圆的概念及性质

的概念及性质一、圆的相关概念1.圆的定义描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点0叫做圆心，0A叫做半径.集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．圆的表示方法：通常用符号。表示圆，定义中以0为圆心，0A为半径的圆记作”00“，读作”圆0“.同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：注意：同圆或等圆的半径相等.弦和弧弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的圆弧记作AB，读作弧AB.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．圆心角和圆周角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1°的圆心角，我们也称这样的弧为1°的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1.旋转对称性圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．(2)圆的旋转对称性n圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系.2.轴对称性1)圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴(2)圆的轴对称性n垂径定理.三、圆的性质定理1.圆周角定理(1)定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半2)推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．注意：前提条件是在同圆或等圆中；在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等.垂径定理1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2） 推论注意：前提条件是在同圆或等圆中；在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等.垂径定理1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2） 推论1：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.3）推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等.注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立.注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：r2=d2+（2）2，根据此公式，在a，r,三个量.d三个量中知道任何两个量就可以求出第的相关概念及性质的相关概念及性质例1】判断题：（1）直径是弦()（2）弦是直径()（3）半圆是弧()（4）弧是半圆()（5）长度相等的两条弧是等弧()（6）等弧的长度相等()（7）两个劣弧之和等于半圆()

TOC\o"1-5"\h\z8)半径相等的两个圆是等圆 ( )9)两个半圆是等弧 ( )(10)圆的半径是R，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ()ZAOB=ZAOB=ZA'OB'=60。，贝U（ ）AB=A'B'AB>A'B'AB的度数=A'B'的度数AB的长度=A'B'的长度例2】如图，点A、D、G、M在半圆例2】AB0C、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH二cA.a>NH二cA.a>b>cB.a=b=cC.c>a>bD.b>c>a【巩固】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为6cm2,贝V该半圆的半径为 【例3】如图①，O，O，O，O为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画1234出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，o，o，o，o，O为五个等圆的圆心，A，B，C，D， 1 2 3 4 5E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 .

的性质定理的性质定理1.圆周角定理【例4】如图，ZAOB二80。，则弧AB所对圆周角ZACB的度数是(A.40。 B.45。C50。 D.80。【巩固】如图，0O是AABC的外接圆，已知ZABO二50。，则ZACB的大小为【例5】如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，0O的半径为1，P是0O上的点，且位于右上方的小正方形内，则ZAPB等于 •BB【例6】如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的度数分别是70。、40。，则Z1的度数为OO【巩固】如图，量角器外缘边上有A,P,Q三点，它们所表示的读数分别是180。,70。,30。,则ZPAQ的大小为（ ）A.10。 B.20。 C.30。 D.40。【例7】如图，0O是AABC的外接圆，已知ZB二60。，则ZCAO的度数是（A.15。 B.30。 C.45。 D.60。BB【巩固】如图，AB是OO的直径，CD是00的弦，连接AC，AD，若ZCAB二35。，则ZADC的度数为 .BB【例8】如图所示的半圆中，AD是直径，且AD=3,AC=2，则sinB的值是 【巩固】如图，AB是。。的直径，CD丄AB，设上COD“，则第•s唏= BB【例9】如图，AB为0O的直径，CD是0O的弦，AB、CD的延长线交于点E，若AB=2DE,ZE=18。，求ZAOC的度数.EE【巩固】如图所示CD是0O的直径，ZEOD二87。，AE交0O于B，且AB二OC，求ZA的度数.【例10】如图，在0O中，ZAOB的度数为m，C是ACB上一点，D、E是AB上不同的两点（不与A、B两点重合），则ZD+ZE的度数为

【巩固】如图，AB是0O的直径，弦PC交OA于点D，弦PE交OB于点F，且OC=DC,OF=EF•若ZC=ZE，则ZCPE= DD【例11】如图所示，在AABC中，ZC二45。，AB=4，则0O的半径为（ ）A.2\2 B.4 C.2'3 D.5C【巩固】如图，AABC的三个顶点都在0C【巩固】如图，AABC的三个顶点都在0O上，ZC=30。,AB=2cm，则0O的半径为cm【巩固】如图AB是半圆O的直径，点C、D在弧AB上，且AD平分ZCAB，已知AB=10,AC=6，求AD的长．

【例12】如图，AABC是OO的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A,B重合）,设ZOAB=a，ZC=P•（1） 当35。时，求p的度数；（2） 猜想«与p之间的关系，并给予证明.【巩固】如图，00与0P相交于B、C两点，BC是0P的直径，且把00分成度数比为1：2的两条弧，A是BmC上的动点（不是B、C重合），连结AB、AC分别交0P于D、E两点．八、、•（1） 当AABC是钝角三角形时，判断APDE的形状.（2） 当AABC是直角三角形时，判断APDE的形状.（3） 当AABC是锐角三角形时，判断APDE的形状.这种情况加以证明.

