高考物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天

PAGE第20页共112页第1节曲线运动运动的合成与分解一、曲线运动1．速度方向：质点在某一点的速度方向沿曲线在这一点的切线方向。eq\a\vs4\al([注1])2．运动性质：曲线运动一定是变速运动。eq\a\vs4\al([注2])3．曲线运动的条件两个角度运动学角度物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上(加速度可以是恒定的，也可以是变化的)动力学角度合外力的方向跟物体速度方向不在同一条直线上(合外力可以是恒力，也可以是变力)二、运动的合成与分解1．分解原则：一般根据运动的实际效果进行分解。2．运算法则：位移、速度、加速度的合成或分解遵循平行四边形定则。3．合运动与分运动的关系eq\a\vs4\al([注3])等时性合运动与分运动、分运动与分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止eq\a\vs4\al([注4])独立性各分运动相互独立，不受其他运动的影响。各分运动共同决定合运动的性质和轨迹等效性各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果【注解释疑】[注1]做曲线运动的物体其速度方向时刻在变，但速度的大小可能不变。[注2]加速度不为零，合外力不为零。a恒定→匀变速曲线运动，如平抛运动。a改变→变加速曲线运动，如匀速圆周运动。[注3]实际运动为合运动。[注4]时间是分运动与分运动、分运动与合运动建立联系的关键量，即t是运动规律方程组所共有的“元”。【基础自测】一、判断题(1)做曲线运动的物体加速度一定是变化的。(×)(2)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。(×)(3)曲线运动可能是匀变速运动。(√)(4)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。(√)(5)合运动的速度一定比分运动的速度大。(×)(6)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(×)(7)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。(√)二、选择题1．(多选)[教科版必修2P4T2]一质点做曲线运动，它的速度方向和加速度方向的关系是()A．质点速度方向时刻在改变B．质点加速度方向时刻在改变C．质点速度方向一定与加速度方向相同D．质点速度方向一定沿曲线的切线方向解析：选AD质点做曲线运动，其速度方向沿轨迹的切线方向，方向时刻在改变，且与加速度方向不在一条直线上，加速度的方向可能是不变的，故选项A、D正确，B、C错误。2．[人教版必修2P6演示实验改编]如图所示，水平桌面上一小铁球沿直线运动。若在铁球运动的正前方A处或旁边B处放一块磁铁，下列关于小铁球运动的说法正确的是()A．磁铁放在A处时，小铁球做匀速直线运动B．磁铁放在A处时，小铁球做匀加速直线运动C．磁铁放在B处时，小铁球做匀速圆周运动D．磁铁放在B处时，小铁球做变加速曲线运动解析：选D磁铁放在A处时，小铁球受磁力作用向前加速，逐渐靠近磁铁，磁力增大，加速度增大，故A、B均错误；磁铁放在B处时，小铁球受到的磁力与速度方向不共线，做曲线运动，因磁力的大小和方向均随距离的变化而变化，故加速度大小是变化的，C错误，D正确。3.(多选)[人教版必修2P7T2改编]跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目。如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响。下列说法中正确的是()A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害C．运动员下落时间与风力无关D．运动员着地速度与风力无关解析：选BC水平方向的风力对竖直方向的运动没有影响，运动员下落时间与风力无关。无风时，运动员在水平方向速度为零，有风时，运动员在水平方向上因风力作用做加速运动，风力越大，着地时水平方向速度越大，着地速度也越大。故B、C正确，A、D错误。考点一物体做曲线运动的条件与轨迹分析[素养自修类]【对点训练】1．[曲线运动的条件及特点](多选)初速度不为零的小球只受到一个大小不变的力的作用，下列说法正确的是()A．小球可能做曲线运动B．小球的位置可能保持不变C．小球的速度大小可能保持不变D．小球的加速度一定保持不变解析：选AC当小球的速度方向与力F不共线时，小球做曲线运动，选项A正确；小球所受合外力不为零，一定会运动，所以小球的位置不可能保持不变，选项B错误；若力F与速度垂直，力F的大小不变，方向不断变化，则小球能做匀速圆周运动，速度的大小保持不变，选项C正确；小球所受的合外力大小不变，方向不确定，所以加速度不一定保持不变，选项D错误。2．[运动轨迹的判断]质点做曲线运动，从A到B速率逐渐减小，如图所示，有四位同学用示意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向，其中正确的是()解析：选AA图中，加速度方向与速度方向夹角大于90°，质点做减速运动，故A正确；B图中，速度方向与加速度方向相同，质点做直线运动，不做曲线运动，故B错误；C图中，加速度在速度的右侧，质点运动轨迹应向右侧凹，故C错误；D图中，加速度方向与速度方向夹角小于90°，质点做加速曲线运动，故D错误。3．[加速度方向与速率变化的关系]质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图如图所示，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直。在质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是()A．质点经过C点的速率比经过D点的大B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°C．质点经过D点时的加速度比经过B点的大D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小解析：选A质点做匀变速曲线运动，所以加速度大小不变，C错误；由于质点在D点时速度方向与加速度方向垂直，则在A、B、C点时速度方向与加速度方向的夹角大于90°，B错误；质点由C到D点的过程，速度方向与加速度方向的夹角大于90°，所以经过C点的速率比经过D点的大，A正确；质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角逐渐减小，D错误。【要点解读】1．物体做曲线运动时，速度沿轨迹的切线方向，合力指向轨迹凹侧，如图所示。2．物体做曲线运动的特征(1)运动学特征：由于做曲线运动的物体的瞬时速度方向沿曲线的切线方向，所以做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动。(2)动力学特征：由于做曲线运动的物体的速度时刻变化，说明物体具有加速度，根据牛顿第二定律可知，物体所受的合力一定不为零且和速度方向始终不在一条直线上(曲线运动条件)。合力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小。3．若合外力的方向与速度方向夹角成锐角，则物体速率增大；若两者夹角为钝角，则速率减小。考点二运动的合成与分解[互动共研类]1．运动的合成与分解的运算法则运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解。由于它们均是矢量，合成与分解都遵守平行四边形定则。2．合运动的性质和轨迹的判断(1)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。(2)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。[例1]如图所示，从上海飞往北京的波音737客机在上午10点10分到达首都国际机场。若飞机在水平分速度为60m/s，竖直分速度为6m/s时开始降落，降落过程中飞机在水平方向做加速度大小等于2m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前()A．飞机的运动轨迹为曲线B．经20s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等C．