高考试题分析与启示12年黄皮书

常考裁题今折易启示

2012年8月

撰稿人：黄意南，韩明喜，索争科，朱国民

2012年四川高考数学试题分析

一、试题总体评价

注重基础与能力，考查思想与方法，具有合理区分度，有利于高校选拔人才。在高考中

更多地体现新课程改革理念中的新元素，让贯彻了新课程改革教学理念的教师与学生在高考

中受益，让那些整天沉没在题海中的考生在高考中受挫，这样新课程改革才能真正彻底地进

行下去！

科目理科数学平均分文科数学平均分

年份省市差距省市差距

2009年84.078-6.064.057.6-6.4

2010年77.076.7-0.3064.059.9-4.10

2011年80.2780.660.3961.2361.13-0.10

2012年80.0484.14.0656.5057.300.8()

（一）、选择题

充分体现了多考点想，少考点算的思路，值得肯定的是理科第（4）（数形结合）、（6）（7）

（直接考查概念与课本上的结论），由教材上的习题直接改编的第（8）题改得漂亮，第（10）

题以球为载体，从球面距离的概念出发，充分利用课本中的结论cos。=cos仇-cos%，实实

在在地考查了学生的空间想象能力，是一道较好的立几试题；（11）用抛物线为载体，确定其

系数为事件，考查排列组合问题，其中又要考虑重或漏，结合得很好；（12）题考查了函数的

对称性，将等差数列的项作为函数的自变量，等差中项的性质正好与有对称中心的函数自变

量满足条件相宜，这是此题的亮点,是此题的精彩之处，是一个完美的结合。利用函数的单调

性将函数值相等转化为自变量相等从而得出结论。这是一道综合性要求很高，考查了思维的

深刻性，是一道漂亮的小题。

选择题中容易题略显容易，难题略难，中档题偏少，若将（10）（11）中的一题降低难度至

中档题，而（1）（2）（3）（4）题中的一题难度上升为中档题，则更好些。

（二）、填空题

前三题难度适当，（15）题虽然有一定的思维容量，但背景、方法学生熟练。（16）题思

维要求特高，学生只能通过代值检验得出结论，一-般不可能进行严格证明，有一定的高等数

学背景，难度很大。

（三）、解答题

17题：结合互斥事件，相互独立事件、独立重复试验于一题，知识覆盖面广，运算简洁,

难度适当。

18题：利用三角函数的图象写解析式，利用正三角形作为桥梁连结振幅与半周期有一定

的新意，第二问给值求值，主要考查三角公式的运用，利用整体代换，多角度考查了三角函

数相关知识，结果简洁，难度适当。

19题：先证明后建系，真正意义上充分考查了考生的空间想象能力，题干与设问都较常

规，利用传统方法来解比建系略显容易。对那些依赖于坐标系直接运算就得分来考查立体几

何的方法作了修正。但由于建系不容易，阻碍了考生在中档题中的得分进程，让考生过早受

挫，不利于学生进一步完成下面的试题。

20题：从S”,凡的递推作为背景，题型熟悉，便于入手，但第一问解方程组讨论过多，

容易失分，第二问用对数作为工具进行等比化等差，以考查等差数列前多少项和最大结束，

既考查了两个重要数列又考查了对数的转化功能，整题思路流畅，但要通过估算才能得到结

果且结论不太简洁，导致考生丢分。

21题：第一问直接利用课本习题广泛得到认可，用直接法求曲线的方程改变了多年来解

析几何第一问给定曲线类型求相关系数的习惯，真正意义上考查了考生对曲线与方程的关系，

在难度上有所增加，第二问将线段长度之比利用相似形转化成两横坐标，用求根公式建立函

数模型，求函数的值域从而得到取值范围。只是分式函数中套根式，不太容易统一“元”，过

程中要注意斜率不存在的情况，曲线中要“挖”点，定义域中要去数，对应的范围中也就要

去数，不太容易得出正确答案。若构造%+三利用韦达定理建立函数模型求出范围，再解

匹

方程求出比值，则回到了解几的通性通法，但构造的技巧性太强。

22题：入手易深入难，第(II)中的先探索再证明，探索过程可以结合三次函数与指数

函数的图象特征定性分析，定量运算，也可逐个计算先猜后证。证明过程中有放缩，利用二

项式定理，第(III)问：求和形式下的比较与证明，思路较为熟悉，但要先比较再证明，且

要考虑是先求和或放缩求和后比较和的大小，还是要利用和式分拆求出通项来比较通项的大