【例13】圆S及S相交于点A及B•圆S的圆心O落在S的圆周上，圆S的弦AC交S于点D121212（如图），证明：线段OD与BC是互相垂直的.【巩固】两圆相交于A、B，P是大圆O上一点，过A、P和B、P分别作直线交小圆于C、D，过O、P作直径PE.求证：PECD

【例14】如图，已知AB是0O的直径，点C是0O上一点，连结BC.AC，过点C作直线CD丄AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交0O于点F，连结BF，与直线CD交于点G•求证：BC2=BG-BF•BB【巩固】如图，已知：在0O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD丄AB，点F是BC上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD•求证：A求证：AACHsAAFC；猜想：AH-AF猜想：AH-AF与AE-AB的数量关系，并说明你的猜想;探究：当点E位于何处时，S:S=1:4?并加以说明.AAECABOD

【例15】如图，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB二AC二AE•请你说明以下各式成立的理由：（1）ZCAD二2上DBE；（2）AD2-AB2=BD-DC•【巩固】在AABC中，ZABC二60。，点O、H分别是AABC的外心、垂心.点D、E分别在边BC、AB上，使得BD=BH，BE二BO，已知BO二1.求ABDE的面积.F图122.圆内接四边形【例16】如图，AB为OO的直径，AC交OO于E点，BC交OO于D点，CD=BD，ZC=70。-现给出以下四个结论：①ZA=45°； ②AC=AB； ③AE=BE; ④CE-AB=2BD2.其中正确结论的序号是A.①② B.②③C.②④ D.③④BB【巩固】已知：如图，面积为2的四边形ABCD内接于0O,对角线AC经过圆心，若ZBAD=45°，CD八2则AB的长等于CC【例17】已知AD是0O的直经，AB.AC是弦，若AD=2,AB二耳,AC=、込，求由A,B,C,D四点构成的四边形的周长.图1

图1【巩固】如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点P，AB=BD，且PC二0.6，求四边形ABCD的周长.【例18】如图，四边形ABCD为正方形，OO过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB,AD于点F,E•求证：DE=AF若0O的半径为叵，AB八2+1，求AE的值.2 ED【例19】圆内接四边形ABCD，AC丄BD，AC交BD于E，EG丄CD于G，交AB于F.求证:AF=BF.BB【巩固】圆内接矩形CEDF，过D作圆的切线AB，分别与CE、CF的延长线相交于A、B，求证：竺=竺.AEAC33.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例20】在同圆中，CD的度数小于180。，且AB=2CD，那么弦AB和弦CD的大小关系为（ ）A.AB>CD B.AB=CD C.AB<CD D•无法确定【巩固】如图所示在0O中，AB二2CD，那么（ ）AB>2CD B.AB<2CDC.AB=2CD D.AB与2CD的大小关系不能确定【例21】已知AB、AC是0O的弦，AD平分ZBAC交0O于D，弦DE〃AB交AC于P，求证：OP平分ZAPD.

【巩固】如图，过0O的直径AB上两点M,N，分别作弦CD,EF，若CD//EF,AC=BF•求证：⑴BEC=ADF；（2）AM二BN•【例22】已知点A、B、C、D顺次在0O上，AB=BD，BM丄AC于点M，求证：AM=DC+CM•NCNC【巩固】在AABC中，AC>BC，M是它的外接圆上包含点C的弧AB的中点，AC上的点X使得MX丄AC，求证：AX=XC+CB•BB【例23】如图，AABC是0O的内接三角形，AC=BC，D为0O中AB上一点，延长DA至点E，使CE、CD是关于x的方程1x2-（2m-3）x+4m2—12m+9=0的两根.4⑴求证：AE=BD;⑵若AC丄BC，求证：AD+BD二込CD•【巩固】如图，四边形ABCD内接于圆，AB=AD，且其对角线交于点E，点F在线段AC上,使得ZBFC5D•若ZBAD二—FC，求%的值.【例24】已知：如图，D是RtAABC中直角边BC上的一点，以BD为直径的圆交斜边AB于点E，连结EC交此圆于点F，BF交AC于点G•求证：GF-CA二CF-EA•【巩固】AB是半圆的直径，C点在圆上，过点A、B分别作过C点的切线的垂线AD、BE，D、E为垂足，求证：DE2=4AD-DE•DD三、垂径定理【例三、垂径定理【例25】如果两条弦相等，那么（这两条弦所对的弧相等C.这两条弦的弦心距相等）这两条弦所对的圆心角相等D.以上答案都不对巩固】下列判断中正确的是（）平分弦的直线垂直于弦平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【例26】如图，OO的直径CD过弦EF的中点G，ZEOD=40。，则ZDCF等于（ ）