在第20s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等D．飞机在第20s内，水平方向的平均速度为21m/s[解析]由于初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A错误；由匀减速直线运动规律可知，飞机在第20s末的水平分速度为20m/s，竖直方向的分速度为2m/s，B错误；飞机在第20s内，水平位移x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v0xt20＋\f(1,2)axt202))－v0xt19－eq\f(1,2)axt192＝21m，竖直位移y＝v0yt20＋eq\f(1,2)ayt202－v0yt19－eq\f(1,2)ayt192＝2.1m，C错误；飞机在第20s内，水平方向的平均速度为21m/s，D正确。[答案]D[拓展延伸]若飞机在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向做加速度大小为0.2m/s2的匀减速直线运动。(1)飞机的运动轨迹是直线还是曲线？(2)当飞机竖直速度减为零时，飞机恰好着陆，则着陆前飞机的位移为多大？提示：(1)飞机的初速度方向斜向下方，而加速度方向竖直向上，故飞机的运动轨迹为曲线。(2)飞机竖直方向减速运动的时间t＝eq\f(v竖,a)＝30s，竖直方向的位移h＝eq\f(v竖,2)t＝90m。水平方向的位移x＝v水平t＝1800m，故飞机在这段时间内的位移大小为s＝eq\r(x2＋h2)＝eq\r(18002＋902)m≈1802m。eq\a\vs4\al([一题悟通])例题及相关拓展延伸旨在让学生掌握合运动轨迹和性质的判断，以及合运动各物理量的计算方法。(1)分析运动的合成与分解问题时，一般情况下按运动效果进行分解。(2)要注意分析物体在两个方向上的受力及运动规律，分别在两个方向上列式求解。(3)两个方向上的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。【对点训练】1．(2021·广东深圳高三调研)2019北京航展，我国五代战机“歼－20”再次闪亮登场。表演中，战机先水平向右，再沿曲线ab向上(如图)，最后沿陡斜线直入云霄。设飞行路径在同一竖直面内，飞行速率不变。则沿ab段曲线飞行时，战机()A．所受合外力大小为零B．所受合外力方向竖直向上C．竖直方向的分速度逐渐增大D．水平方向的分速度不变解析：选C因为战机做速率不变的曲线运动，所以合外力不为零且方向与速度方向垂直，故A、B错误；对任一点的速度正交分解，如图所示vy＝vcosα，vx＝vsinα，根据题意知α减小，vy增加，vx减小，故C正确，D错误。2．[合运动轨迹的判断]春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福。如图甲所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的()A．直线OA B．曲线OBC．曲线OC D．曲线OD解析：选D孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，则合外力沿Oy方向，所以合运动的加速度方向沿Oy方向，但合速度方向不沿Oy方向，故孔明灯做曲线运动，结合合力指向轨迹内侧可知运动轨迹可能为曲线OD，故D正确。3．[由运动图像分析物体的运动规律](多选)质量为2kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度—时间图像和y方向的位移—时间图像如图所示，下列说法正确的是()A．质点的初速度为5m/sB．质点所受的合外力为3N，做匀加速曲线运动C．2s末质点速度大小为6m/sD．2s内质点的位移大小约为12m解析：选ABD由x方向的速度—时间图像可知，质点在x方向的加速度为1.5m/s2，受力Fx＝3N，由y方向的位移—时间图像可知，质点在y方向做匀速直线运动，速度为vy＝4m/s，受力Fy＝0。因此质点的初速度为5m/s，A正确；质点受到的合外力为3N，显然，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，做匀加速曲线运动，B正确；2s末质点速度应该为v＝eq\r(62＋42)m/s＝2eq\r(13)m/s，C错误；2s内质点在x方向上位移大小x＝vxt＋eq\f(1,2)at2＝9m，y方向上位移大小y＝8m，合位移大小l＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(145)m≈12m，D正确。考点三小船渡河模型[方法模型类][例2]小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10min到达对岸下游120m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5min到达正对岸。求：(1)水流的速度大小；(2)小船在静水中的速度、河的宽度以及船头与河岸间的夹角α。【典例识模】题干信息吹“沙”见“金”船头垂直对岸方向航行时，在出发后10min到达对岸下游120m处过河最短时间为10min10min内船顺流而下120m船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5min到达正对岸航程最短时过河时间为12.5min最短航程为河流的宽度[解析](1)船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示。由x＝v2t1得v2＝eq\f(x,t1)＝eq\f(120,600)m/s＝0.2m/s。(2)船头保持与河岸成α角向上游航行时，如图乙所示。有v2＝v1cosα，d＝v1sinα·t2由图甲可得d＝v1t1联立解得α＝53°，v1≈0.33m/s，d＝200m。[答案](1)0.2m/s(2)0.33m/s200m53°【系统建模】1．小船渡河的两类情况最短时间最短航程v船>v水v船<v水tmin＝eq\f(d,v船)lmin＝d，cosθ＝eq\f(v水,v船)lmin＝d·eq\f(v水,v船)，cosθ＝eq\f(v船,v水)2．“三模型、两方案、两确定”解决小船渡河问题【熟练用模】1．[渡河时间最短问题](多选)某河宽为600m，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系图像如图所示，现船以静水中的速度4m/s渡河，且船渡河的时间最短，下列说法正确的是()A．船在河水中航行的轨迹是一条直线B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C．船离开河岸400m时的速度大小为2eq\r(5)m/sD．渡河最短时间为240s解析：选BC因为船在静水中速度不变，水流速度在变化，可知船在沿河岸方向上有加速度，合速度的方向与加速度的方向不在同一条直线上，轨迹是曲线，故A错误；当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，t＝eq\f(600,4)s＝150s，故B正确，D错误；船离开河岸400m时，离较近河岸的距离为200m，此时水流速度为2m/s，根据平行四边形定则可知船运动的合速度大小v＝eq\r(22＋42)m/s＝2eq\r(5)m/s，故C正确。2．[两类情况对比]有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。一条小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为eq\f(2v,\r(3))。回程与去程所用时间之比为()A．3∶2 B．2∶1C．3∶1 D．2eq\r(3)∶1解析：选B设河宽为d，则去程所用的时间t1＝eq\f(d,\f(2v,\r(3)))＝eq\f(\r(3)d,2v)；返程时的合速度v′＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2v,\r(3))))2－v2)＝eq\f(v,\r(3))，回程的时间为t2＝eq\f(d,\f(v,\r(3)))＝eq\f(\r(3)d,v)。故回程与去程所用时间之比为t2∶t1＝2∶1，选项B正确。考点四绳(杆)端速度分解模型[方法模型类][例3]如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，a、b两物体质量分别为m1和m2，且m1<m2。