四边形OAMN的面积为S,则5=：（/+22—2。*9=-彳，+99

V0<t<10,且s随t的增大面减小.•.当t=10时，s最小，最小面积为54。

③如备用图，取N点关于y轴的对称点N，，连结MN，交AO于点P,此时”PM+PN=PM+PN=MN长度最

当t=10时，AM=t=10=AB,ON=22-2t=2

AM(10,9),N(2,0)；.N/(—2,0)

设直线MN，的函数关系式为丁=%+》，则

110左+6=94

、，，c解得'

—2k+b=0b/

7

3M

：.P(0,-)AAP=OA-OP=—

22

二动点P的速度为三+103个单位长度/秒

24

【解析】

(1)由题意可以先构造矩形OABD,然后根据勾股定理进行求解；

(2)是动点型的题要设好未知量：

①AM=t,ON=OC-CN=22-2t,根据四边形OANIN的面积是梯形OABC面积的一半，列出等式求出t值；

②设四边形OAMN的面积为S,用t表示出四边形OAXIN的面积，根据二次函数的性质求出最值；

③由题意取N点关于y轴的对称点N,连接交AO于点P,此时PM-PN=PM-PN，=MN长度最小，表

示出点M,N,V的坐标，设直线的函数关系式为y=kx-b,最后待定系数法进行求解.

8.如图，在AABC中，/B=90°，AB12cm,BC=24cm,动点P从点4开始沿着边4B向点B以2cm/s的速

度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿着边BC向点。以4cm/s的速度移动(不与点C重合).若P、Q两

点同时移动t(s)；

(2)设四边形4PQC的面积为S(cm2),当移动几秒时，四边形4PQC的面积为108cm2?

【答案】(1)32cm2(2)当移动3秒时，四边形4PQC的面积为108cm2

【解析】

【分析】

(1)找出运动时间为t杪时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合ABPQ的面积为32cm2,即可得

出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；

(2)用^ABC的面积减去ABPQ的面积即可得出S,令其等于108即可得出关于t的一元二次方程，解之

即可得出结论.

【详解】

(1)运动时间为t秒时(0Wt<6),PB=AB-2t=12-2t,BQ=4t,

;

/.SiBPQ=*PB-BQ=24t-4t=32,

解得：t)-2,t:=4.

答：当移动2秒或4秒时，ABPQ的面积为32cm-.

(2)S=S&ABC-S,BN-AB・BC-(24t-4t-)=4t:-24t-144=108,

解得：t=3.

答：当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm-.

1

9.如图，己知抛物线y=-/2，+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,8)、B(8,0)和点E,动点C从原点O

开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、

D同时出发，当动点D到达原点。时，点C、D停止运动.

(1)直接写出抛物线的解析式：；

(2)求ACED的面积S与D点运动时间t的函数解析式：当t为何值时，ACED的面积最大？最大面积是

多少？

(3)当ACED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点E除外)，使4PCD的面积等于ACED的最大面

积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

12534200

【答案】⑴y=・/2+3x+8;(2)当t=5时，S最大=E；(3)P(q,-三)或P(8,0)或P

4100

【解析】

c=8

(1)将点A(0,8)、B(8,0)代入抛物线y=-,x2+bx+c得：，,，解得：b=3,c=8,

2一一x64+8b+c=0

I2

11

.•.抛物线的解析式为：y=--x2+3x+8,故答案为：y=--x2+3x+8；

(2)•.•点A《0,8)、B(8,0),.\OA=S,OB=S,令y=。，得：-3x+8=0,解得：x,=8,x2=-2,

...点E在x轴的负半轴上，.•.点E(-2,0)，...%=2,根据题意得:当D点运动t秒时，BD=t,OC=t,

OD=8-t,二DE=OE-OI>10-t,二S-”DE・OC=：•(10-t)-t=-1t2+5r,即

5=一"2+5'=一；"一5)2+三，...当t=5时，

25

(3)由(2)知：当t=5时,S.,.当t=5时,OC=5,OD=3,AC(0,5),D(3,0),由勾股定理

得：CD=V341设直线CD的解析式为：y=kx+b,将C(0,5),D(3,0),代入上式得：k=-1,b=5,

直线CD的解析式为：y=-+5,过E点作EF〃CD,交抛物线与点P,如图1,

设直线EF的解析式为：y=-3+，将E(-2,0)代入得：b=-。.•.直线EF的解析式为:y=-声-三,

y=—5x--1-0

将芋，与联立成方程组得：X=-2T

y=_%_y=_*+3*■8I；3，解得:y=0，或

y---x*-+3x+8

Y=-34

2oo,,•rj，9，'

y=--

过点E作EG1CD,垂足为G,...当t=5时，S,EB」CD-EG=H,「.E2手，过点D作DN1CD,垂足

，*34

为N,且使DN上争，过点N作NMlx轴，垂足为如图2,

可得AEGDSADNIN,.,.爵=索，「.EG・DN=ED-DM,即：DM='7；-=^,/.0M=^,由勾股定理得:

1/1*14/Jv3。*

MN=、bv2-DMT.,.N芸），过点N作NH〃CD,与抛物线交与点P,如图2,设直线NH的解

54，♦>4

析式为：八一%+仇将N（箸，0,代入上式得：b=1.■.直线NH的解析式为：y=—■+?,将

3343433

/S40J4

।y=—xH—t—Q*=_

+芍，与y=-#+3x+8联立成方程组得：•：f3，解得：：二〉或.总,

32]>=-；M+3x+8-。y=—

/.P（8,0）或P0一）,

综上所述：当ACED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使APCD的面积等于ACED的最大

———.、，342002…4100

面积，点P的坐标为：P（y,-丁）或P（8,0）或P（-,3-）.

考点：1.二次函数综合题；2.二次函数的最值：3.动点型；4.存在型；5.最值问题；6.分类讨论；7.压

轴题.

10.如图，已知抛物线y=-；x2+bx+c与坐标轴分别交于点点A（0,8）、B（8,0）和点E,动点C从原

点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动,

动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动.

(1)求该抛物线的解析式及点E的坐标;

(2)若D点运动的时间为t,ACED的面积为S,求S关于t的函数关系式，并求出4CED的面积的最大值.

125

【答案】(1)y=-—x?+3x+8,E(-2,0)；(2)当t=5时，S及大=—.

22

【解析】

试题分析：(1)将点A(0,8)、B(8,0)代入抛物线y=-gx2+bx+c即可求出抛物线的解析式为：y=-

—x2+3x+8；再令y=0,得：-，X2+3X+8=0,解方程可得点E的坐标；

22

(2)根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t,OC=t,然后由点A(0,8)、B(8,0),可得OA=8,OB=8,

从而可得OD=8-t,然后令y=0,点E的坐标为(-2,0),进而可得OE=2,DE=2+8-t=10-t,然后利用

:角形的面积公式即可求4CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：S=--t2+5t,然后转化为顶