A.80。50。A.80。50。40。20。【巩固】如图，AABC内接于OO，点D是CA延长线上一点，若ZBOC二120。，则ZBAD等于()A.30。 B.60。 C.75。D.90。【例27】如图，AB是OO的直径，弦CD丄AB于E，ZCDB=30°,OO的半径为、3cm，则弦CD的长为( )A.3cm B.3cm2C.2\：3cm D.9cmrr【巩固】如图，0O是AABC的外接圆，OD丄AB于点D，交0O于点E，ZC二60。，如果0O的半径为2，则结论错误的是（）D.AB=伍A.AD=DB B.AE=EBC・ODD.AB=伍rr【例28】如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm,弦AB与小圆相切于点C,则AB的长为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cmTOC\o"1-5"\h\z【巩固】如图，①P内含于©O，OO的弦AB切©P于点C，且AB//OP.若阴影部分的面积为9兀，则弦AB的长为（ ）A.3 B.46 D.9OPCOPC【例29】如图所示，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C,D两点，试证明：AC二BD.【巩固】如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，AB=4,CD=2，AB的弦心距等于1，那么，大圆半径与小圆半径之比是 BB例30】在半径为4cm的圆中，垂直平分半径的弦长是 【巩固】OO中，弦AB的长为6cm,圆心O到AB的距离为4cm，贝忆O的半径长为（ ）A.3cmB.4cmC.5cm D.6cm【巩固】若0O中等于120。的劣弧所对的弦长为12肓，则0O的半径是

【例31】如图，已知0O的半径是5，点A到圆心O的距离为3，求过点A的所有弦中最短弦的长度．【巩固】如图，©0的弦AB=6,M是AB上任意一点，且0M最小值为4,则©0的半径为（ ）A．5 B．4 C．3 D．2【例32】如图，OO是等边三角形ABC的外接圆，0O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（）A.刀B.启C.2朽D.2、呂【巩固】如图所示，AABC中，AB二AC二10，BC二12，求其外接圆的半径.例33】如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）A.5米B.8米C.7米D.5、込米巩固】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB二16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.【例34】如图所示，在RtAABC中ZC=90。，AC八2，BC=1，若以C为圆心、CB的长为半径

【巩固】如图所示，在0O与三角形所组成的图形中,【巩固】如图所示，在0O与三角形所组成的图形中,OA=OB，【例35】在半径为1的0O中，弦AB、AC的长分别为73和J2，则ZBAC的度数为 【巩固】如图所示，已知0O的直径AB和弦CD相交于点E，AE二6cm，EB二2cm，上BED二30。，求CD的长.【例36】已知0O的直径是50cm，0O的两条平行弦AB=40cm，CD=48cm，求弦AB与CD间的距离.【巩固】已知在0O中，半径r二5，AB、CD是两条平行弦，且AB=8,CD=6，求AC的长.图(1) 图(2)图图(1) 图(2)图(3)图(4)【例37】【例37】如图，AB是0O的弦，OD丄AB，垂足为C，（1）若ZAOD二52。，求ZDEB的度数；交0O于点D，点E在0O上.（2）若OC二3，OA二5，求AB的长.【巩固】如图所示，已知AB为0O的直径，CD是弦，且AB丄CD于点E.连接AC,OC,BC•（1）求证：ZACO二ZBCD.（2）若EB=8cm,CD=24cm，求0O的直径.【例38】如图，M、N分别是0O中长度相等但不平行的两条弦AB、CD的中点•求证:ZAMN二ZCNM•4 r【巩固】如图，0O中，AB是直径，弦GE丄EF,HF丄EF，GE、HF交AB于C、D•求证：AC二BD•【巩固】当AB,CD是OO的直径，弦CF〃AP，BF，B【例40】如图，AB是0O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时,