若将b从位置A由静止释放，当落到位置B时，b的速度为v2，且绳子与竖直方向的夹角为θ。这时a的速度大小v1等于()A．v2sinθB.eq\f(v2,sinθ)C．v2cosθ D．eq\f(v2,cosθ)[解析]物体a的速度与绳上各点沿绳方向的速度大小相等，所以绳的速度等于a的速度v1，而b的实际速度v2可分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子的分速度。因此v1跟v2的关系如图所示，由图可看出a的速度大小v1＝v2cosθ，C正确。[答案]C【系统建模】1．绳(杆)端速度分解模型(1)模型特点沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。(2)绳(杆)端速度的分解思路2．四种常见的速度分解模型【熟练用模】1．[绳端速度分解模型]如图所示，一工人利用定滑轮和轻质细绳将货物提升到高处。已知该工人拉着绳的一端从滑轮的正下方水平向右匀速运动，速度大小恒为v，直至绳与竖直方向夹角为60°。若滑轮的质量和摩擦阻力均不计，则该过程()A．货物也是匀速上升B．绳子的拉力大于货物的重力C．末时刻货物的速度大小为eq\f(v,2)D．工人做的功等于货物动能的增加量解析：选B由题意可知，将工人的速度v沿绳方向和垂直于绳方向分解，如图所示，沿绳方向的速度大小等于货物上升的速度大小，有v货＝vsinθ，θ随工人向右运动逐渐变大，sinθ变大，v不变，故货物运动的速度要变大，A错误；货物的加速度向上，由牛顿第二定律可知其所受合外力向上，则绳的拉力FT大于货物的重力mg，故B正确；末时刻货物的速度大小为v货＝vsin60°＝eq\f(\r(3),2)v，C错误；根据功能关系可知，工人做的功等于货物动能的增加量和重力势能的增加量之和，D错误。2．[杆端速度分解模型]如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，球B的速度大小为v2，则()A．v2＝eq\f(1,2)v1B．v2＝2v1C．v2＝v1 D．v2＝eq\r(3)v1解析：选C球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin30°＝eq\f(1,2)v1，球B此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2cos60°＝eq\f(1,2)v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C项正确。“STSE问题”巧迁移——生活中的运动合成与分解类型一骑马射箭[例1](多选)民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则()A．运动员放箭处离目标的距离为eq\f(dv2,v1)B．运动员放箭处离目标的距离为eq\f(d\r(v12＋v22),v2)C．箭射到固定目标的最短时间为eq\f(d,v2)D．箭射到固定目标的最短时间为eq\f(d,\r(v22－v12))[审题指导]箭相对地面的速度(指向目标)是箭射出的速度v2(箭相对于马)与马前进速度v1的合速度，而且为保证箭在空中飞行时间最短，v2必须垂直于v1。[解析]要想以箭在空中飞行的时间最短的情况下击中目标，v2必须垂直于v1，并且v1、v2的合速度方向指向目标，如图所示，故箭射到目标的最短时间为eq\f(d,v2)，C正确，D错误；运动员放箭处离目标的距离为eq\r(d2＋x2)，又x＝v1t＝v1eq\f(d,v2)，故eq\r(d2＋x2)＝eq\r(d2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v1d,v2)))2)＝eq\f(d\r(v12＋v22),v2)，A错误，B正确。[答案]BC类型二转台投篮[例2]趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球。下面的各俯视图中篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮方向)的是()[审题指导]篮球的实际速度是运动员投篮球的速度与运动员所在位置平台转动速度的合速度。[解析]当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿球筐方向，篮球就会被投入球筐。故C正确，A、B、D错误。[答案]C类型三风中骑车[例3]某人骑自行车以4m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速为4m/s，那么，骑车人感觉到的风向和风速为()A．西北风风速为4m/sB．西北风风速为4eq\r(2)m/sC．东北风风速为4m/sD．东北风风速为4eq\r(2)m/s[审题指导]风相对骑车人的速度是风相对于地的速度与地相对于自行车的速度的合速度。[解析]以骑车人为参考系，人向正东方向骑行，感觉风向正西，风速大小为v1＝4m/s，当时有正北风，风速为v2＝4m/s，如图所示，可求得人感觉到的风向为东北风，风速v＝4eq\[答案]D1．关于物体的受力和运动，下列说法中正确的是()A．物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变B．物体做曲线运动时，某点的加速度方向就是通过这一点曲线的切线方向C．物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变D．做曲线运动的物体，一定受到与速度不在同一直线上的外力作用解析：选D如果合力与速度方向不垂直，必然有沿速度方向的分力，速度大小一定改变，故A错误；物体做曲线运动时，通过某一点的曲线的切线方向是该点的速度方向，而不是加速度方向，比如平抛运动，故B错误；物体受到变化的合力作用时，它的速度大小可以不改变，比如匀速圆周运动，故C错误；物体做曲线运动的条件是一定受到与速度不在同一直线上的外力作用，故D正确。2.在足球场上罚任意球时，运动员踢出的足球，在行进中绕过“人墙”转弯进入了球门，守门员“望球莫及”，轨迹如图所示。关于足球在这一飞行过程中的受力方向和速度方向，下列说法中正确的是()A．合外力的方向与速度方向在一条直线上B．合外力的方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧C．合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向D．合外力方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向解析：选C足球做曲线运动，则其速度方向为轨迹的切线方向，根据物体做曲线运动的条件可知，合外力的方向一定指向轨迹的内侧，故C正确。3.如图所示，这是质点做匀变速曲线运动的轨迹的示意图。已知质点在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是()A．C点的速率小于B点的速率B．A点的加速度比C点的加速度大C．C点的速率大于B点的速率D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大解析：选C质点做匀变速曲线运动，B点到C点的过程中加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以C点的速率比B点速率大，故A错误，C正确；质点做匀变速曲线运动，则加速度大小和方向不变，所以质点经过C点时的加速度与A点的相同，故B错误；质点从A点运动到C点的过程中，质点运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，故D错误。4.如图所示，在水平力F作用下，物体B沿水平面向右运动，物体A恰匀速上升，那么以下说法正确的是()A．物体B正向右作匀减速运动B．物体B正向右作加速运动C．地面对B的摩擦力减小D．斜绳与水平方向成30°时，vA∶vB＝eq\r(3)∶2解析：选D将B的运动沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向上的分速度等于A的速度，如图：根据平行四边形定则有vBcosα＝vA，得vB＝eq\f(vA,cosα)，α减小，所以B的速度减小，但不是匀减速，故A、B错误；在竖直方向上，对B有mg＝FN＋Tsinα，FT＝mAg，得FN＝g(m－mAsinα)，α减小，则支持力增大，根据Ff＝μFN，摩擦力增大，故C错误；根据vBcosα＝vA，斜绳与水平方向成30°时，vA∶vB＝eq\r(3)∶2，故D正确。