小，若分拆通项理科则要选放缩再分拆，比较大小时利用函数思路很自然，考生处理能力强,

整题考查知识点与方法较多，设计合理，难度适当是一道较好的压轴题。

二、试题的主要特点

1、试题结构保持平衡，延续川卷风格

①试卷在题型结构，题量与以往保持一致

题型选择题填空题解答题

题量1246

②试题难度及分布也与往年相似

易、中、难三种题目比例为3：5：2,其中选择题3：2：1,填空题2：1：1,解答题中

档题和难题的比例为2：1。

2、试题有较高的区分度，有利于高校选拔人才

试卷具有起点低、结尾高、入手易、深入难等特点，各类题型的起始题比较容易但压轴

题较难，6个解答题的入手都较容易但要解答完整却并非易事。文理科第(1)至(7)题、(13)、

(14)、(17)(1)题，用较短时间就可完成。文理科的(11)、(12)、(16)、(21)、(22)等题,

知识的综合性强并且能力要求高，对考生思维的灵活性、深刻性、批判性、创造性提出了较

高要求，需要考生具有较强的数学能力。特别是文理(22)题站在学科整体的高位，以抛物线、

切线、截距等为载体，将函数、导数、不等式、二项式定理、数列等知识融为一体，考查了

放缩法、估算法、构造法、导数法等数学基本方法，考查了函数、化归与转化、特殊与一般、

猜想与证明等数学思想方法。各类试题的编排顺序均体现了由易到难的原则。这样的设计和

安排，有利于稳定考生的情绪，有利于考生的正常发挥，有利于区分考生的思维层次和水平。

试卷充分考虑到四川教育发展不均衡的现状，适当增加了中档试题比重，中档试题比重在50%

左右，从而试卷具有明显的层次感和良好的区分度。

3、试题稳中有进，引导课改

试卷在题型、题量、难度分布上保持了相对稳定，同时也有适度创新。部分试题考查了

数学探究，意在引导课改。理科第(12)题的解答，考生需要借助于直觉思维先猜想出5个余

弦值的和为0的结论，然后利用函数的单调性证明该结论的正确性，从而完成问题的解答。

理科第(16)题的解答，考生可根据的不同的值算出数列的前几项，发现其规律，借助于特殊

情况的经验，猜想出一般结论，进一步得到正确答案。文理科第(22)题第(II)问是求4的最小

值，解答此题需要探究，先通过试算探出结论，然后再严格证明。这些试题的设计，意在考

查数学探究，意在推进高中数学新课程的实施。

4、试题突出主干知识，重点知识重点考查

试卷既重视基础知识的全面考查，又突出主干知识的重点考查。全卷涉及的知识点覆盖

了整个高中数学教材的所有知识板块，而且对高中数学教材的主干知识(函数、数列、不等式、

三角函数、解析几何、立体儿何、概率、导数等)进行了重点考查。例如，理科考查函数的题

目有⑶、(5)、(12)、(15)、(18)⑴、(20)、(21)(11)、(22)等题,考查解析几何的题目

有(8)、(9)、(15)、(21)题,考查立体几何的题目有(6)、(10)、(14)、(19)题。这有利于引

导高中数学教师在注重基础知识的同时突出主干知识的教学，不仅强调数学知识的结果与应

用，而且重视数学知识探究发现的过程。

主干知识函数、导数三角立体几何解析数列

分值3817262121

主干知识占了全卷总分值的81%

5、试题突出对数学思想方法和能力考查，注重多思少算

坚持能力立意，体现《考试大纲》，考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，通过考

查数学思想方法检测学生数学能力，对数学思想方法的考查全面深入。坚持多角度、多层次

地考查数学能力，特别是思维能力、运算能力、空间想象能力、阅读理解能力、应用意识和

创新意识。如文理科大量题目充分考查了观察、联想、类比、猜想、估算等直觉思维能力；

第（18）〜（22）等题考查了逻辑思维能力和运算能力；第（10）、（14）、（19）等题，考查了空间

想象能力；理科第（9）、（17）题，文科第（3）、（17）题考查了应用意识和阅读理解能力：文理

科第（10）、（12）、（22）等题及理科第（16）题考查了创新意识，这些创新型试题具有立意深远、

背景深刻、情境新颖、设问巧妙等特点，它们对区分思维能力强的考生提供了良好的检测载