始终与AB相交，记点A,B到MN的距离分别为h,h，则|h-h|等于（ ）A．5B．612C・71D．28【巩固】如图，OO的直径AB=15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在AmB上滑动（点C与A，点D与点B不重合），且CE丄CD交AB于E，DF丄CD交AB于F•（1） 求证：AE=BF•（2） 在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由．BB【例41】如图，半径为2<5的0O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.（1） 求证：PA-PB二PC-PD;（2） 设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF丄AD;（3） 若AB=8,CD=6，求OP的长.【巩固】如图，已知：在OO中，直径AB=4，点E是OA上的任意一点，过E作弦CD丄AB，点F是BC上一点，连接AF交CE于H连接AC,CF,BD,OD•

求证：\ACHs\afc;猜想：AH-AF与AE-AB的数量关系，并说明你的猜想；探究：当点E位于何处时，S :S =1:4?并加以说明.△AEC△BOD【例42】(1)如图1，圆心接AABC中，AB二BC二CA，OD、OE为GO的半径，OD丄BC于点F，OE丄AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是AABC的面积的1.3(2)如图2，若ZDOE保持120°角度不变，求证：当ZDOE绕着O点旋转时，由两条半径和AABC的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是△ABC的面积的1.3【例43】如图，AM是GO的直径，过GO上一点B作BN丄AM，垂足为N，其延长线交GO于点C，弦CD交AM于点E•⑴如果CD丄AB，求证：EN二NM;(2)如果弦CD交AB于点F，且CD二AB，求证：CE2=EF-ED•【例44】如图，RtAABC内接于0O，AC二BC，ZBAC的平分线AD与0O交于点D，与BC交于点E，延长BD与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G•⑴判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；⑵求证：ae=BF;⑶若OG-DE=3^2-扭)，求0O的面积.B

B1.如图，AB是0O的直径，点C、D在0O上，ZBOC二110。，AD〃OC，则ZAOD二 2. 如图，已知上ACB是OO的圆周角，ZACB=50。，则圆心角ZAOB是（ ）A．40。 B．50。 C．80。 D．100。3.如图，四边形ABCD是（30的内接正方形，点P是劣弧CD上不同于点C的任意一点,则ZBPC的度数是（）A.45。 A.45。 B.60。C.75。 D.90。如图，CD为30的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若ZD的度数是50。，则ZC的度数是（）A．25。 B．40。 C．30。 D．50。5.如图，6.如图，已知AB为©5.如图，6.如图，已知AB为©0的直径，ZE二20。，ZDBC二50。，则ZCBE二AB是OO的直径，点C，D，E都在OO上，若ZC二ZD二ZE，求ZA+ZB•7.如图，AB是OO的直径，点C,D,E都在OO上，若ZC二ZD二ZE，求ZA+ZB•7.如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65。.为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．如图，AABC内接于0O，AB=BC,ZABC=120。，AD为0O的直径，AD二6，那么BD= •已知0O的弦AB长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角.

已知，如图：AB为0O的直径，AB二AC，BC交0O于点D，AC交0O于点E，ABAC=45。•给出以下五个结论：①ZEBC=22.5。，；②BD=DC:③AE=2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE二BC.其中正确结论的序号是 •如图，半圆的直径AB二10，点C在半圆上，BC二6.（1）求弦AC的长；（2）若p为AB的中点，PE丄AB交AC于点E，求PE的长.如图，0O外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且AP=1，PB=2込，求PC的长.

如图，AB,CD是0O的两条弦，它们相交于点P，连结AD、BD，已知AD=BD=4,PC二6，求CD的长.已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连结AD、AE、DE，且ZAED=90。•⑴如图⑴，如果AB=6,BC=16，且BE:CE二1:3，求AD的长；(2)如图⑵，若点e恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明.再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB丰CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明.图(1) 图(2)如图，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则AmB等于

A.60B.90C.120°D.150°A.60B.90C.120°D.150°如图所示，AB是OO的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与ZBCE相等的角有（ ）A.2个B.3个C.4个 D.5个0O的半径为1,AB是0O的一条弦，且AB=\-3，则弦AB所对圆周角的度数为若00中等于120。的劣弧所对的弦长为12巧，则00的半径是 如图，AB是00的弦，OD丄AB于D交00于E，则下列说法错误的是（ ）

0O的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，贝V过P点的弦长的最小值是 .如图，矩形ABCD与圆心在AB上的0O