5.如图所示，一条河岸笔直的河流水速恒定，甲、乙两小船同时从河岸的A点沿与河岸的夹角均为θ的两个不同方向渡河。已知两小船在静水中航行的速度大小相等。下列说法正确的是()A．甲先到达对岸B．乙先到达对岸C．渡河过程中，甲的位移小于乙的位移D．渡河过程中，甲的位移大于乙的位移解析：选C两小船在静水中航行的速度大小相等，且渡河方向与河岸的夹角均为θ，所以两船在垂直于河岸方向上的速度相等；根据运动的独立性，船在平行于河岸方向上的分速度不影响渡河时间，所以甲、乙两小船同时到达对岸，A、B错误。甲船在平行于河岸方向上的速度为v甲′＝v水－v甲cosθ，乙船在平行于河岸方向上的速度为v乙′＝v水＋v乙cosθ，两船在平行于河岸方向上的位移分别为x甲＝v甲′t，x乙＝v乙′t，则x甲<x乙，又两船在垂直于河岸方向上的位移相同，故在渡河过程中，甲的位移小于乙的位移，C正确，D错误。6．物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v­t图像如图1和图2所示。以下判断正确的是()A．在0～1s内，物体做匀速直线运动B．在0～1s内，物体做匀变速直线运动C．在1～2s内，物体做匀变速直线运动D．在1～2s内，物体做匀变速曲线运动解析：选C在0～1s内，物体在水平方向做匀速运动，竖直方向做匀加速运动，合运动为匀变速曲线运动，故选项A、B错误；在1～2s内，水平方向初速度大小为v0x＝4m/s，加速度大小为ax＝4m/s2，竖直方向初速度大小为v0y＝3m/s，加速度大小为ay＝3m/s2，根据平行四边形定则可以得到合速度大小为v＝5m/s，合加速度大小为a＝5m/s2，而且二者方向在同一直线上，合运动为匀变速直线运动，故选项C正确，D错误。7.如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为()A.eq\f(vsinα,L) B.eq\f(v,Lsinα)C.eq\f(vcosα,L) D.eq\f(v,Lcosα)解析：选B棒与平台接触点的实际运动即合运动，方向垂直于棒指向左上，如图所示，合速度v实＝ωL，沿竖直向上方向上的速度分量等于v，即ωLsinα＝v，所以ω＝eq\f(v,Lsinα)，故B正确。8．如图所示，河水由西向东流，河宽为800m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝eq\f(3,400)x(m/s)。让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4m/s。下列说法中正确的是()A．小船渡河的轨迹为直线B．小船在河水中的最大速度是5m/sC．小船在距离南岸200m处的速度小于距北岸200m处的速度D．小船渡河的时间是160s解析：选B因水流速度大小与离河岸的距离大小有关，故小船的划水速度与河水速度的合速度大小和方向是变化的，小船渡河的轨迹为曲线，A错误；水流速度最大为v水max＝eq\f(3,400)×400m/s＝3m/s，故小船在水中的最大速度为vmax＝eq\r(32＋42)m/s＝5m/s，B正确；小船距岸200m处，水流速度均为1.5m/s，故小船的速度大小相等，C错误；小船渡河时间与水流速度大小无关，t＝eq\f(d,v船)＝200s>160s，D错误。9．如图所示，AB杆以恒定角速度ω绕A点在竖直平面内顺时针转动，并带动套在固定水平杆OC上的小环M运动，A、O间距离为h。运动开始时AB杆在竖直位置，则经过时间t(小环仍套在AB和OC杆上)，小环M的速度大小为()A.eq\f(ωh,cos2ωt) B.eq\f(ωh,cosωt)C．ωh D．ωhtanωt解析：选A经过时间t，∠OAB＝ωt，则AM的长度为eq\f(h,cosωt)，则AB杆上与小环M接触的点绕A点的线速度v＝eq\f(ωh,cosωt)，将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解，垂直于AB杆方向的分速度等于速度v，则小环M的速度v′＝eq\f(v,cosωt)＝eq\f(ωh,cos2ωt)，故A正确。10．(2021·山东烟台市质检)在一水平面上建立xOy平面直角坐标系，一物体在水平面上从坐标原点开始运动，沿x方向和y方向的x­t图像和vy­t图像分别如图甲、乙所示，求：(1)运动后4s内物体的最大速度的大小；(2)4s末物体离坐标原点的距离。解析：(1)由题图可知，物体沿x轴正方向做匀速直线运动，速度大小为vx＝eq\f(x1,t1)＝2m/s，在运动后4s内，沿y轴方向运动的最大速度为vym＝4m/s，则运动后4s内物体运动的最大速度为vm＝eq\r(vx2＋vym2)＝2eq\r(5)m/s。(2)0～2s内物体沿y轴正方向做匀加速直线运动，2～4s内先沿y轴正方向做匀减速直线运动，再沿y轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动，此过程加速度大小为a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(6,2)m/s2＝3m/s2。则物体沿y轴正方向做匀减速运动的时间t2＝eq\f(v1,a)＝eq\f(2,3)s，则由题图乙可知，运动后的4s内沿y轴方向的位移y＝eq\f(1,2)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(2,3)))m－eq\f(1,2)×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))m＝0，因此4s末物体离坐标原点的距离等于沿x轴方向的位移由题图甲可知，4s末物体离坐标原点的距离s＝x1＝8m。答案：(1)2eq\r(11．一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s。(1)若船在静水中的速度为v2＝5m/s。①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)若船在静水中的速度v2＝1.5m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？解析：(1)若v2＝5m/s。①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向；当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5m/s，tmin＝eq\f(d,v2)＝eq\f(180,5)s＝36s；v合＝eq\r(v12＋v22)＝eq\f(5,2)eq\r(5)m/s，x1＝v合tmin＝90eq\r(5)m。②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，如图乙所示，船头应朝v2方向。垂直河岸过河要求v水平＝0，有v2sinα＝v1，得α＝30°，所以当船头与上游河岸成60°时航程最短。x2＝d＝180m。t＝eq\f(d,v合)＝eq\f(d,v2cos30°)＝eq\f(180,\f(5,2)\r(3))s＝24eq\r(3)s。(2)若v2＝1.5m/s。与(1)中②不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为θ，则航程x3＝eq\f(d,sinθ)。欲使航程最短，需θ最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合与水平方向夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2。sinθ＝eq\f(v2,v1)＝eq\f(3,5)，得θ＝37°。所以船头应朝上游与河岸成53°方向。t＝eq\f(d,v⊥)＝eq\f(d,v2cos37°)＝eq\f(180,1.2)s＝150s。v合＝v1cos37°＝2m/s，x3＝eq\f(d,sinθ)＝300m。答案：见解析第2节抛体运动一、平抛运动1．定义(条件)：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。2．运动性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。3．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。4．基本规律(如图所示)(1)速度关系(2)位移关系(3)轨迹方程：y＝eq\f(g,2v02)x2。