体;一些试题重视对思维品质的考查，如理科第（12）、（16）、（20）、（21）、（22）题能有效考

查考生数学思维的发散性、严谨性、深刻性和创造性，它们都是富含思维价值并且区分度好

的试题。

数学思维能力的考查在大部分试题中得到了充分体现。如文理科第（1）—（8）、（13）、（14）、

（15）、（17）（1）等题，都不需要较多的运算就可得出结论。理科第（5）、（7）、（10）、（12）等

题，文科第（4第⑺、（10）、（12）等题，具有思维量大但运算量小的特点。理科第（12）、（16）、

（22）等题，其思维难度高、思维量大，但借助于直觉猜想、合理估算、反例构造、演绎推理

等方法，运用数形结合、函数与方程等数学思想，其运算就比较简单。文理科第（20）题，若

能运用对数函数的单调性及估算就能较快的解决问题，并可避免繁琐的数值计算。今年全卷

的运算量和书写量比过去几年有所降低，但思维量有所增加，较好地体现了“多考点想，少

考点算”的命题理念。

6、试题注重文理学科的差异

文理科试卷在试题内容、编排顺序、难度要求等方面都有较为合理的差异。文科试题起

点较理科低，但文科的压轴题接近理科压轴题的思维难度，这有利于区分文科数学尖子生。

文理科试卷同题有6个，姊妹题有11个，不同题有5个。文科试题在思维量、运算量、能力

要求等方面明显低于理科试题的要求。这样的设计更加符合四川省文科考生的实际，对文科

学生学好数学有积极意义。

7、试题回归教材，有利于高中数学的正确导向

2012年高考数学四川卷超过一半的试题直接源于教材或由教材上的例题、习题、复习题

改编而成，这些试题重视对基础知识和通性通法的考查。例如，理科第（1）、（2）、（3）、（4）

等12个题目，文科第（1）、（2）、（3）、（4）等11个题目，特别值得一提的是理（21）（I）题即

为高中数学第二册（上）复习参考题八的B组第3题。这种立足于教材编拟高考试题的理念和

方法，对中学数学教学回归教材、重视课本、减轻学业负担、实施素质教育具有良好的导向

作用，也充分体现了试题背景的公平性。试卷没有偏题怪题，包括压轴题的解答，用到的都

是常规思路和基本方法。

三、2009年至2012年高考四川卷考点对比与分析

四年高考四川卷双向细目表（理）

能力层次

分

内容题号理解

值了解应用

掌握

代集合及运算、解二次0915VV

集合与

不等式和绝对值不等10164

简易逻

式12134V

辑

充要条件0965V

1045V

1152V

1272V

164V

09125V

213

1035V

映射、函数的图象及74V

性质及运算114V

11

数134V

144VV

55

12

1212V

10222V

反函数

1171V

092210V

83V

10

2112VV

等差、等比数列的基85V

数列11

础知识及其综合应用2010V

164V

/

122012V

/

V

222V

0945V

三角函数的图象1065V

、性质11176V

12186V

三角101912VV

三角公式应用、化简、

函数11176V

求值

12186V

091712V

三角形内的三角函数1165V

1245V

0972V

向量的数量积、数量

1055V

积的儿何意义

平面向11123V

里09202V

向量的概念及运算1145V

1273V

09224

不等式不等式证明125

10

229V

11227

12229V

09115V

排列、组合10105V

排列组12115VV

合二项09134V

式定理10134V

二项式定理

11202V

1215V

09105V

1075V

线性规划

1195V

直线专

1295V

圆

09144V

直线、圆、直线与圆

144

的位置关系10VV

207

解0995V

析抛物线、直线与抛物11105

几线的位置关系85V

12

何222V

092010V

圆锥曲

椭圆、直线与椭圆的10205VV

线方程

位置关系112112V

12154V

双曲线的定义和性0973V

质、直线与双曲线的11144V

位置关系122112V

09154V

直线和线面位置关系、异面

1135V

平面直线所成角

1265V

0985

球、球面距离的概念、10115V

组合体11154V

立

12105VV

体简

55V

几单09

1912V

何几

154V

何线面位置关系、角、10

1812V

体距离、简单几何体体

积111912V

144V

12

1912VV

091812V

101712

概率

15V

与概率、分布列和期望

11122V

统计

1812V

121712V

0925V

1()25V

函数的极限与连续性

1153V

极限1235V

选09213V

修数列极限1082

(II)11111V

09216V

10223V

求导函数、导数的应

导数

用11227V

12221V

0935V

1015VV

复数复数的概念和运算

1125VV

1225V

几年来，四川自主命制的理科数学试题，体现了以下特点：

1、保持稳定，稳中有进。重视基础，立足于教材；重视对数学思想方法、数学能力的考

查。在题型、题量、难度分布上保持了相对稳定，避免大起大落，有利于高校招生利中学数

学教学的稳定，有利于社会安定。

2、立足教材，正确导向。试题源于教材，以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能

力。有利于纠正高三复习中片面追求“新、奇、怪”的现象；有利于防止高三复习中脱离教材以

教辅资料代替高三复习的片面做法：有利于高中素质教育及减轻高中学生过重的学业负担。

3、始终体现能力立意的命题理念。高考数学的命题比较有体系，尤其是六道解答题都相

对稳定。但高考毕竟是选拨性考试，因此问题的设计呈现入口宽，即保证学生能动手做，要

得满分必须有一定的实力。

4、重视对新增内容的考查。新增内容指的是简易逻辑、平面向量、空间向量、线性规划、

概率与统计、导数，它们起着中学数学与高等数学的衔接作用，重视对新增内容的考查，就

是重视对考生进入高校继续学习潜能的考查。如2012年理科数学高考试卷对新增内容的考查

分值为37分，占总分的25%

5、不片面追求知识的覆盖面，数学中的核心知识、主干内容重点考查。数学这门学科从

高考命题的发展趋势来看，重心仍放在九大重点章节即函数、数列、三角函数、平面向量、

不等式、立体几何、解析几何、概率统计、导数等。九大重点章节是高考命题的核心内容。

必考点有：集合及运算，简易逻辑，函数的图象及性质及运算，等差、等比数列的基础

知识及其综合应用，三角函数的图象、性质，三角形内的三角函数，向量的概念及运算，不

等式，排列、组合，二项式定理，线性规划，直线、圆、圆锥曲线、直线与圆锥曲线的位置

关系，线面位置关系、角、距离，球，概率、分布列和期望，函数的极限与连续，导数的应

用，复数的概念和运算等。

常考点有：反函数，含参不等式，不等式恒成立问题，不等式的证明，已知三角函数值

求角，三角函数图象变换，向量共线、共面问题，线段的定比分点，简单几何体的体积，数

学归纳法、抽样方法、总体分布估计等。

未考点有：方差、正态分布、线形回归等。

四年高考四川卷双向细目表（文）

能力层次

内容年题号分值理解

了解应用

掌握

0915V

15V

集合及其运算、解二次10

164VV

集合与不等式和绝对值不等式

1115V

简易逻

1215V

辑

0975V

充要条件1155V

1272V

0925V

反函数10223V

1142V

125VV

09

164VV

函数1025V

代映射、函数的概念、43V

11

数图象及其性质164VV

45V

12125V

V

134V

35V

09

2214V

102012V

等差数列、等比数列的

数列

基础知识95V

11

2012VV

2012V

12

222V

0945V

三角函三角函数的图象

1075V

数和性质

11186V

12186V

091712V

1185V

三角形内的三角函数

1255V

101912V

三角公式及其应用

11186V

12186V