(4)两个重要推论①做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为β，位移与水平方向的夹角为α，则tanβ＝2tan_α。②做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，则OA＝2OC。二、斜抛运动eq\a\vs4\al([注3])1．定义：将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。2．性质：加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动。3．研究方法：斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。【注解释疑】[注1]由于加速度方向竖直向下，所以在任意相等时间Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt。eq\a\vs4\al([注1])[注2](1)分清速度偏转角β和位移与水平方向的夹角α。(2)C点是对应水平位移的中点，横坐标为eq\f(x,2)。[注3]斜抛运动问题多为斜上抛运动，可以在最高点分成两段处理，后半段为平抛运动，前半段的逆运动可以看成相等初速度的反向平抛运动。【基础自测】一、判断题(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(×)(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。(×)(3)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。(×)(4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长。(×)(5)从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的。(√)(6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。(√)二、选择题1．[教科版必修2P18T2]一架投放救援物资的飞机在某个受援区域的上空水平匀速飞行，从飞机上每隔1s投下1包救援物资，先后共投下4包，若不计空气阻力，则4包物资落地前()A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的C．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的D．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点不是等间距的解析：选C匀速飞行的飞机上落下的物资做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，且与飞机的速度相同，因此，4包物资在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直线，因各物资落地间隔时间相等，落地点是等间距的，故选项C正确，A、B、D均错误。2.[人教版必修2P10做一做改编](多选)为了验证做平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片后，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落。关于该实验，下列说法中正确的是()A．两球的质量应相等B．两球应同时落地C．应改变装置的高度，多次实验D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动解析：选BC两球从同一高度同时开始运动，竖直方向均做自由落体运动，落地时间一定相等，不需要两球质量相等，为了验证平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，应改变高度多次实验才能验证猜想，故A错误，B、C正确；本实验无法说明平抛运动在水平方向的运动是匀速直线运动，D错误。考点一平抛运动规律的应用[素养自修类]【对点训练】1．[平抛运动规律的应用](2020·全国卷Ⅱ)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点，c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。eq\f(E2,E1)等于()A．20 B．18C．9.0 D．3.0解析：选B摩托车落到c点时，根据平抛运动规律有h＝v01t1，h＝eq\f(1,2)gt12，解得v012＝eq\f(gh,2)；同理摩托车落到b点时有v022＝9gh。又动能E1＝eq\f(1,2)mv012、E2＝eq\f(1,2)mv022，所以eq\f(E2,E1)＝18，故A、C、D项错误，B项正确。2．[平抛运动规律的应用](2021·湖南省普通高等学校招生适应性考试)有一圆柱形水井，井壁光滑且竖直，过其中心轴的剖面图如图所示，一个质量为m的小球以速度v从井口边缘沿直径方向水平射入水井，小球与井壁经多次弹性碰撞(碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，小球竖直方向速度大小和方向都不变)落入水中，不计空气阻力。从小球水平射入水井到落至水面的过程中，下列说法正确的是()A．小球下落时间与小球质量m有关B．小球下落时间与小球初速度v有关C．小球下落时间与水井井口直径d有关D．小球下落时间与水井井口到水面高度差h有关解析：选D因为小球与井壁发生多次弹性碰撞，碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，则将小球的运动轨迹连接起来就是一条抛物线，可知小球在竖直方向做自由落体运动，下落时间由t＝eq\r(\f(2h,g))可知，下落时间与小球的质量m、小球初速度v以及井口直径均无关，只与井口到水面高度差h有关。故选D。3．[两球平抛后相遇问题](多选)如图所示，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向先后抛出，恰好同时落到地面上与两抛出点水平距离相等的P点，并且落到P点时两球的速度互相垂直。若不计空气阻力，则()A．小球a比小球b先抛出B．初速度va小于vbC．小球a、b抛出点距地面高度之比为vb∶vaD．初速度va大于vb解析：选AB由h＝eq\f(1,2)gt2，得t＝eq\r(\f(2h,g))，可知平抛运动的运动时间是由竖直高度决定的，由于小球a的高度比小球b的大，ta>tb，由于小球a、b的水平位移相等，由x＝v0t得va<vb，故A、B正确，D错误。h＝eq\f(1,2)gt2＝eq\f(1,2)geq\f(x2,v02)，故小球a、b抛出点距地面高度之比为eq\f(ha,hb)＝eq\f(vb2,va2)，C错误。4．[抛出的高度和速度不同](多选)(2020·江苏高考)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2A．A和B的位移大小相等B．A的运动时间是B的2倍C．A的初速度是B的eq\f(1,2)D．A的末速度比B的大解析：选AD由题意可知，落地后，小球A的位移大小sA＝eq\r(xA2＋yA2)＝eq\r(l2＋2l2)＝eq\r(5)l，小球B的位移大小sB＝eq\r(xB2＋yB2)＝eq\r(2l2＋l2)＝eq\r(5)l，显然小球A、B的位移大小相等，A正确；小球A的运动时间tA＝eq\r(\f(2yA,g))＝eq\r(\f(4l,g))，小球B的运动时间tB＝eq\r(\f(2yB,g))＝eq\r(\f(2l,g))，则tA∶tB＝eq\r(2)∶1，B错误；小球A的初速度vxA＝eq\f(xA,tA)＝eq\f(l,\r(\f(4l,g)))＝eq\r(\f(gl,4))，小球B的初速度vxB＝eq\f(xB,tB)＝eq\f(2l,\r(\f(2l,g)))＝eq\r(2gl)，则vxA∶vxB＝1∶2eq\r(2)，C错误；落地瞬间，小球A竖直方向的速度vyA＝eq\r(4gl)，小球B竖直方向的速度为vyB＝eq\r(2gl)，则落地瞬间小球A的速度为vA＝eq\r(vxA2＋vyA2)＝eq\r(\f(17,4)gl)，小球B的速度vB＝eq\r(vxB2＋vyB2)＝eq\r(4gl)，显然vA>vB，D正确。【要点解读】对多体平抛问题的四点提醒(1)两条平抛运动轨迹的交点是两物体的必经之处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。