1175V

向量的概念及运算

平面向1273V

0982

里向量的数量积（意义）、

1065V

向量的坐标运算

11123VV

115V

10

225V

不等式证明

不等式11227VV

164VV

12

229VV

不等式恒成立问题10223V

09115V

排列、组合问题1095V

排列组12115VV

合二项09144V

式定理10134V

二项式定理

11134V

1225V

()91812V

101712V

概率

概率122V

计算11

1712V

121712V

09105V

线性

1085VV

解直线和规划

11105VV

析圆的方

1285V

几程

144V

何直线与圆的位置关系及10

217VV

相关计算

1135V

圆锥曲抛物线、直线与抛物线09134V

线方程的位置关系1035V

11115VV

95V

12

222V

092112VV

椭圆、直线与椭圆的位10105VV

置关系112112VV

12154V

0983V

双曲线、直线与双曲线10215V

的位置关系11144V

122112V

直线与平面的位置关

直线和1165V

系、二面角、异面直线

平面

所成角1265V

0995V

球、球面距离的概念、10125VV

组合体11154V

12105VV

体65V

几09154V

简单儿

何1912V

何体

154

线面位置关系、角、距10V

1812

离、简单几何体的体积

111912V

144V

12

1912V

0955V

1045V

统计抽样、统计

1125V

1235V

选修

092012VV

(I)

导数导数的应用10223V

11227

12221V

同样，四川自主命制的文科数学试题，体现了以下特点:

1、试题稳中有新。几年来，高考数学试题在题型、题量、分值分布等结构上保持了稳定,

这一结构已广泛被人们接受，也符合数学学科实际。每套试题中都有一定量源于教材的试题,

也有一定量的具有综合性、运用性、探索性、开放性的新颖试题。

2、注重了文、理科卷的差异。由于文理科学生数学学习能力有差异，在高考命题中充分

关注学生的学习能力，设计一定的不同题、姊妹题，其中文科题目稍简单一些，相同题的位

置也相对靠后。

3、注重基础、重视教材。试题注重考查考生对“三基”的掌握情况与系统掌握教材内容

相结合的原则，即重视基础、重视教材，对中学数学教学有很好的导向作用。

4、注重数学能力和数学思想方法的考查。今年数学试卷中，对双基的考查，没有考查单

纯的背诵和记忆，而是重在考查考生对基础的理解与运用，重视对数学思想方法、能力的考

查。

5、面视对新增内容的考查。新增内容指的是简易逻辑、平面向量、空间向量、线性规划、

概率与统计、导数，它们起着中学数学与高等数学的衔接作用，重视对新增内容的考查，就

是重视对考生进入高校继续学习潜能的考查。如2012年高考文科数学试卷对新增内容的考查

分值为42分，占总分的28%

6、考查全面、突出重点。《考试大纲》要求高考试题对中学数学基础知识的考查，要坚

持既要全面又要突出重点的原则。儿乎每年的试题考点数都达到或超过了《考试大纲》中列

出的考点数的60%,具有较好的覆盖面。函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、圆锥

曲线、直线平面简单几何体、概率与统计、导数九大章节知识是中学数学的主干知识，始终

是考试的重点内容。

必考点有：集合及运算，简易逻辑，函数的图象、性质及运算，等差、等比数列的基础

知识及其综合应用，三角函数的图象、性质，三角形内的三角函数，向量的概念及运算，不

等式，排列、组合，二项式定理，概率，线性规划，直线、圆、圆锥曲线、直线与圆锥曲线

的位置关系，球，线面位置关系、角、距离，导数的应用等。

常考点有：反函数，含参不等式，不等式恒成立问题，不等式的证明，已知三角函数值

求角，三角函数图象变换，向量共线、共面问题，线段的定比分点，简单几何体的体积，抽

样方法、总体分布的估计等。

未考点有：方差、正态分布、线形回归等。