即轨迹相交是物体相遇的必要条件。(2)若两物体同时从同一高度抛出，则两物体始终处在同一高度。(3)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同。(4)若两物体从同一高度先后抛出，则两物体高度差随时间均匀增大。考点二落点有约束条件的平抛运动[多维探究类]考法一落点在斜面上的平抛运动[例1]如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50kg，不计空气阻力(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2)。求：(1)A点与O点的距离L；(2)运动员离开O点时的速度大小；(3)运动员从O点飞出到离斜坡距离最远所用的时间。[解析](1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有Lsin37°＝eq\f(1,2)gt2得L＝eq\f(gt2,2sin37°)＝75m。(2)设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有Lcos37°＝v0t得v0＝eq\f(Lcos37°,t)＝20m/s。(3)法一运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为v0cos37°、加速度为gsin37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v0sin37°、加速度为gcos37°)。当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，有v0sin37°＝gcos37°·t解得t＝1.5s。法二当运动员的速度方向平行于斜坡与水平方向成37°角时，运动员离斜坡最远，有eq\f(gt,v0)＝tan37°解得t＝1.5s。[答案](1)75m(2)20m/s(3)1.5s[解题技法]图示方法基本规律运动时间分解速度，构建速度的矢量三角形水平：vx＝v0竖直：vy＝gt合速度：v＝eq\r(vx2＋vy2)由tanθ＝eq\f(v0,vy)＝eq\f(v0,gt)得t＝eq\f(v0,gtanθ)分解位移，构建位移的矢量三角形水平：x＝v0t竖直：y＝eq\f(1,2)gt2合位移：x合＝eq\r(x2＋y2)由tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(gt,2v0)得t＝eq\f(2v0tanθ,g)在运动起点同时分解v0、g由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得t＝eq\f(v0tanθ,g)，d＝eq\f(v02sinθtanθ,2g)分解平行于斜面的速度v由vy＝gt得t＝eq\f(v0tanθ,g)考法二落点在竖直面上的平抛运动[例2](多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示。已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)()A．初速度之比是eq\r(6)∶eq\r(3)∶eq\r(2)B．初速度之比是1∶eq\r(2)∶eq\r(3)C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶eq\r(2)∶eq\r(3)D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是eq\r(6)∶eq\r(3)∶eq\r(2)[解析]水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，水平方向上做匀速直线运动。又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝eq\f(1,2)gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶eq\f(1,\r(2))∶eq\f(1,\r(3))＝eq\r(6)∶eq\r(3)∶eq\r(2)，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知a、b、c三颗弹丸从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶eq\r(2)∶eq\r(3)，故选项C正确，D错误。[答案]ACeq\a\vs4\al([解题技法])如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝eq\f(d,v0)，注意t并不相等。考法三落点在圆弧面上的平抛运动[例3]如图所示，B为半径为R的竖直光滑圆弧的左端点，B点和圆心O连线与竖直方向的夹角为α，一个质量为m的小球在圆弧轨道左侧的A点以水平速度v0抛出，恰好沿圆弧在B点的切线方向进入圆弧轨道，已知重力加速度为g，下列说法正确的是()A．AB连线与水平方向夹角为αB．小球从A运动到B的时间t＝eq\f(v0tanα,g)C．小球运动到B点时，重力的瞬时功率P＝eq\f(mgv0,cosθ)D．小球运动到竖直圆弧轨道的最低点时，处于失重状态[解析]平抛运动水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，说明小球在B点时，合速度方向沿着圆轨道的切线方向。将合速度正交分解，根据几何关系可得，其与水平方向的夹角为α，则tanα＝eq\f(gt,v0)，解得t＝eq\f(v0tanα,g)，此时AB位移的连线与水平方向的夹角不等于α，故A错误，B正确；小球运动到B点时，重力的瞬时功率P＝mgvy＝mgv0tanα，故C错误；小球运动到竖直圆弧轨道的最低点时，有向上的加速度，所以处于超重状态，故D错误。[答案]Beq\a\vs4\al([解题技法])落点在圆弧面上的三种常见情境(1)如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间t有h＝eq\f(1,2)gt2，R±eq\r(R2－h2)＝v0t，联立两方程可求t。(2)如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等。(3)如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。考点三平抛运动中的临界问题[互动共研类]常见的三种临界特征(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。[例4]如图所示，水平屋顶高H＝5m，围墙高h＝3.2m，围墙到房子的水平距离L＝3m，围墙外空地宽x＝10m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g取10m/s2。求：小球离开屋顶时的速度v0的大小范围。[解析]设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v1，则小球的水平位移L＋x＝v1t1，小球的竖直位移H＝eq\f(1,2)gt12，解以上两式得v1＝(L＋x)eq\r(\f(g,2H))＝13m/s设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v2，则此过程中小球的水平位移L＝v2t2小球的竖直位移H－h＝eq\f(1,2)gt22解以上两式得v2＝Leq\r(\f(g,2H－h))＝5m/s小球抛出时的速度大小范围为5m/s≤v0≤13m/s。[答案]5m/s≤v0≤13m/s[拓展延伸]求小球落在空地上的最小速度。提示：小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小。竖直方向有vy2＝2gH，则vmin＝eq\r(v22＋vy2)＝5eq\r(5)m/s。eq\a\vs4\al([一题悟通])处理平抛运动中的临界问题的关键处理此类问题的重点在于结合实际模型，对题意进行分析，提炼出关于临界条件的关键信息。此类问题的临界条件通常为位置关系的限制或速度关系的限制，列出竖直方向与水平方向上的方程，将临界条件代入即可求解。在分析此类问题时一定要注意从实际出发寻找临界点，画出物体运动的草图，找出临界条件。【对点训练】1.如图所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8m，水平距离为8m，则运动员跨过壕沟的初速度至少为(取g＝10m/s2)()A．0.5m/s B．2m/sC．10m/s D．20m/s解析：选D当摩托车刚好跨过壕沟时，水平速度最小，此时水平位移大小为x＝8m，竖直位移大小为y＝0.8m。则竖直方向有y＝eq\f(1,2)gt2，可得t＝eq\r(\f(2y,g))＝eq\r(\f(2×0.8,10))s＝0.4s；水平方向有x＝v0t，可得，v0＝eq\f(x,t)＝eq\f(8,0.4)m/s＝20m/s，故选D。2.如图所示，一可看作质点的小球从一台阶顶端以v0＝4m/s的水平速度抛出，每级台阶的高度和宽度均为1m，如果台阶数足够多，重力加速度g取10m/s2，则小球将首先落在标号为几的台阶上？解析：设小球从抛出到落到台阶上经历的时间为t，则水平位移为x＝v0t，竖直位移为y＝eq\f(1,2)gt2，因为每级台阶的高度和宽度均为1m，所以小球落在台阶上时水平位移与竖直位移的夹角小于等于45°，即eq\f(x,y)≤tan45°＝1，代入数据解得t≥0.8s；相应的水平位移x≥4×0.8m＝3.2m。台阶数n≥eq\f(3.2m,1m)＝3.2，可知小球抛出后首先落到标号为4的台阶上。答案：4“STSE问题”巧迁移——体育运动中的平抛运动类型一乒乓球的平抛运动问题1．(多选)在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的球1和球2，如图所示。不计乒乓球的旋转和空气阻力。乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是()A．起跳时，球1的重力功率等于球2的重力功率B．球1的速度变化率小于球2的速度变化率C．球1的飞行时间大于球2的飞行时间D．过网时球1的速度大于球2的速度解析：选AD乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动。重力的瞬时功率等于重力乘以竖直方向的速度，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v2＝2gh得起跳时竖直方向分速度大小相等，所以两球起跳时重力功率大小相等，A正确；速度变化率即加速度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相同，B错误；由h＝eq\f(1,2)gt2可知两球飞行时间相同，C错误；球1的水平位移较大，两球飞行时间相同，由x＝vt可知，球1的水平速度较大，D正确。类型二足球的平抛运动问题2.如图所示，足球球门宽为L。一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)。球员顶球点的高度为h。足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则()A．足球位移的大小x＝eq\r(\f(L2,4)＋s2)B．足球初速度的大小v0＝eq\r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L2,4)＋s2)))C．足球末速度的大小v＝eq\r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L2,4)＋s2))＋4gh)D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tanθ＝eq\f(L,2s)解析：选B根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h，水平位移为x水平＝eq\r(s2＋\f(L2,4))，则足球位移的大小为x＝eq\r(x水平2＋h2)＝eq\r(s2＋\f(L2,4)＋h2)，选项A错误；由h＝eq\f(1,2)gt2，x水平＝v0t，可得足球的初速度为v0＝eq\r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L2,4)＋s2)))，选项B正确；对足球应用动能定理有mgh＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02，可得足球末速度v＝eq\r(v02＋2gh)＝eq\r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L2,4)＋s2))＋2gh)，选项C错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tanθ＝eq\f(2s,L)，选项D错误。类型三网球的平抛运动问题3．如图所示，运动员将网球在边界A处正上方B点水平向右击出，恰好过网的上边沿上的C点落在D点，不计空气阻力，已知eq\x\to(AB)＝h1，网高h2＝eq\f(5,9)h1，A点与球网之间的垂直距离为x，重力加速度为g，下列说法正确的是()A．落点D与网之间的垂直距离为eq\f(1,3)xB．网球的初速度大小为xeq\r(\f(g,h1))C．若击球高度低于eq\f(20,27)h1，球不可能落在对方界内D．若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于eq\f(x\r(2gh1),h1)，球一定落在对方界内解析：选C因为h1－h2＝eq\f(4,9)h1，由t＝eq\r(\f(2h,g))可知，eq\f(tBC,tBD)＝eq\f(2,3)，由x＝v0t可知eq\f(x,x1)＝eq\f(2,3)，其中x1为B、D两点间的水平距离，则落点D与网之间的垂直距离x2＝eq\f(1,2)x，选项A错误；球从B到D的过程中，有h1＝eq\f(1,2)gt12，eq\f(3,2)x＝v0t1，得v0＝eq\f(3,4)xeq\r(\f(2g,h1))，选项B错误；降低击球高度(仍大于h2)，同时调整初速度的大小，会有一临界高度h′，此时球刚好过网又刚好压界，有h′－h2＝eq\f(1,2)geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,v0′)))2，h′＝eq\f(1,2)geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,v0′)))2，又有h2＝eq\f(5,9)h1，联立解得h′＝eq\f(20,27)h1，若击球高度小于该临界高度，球不可能落到对方界内，选项C正确；若保持击球高度不变，要想球落在对方界内，既不能出界，又恰好过网，根据h1＝eq\f(1,2)gt12，得t1＝eq\r(\f(2h1,g))，则球的最大初速度v0max＝eq\f(2x,t1)＝eq\f(x,h1)eq\r(2gh1)，由h1－h2＝eq\f(1,2)gt22，得t2＝eq\r(\f(2h1－h2,g))，则球的最小初速度v0min＝eq\f(x,t2)＝xeq\r(\f(g,2h1－h2))，选项D错误。1．发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是()A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大解析：选C发球机从同一高度水平射出两个速度不同的乒乓球，根据平抛运动规律，竖直方向上有h＝eq\f(1,2)gt2，可知两球下落相同距离h所用的时间是相同的，选项A错误。由vy2＝2gh可知，两球下落相同距离h时在竖直方向上的速度vy相同，选项B错误。由平抛运动规律，水平方向上有x＝vt，可知速度较大的球通过同一水平距离所用的时间t较少，选项C正确。由于做平抛运动的球在竖直方向的运动为自由落体运动，两球在相同时间间隔内下降的距离相同，选项D错误。2．(多选)从y轴上沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹如图所示，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则()A．a的飞行时间比b的长B．b和c的飞行时间相同C．a的初速度比b的小D．b的初速度比c的大解析：选BD由h＝eq\f(1,2)gt2得t＝eq\r(\f(2h,g))，可知飞行时间只与高度有关，A错误，B正确；做平抛运动的物体在水平方向做匀速直线运动，故其初速度v0＝eq\f(x,t)，式中x指水平方向的位移，t指飞行时间，可知a的初速度最大，c的初速度最小，C错误，D正确。3．(2021·河北省邯郸市质检)如图所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，今测得AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，由此可判断()A．A、B、C处三个小球运动时间之比为1∶2∶3B．A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交C．A、B、C处三个小球的初速度大小之比为1∶2∶3D．A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1解析：选DA、B、C处三个小球下降的高度之比为9∶4∶1，根据平抛运动的时间t＝eq\r(\f(2h,g))知，A、B、C处三个小球运动时间之比为3∶2∶1，故A项错误；因最后三个小球落到同一点，抛出点不同，轨迹不同，所以三个小球的运动轨迹不可能在空中相交，故B项错误；三个小球的水平位移之比为9∶4∶1，根据x＝v0t知，初速度之比为3∶2∶1，故C项错误；对于任意一球，因为平抛运动某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，三个小球落在斜面上，位移与水平方向夹角相等，即位移与水平方向夹角正切值相等，则三个小球在D点速度与水平方向上的夹角的正切值相等，也就是三个小球在D点的速度与水平方向的夹角相等，故D项正确。4．如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端c处。今在c点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的三等分点d处。若不计空气阻力，下列关系式正确的是()A．ta＝eq\f(\r(3),2)tb B．ta＝3tbC．va＝eq\f(\r(3),2)vb D．va＝eq\f(3,2)vb解析：选C由于a、b两球下降的高度之比为3∶1，根据h＝eq\f(1,2)gt2可知下落时间t＝eq\r(\f(2h,g))，则两小球运动的时间关系是ta＝eq\r(3)tb，故A、B错误；因为两球水平位移之比为3∶2，由v0＝eq\f(x,t)得va＝eq\f(\r(3),2)vb，故C正确，D错误。5．(多选)(2021·广东省普通高中学业水平选择考适应性测试)如图所示，排球比赛中运动员将排球从M点水平击出，排球飞到P点时，被对方运动员击出，球又斜向上飞出后落到M点正下方的N点，N点与P点等高，轨迹的最高点Q与M等高，不计空气阻力，下列说法正确的有()A．排球两次飞行过程中加速度相同B．排球两次飞行过程中重力对排球做的功相等C．排球离开M点的速率比经过Q点的速率大D．排球到达P点时的速率比离开P点时的速率大解析：选ACD不计空气阻力，排球在空中只受重力而做匀变速曲线运动，加速度均为重力加速度g，故A正确；设排球的抛体高度为h，第一次从M到P，重力做正功，WG＝mgh，第二次做斜上抛运动，从P到Q到N点，重力做功为零，故B错误；排球从M到P和从Q到N都是做平抛运动，在M、Q点均只有水平方向的速度，高度h相同，由h＝eq\f(1,2)gt2知运动时间相同，但xNP>xQN，由x＝v0t可推出排球离开M点的速度大于经过Q点的速度，故C正确；将排球从P到Q的斜上抛运动由逆向思维法可看成从Q到P的平抛，则由M到P和Q到P的平抛运动比较，运动高度相同，则运动时间相同，竖直分速度vy一样，但M到P的水平位移大，则水平速度v0较大，由v＝eq\r(v02＋vy2)，可知排球从M到P的末速度大小大于从P到Q的初速度大小，故D正确。6．甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持拍的拍面与水平方向成45°角，乙同学持拍的拍面与水平方向成30°角，如图所示。设乒乓球击打拍面时速度方向与拍面垂直，且乒乓球每次击打球拍前、后的速度大小相等，不计空气阻力，则乒乓球击打甲的球拍的速度v1与乒乓球击打乙的球拍的速度v2之比为()A.eq\f(\r(6),3) B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),3)解析：选C由题可知，乒乓球在甲与乙之间做斜上抛运动，根据斜上抛运动的特点可知，乒乓球在水平方向的分速度大小保持不变，竖直方向的分速度是不断变化的，由于乒乓球击打拍面时速度与拍面垂直，在甲处有vx＝v1sin45°，在乙处有vx＝v2sin30°，所以eq\f(v1,v2)＝eq\f(\f(vx,sin45°),\f(vx,sin30°))＝eq\f(\r(2),2)，故C正确，A、B、D错误。7.如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为(0,6m)。从P点将一小球水平抛出，初速度为1m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为(不计空气阻力)()A．(3m,3m) B．(2m,4mC．(1m,1m) D．(1m,2m)解析：选C设小球第一次打在曲面上的位置为(x，y)，小球在水平方向有x＝v0t；竖直方向有6－y＝eq\f(1,2)gt2，x、y满足曲面方程，则y＝x2，联立各式并把g＝10m/s2、v0＝1m/s代入，解得x＝1m，y＝1m，则小球第一次打在曲面上的位置为(1m,1m)，故选项C正确。8．(多选)如图所示，水平抛出的物体，抵达斜面上端P处时速度恰好沿着斜面方向，紧贴斜面PQ无摩擦滑下，则下列物体沿x方向和y方向运动的位移—时间图像及速度—时间图像，可能正确的是()解析：选AD设斜面的倾角为α，水平抛出的物体抵达斜面之前在水平方向做匀速直线运动，故其水平速度vx＝v0，而抵达斜面后物体的加速度a＝gsinθ，故水平方向速度vx＝v0＋(gsinθcosθ)t，即在水平方向做匀加速运动可知B错误。抵达斜面之前物体在水平方向的位移x0＝v0t0，而抵达斜面后物体在水平方向的位移x＝x0＋v0Δt＋eq\f(1,2)gsinθcosθΔt2，可知A正确。抵达斜面之前物体在竖直方向做自由落体运动，故竖直方向的速度vy＝gt，抵达斜面后物体在竖直方向的加速度ay＝gsinθsinθ＝gsin2θ，故竖直方向的速度vy＝gt0＋g(sinθ)2t，可知D正确。抵达斜面前物体在竖直方向的位移y＝gt2，抵达斜面后物体在竖直方向的位移y＝eq\f(1,2)gt02＋gt0Δt＋eq\f(1,2)gsin2θΔt2，可知C错误。9．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的阻力，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是()A.eq\f(L1,2)eq\r(\f(g,6h))<v<L1eq\r(\f(g,6h))B.eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))<v<eq\r(\f(4L12＋L22g,6h))C.eq\f(L1,2)eq\r(\f(g,6h))<v<eq\f(1,2)eq\r(\f(4L12＋L22g,6h))D.eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))<v<eq\f(1,2)eq\r(\f(4L12＋L22g,6h))解析：选D乒乓球做平抛运动，则乒乓球落到球网最上端的时间t＝eq\r(\f(2×2h,g))＝2eq\r(\f(h,g))，当乒乓球能恰好通过球网上边缘中点落在台面右侧时，速率最小，满足eq\f(L1,2)＝2v1eq\r(\f(h,g))，解得v1＝eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))；当乒乓球刚好落在右侧台角时，速率最大，则乒乓球落到台面上的时间t′＝eq\r(\f(2×3h,g))＝eq\r(\f(6h,g))，最大速率满足eq\r(L12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L2,2)))2)＝v2eq\r(\f(6h,g))，解得v2＝eq\f(1,2)eq\r(\f(4L12＋L22g,6h))，故乒乓球落到球网右侧台面上对应的发射速度v最大取值范围是eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))<v<eq\f(1,2)eq\r(\f(4L12＋L22g,6h))，选项D正确。10．如图所示，倾角θ＝37°、高h＝1.8m的斜面体位于水平地面上，小球从斜面体顶端A点以初速度v0水平向右抛出(此时斜面体未动)，小球恰好落到斜面体底端B点处。空气阻力忽略不计，取重力加速度