圆的专题讲义

与圆有关的证明及计算1.已知，如图，直线MN交©0于A,B两点，AC是直径，AD平分ZCAM交©0于D，过D作DE丄MN于E.（1） 求证：DE是©0的切线；（2） 若DE=6cm，AE=3cm，求©0的半径.2.如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的©0分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且ZCBF=*ZCAB.（1） 求证：直线BF是©0的切线；（2） 若AB=5，sinZCBF^I-，求BC和BF的长.3.如图，四边形ABCD内接于©0,BD是©0的直径，AE丄CD，垂足为E，DA平分ZBDE.（1） 求证：AE是©0的切线；（2） 若ZDBC=30°，DE=1cm，求BD的长.4.如图，已知AABC内接于OO,AC是©0的直径，D是AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F.（1） 求证：EF是O0的切线；（2） 若EF=8，EC=6，求O0的半径.5.如图，AB是O0的直径，弦CD丄AB与点E,点P在O0上,Z1=ZC，（1） 求证：CB〃PD；（2） 若BC=3，sinZP=¥，求O0的直径.如图，直线EF交O0于A、B两点，AC是O0直径，DE是O0的切线，且DE丄EF，垂足为E.（1） 求证：AD平分ZCAE；（2） 若DE=4cm，AE=2cm，求O0的半径.

如图，Rt^ABC中，ZABC=90°，以AB为直径作半圆©0交AC与点D,点E为BC的中点，连接DE．（1） 求证：DE是半圆©0的切线.（2） 若ZBAC=30°,DE=2,求AD的长.8如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°，以AC为直径作©0交AB于点D点，连接CD.（1） 求证：ZA=ZBCD；（2） 若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与©0相切？并说明理由.9.如图，已知AB是©0的直径，点P在BA的延长线上，PD切©0于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E.1）求证：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=*，求©0半径的长.

10.如图AB是©0的直径，PA,PC与©0分别相切于点A,C,PC交AB的延长线于点D,DE丄P0交P0的延长线于点E.（1） 求证：ZEPD=ZED0；（2） 若PC=6,tanZPDA=#，求0E的长.圆的动态探究题11.如图，①0半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF,点P,Q同时分别从A,当t= s时，四边形PBQE为菱形;当t= s时，四边形PBQE为矩形.如图，AB为©0的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交©0于点M和点N，已知©0的半径为I,设运动时间为t秒.（1） 若AC=5，则当t= 时，四边形AMQN为菱形；当t= 时，NQ与©0相切；（2） 当AC的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此 f/如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,以边上AC上一点0为圆心,0A为半径作00,00恰好经过边BC的中点D,并与边AC相交于另一点F.（1） 求证：BD是00的切线；（2） 若BC=2•方,E是半圆也GF■上一动点，连接AE、AD、DE.填空：当AE的长度是 时，四边形ABDE是菱形；当AE的长度是 时，AADE是直角三角形.14.如图，点A,B,C分别是00上的点，且ZB=60°,CD是O0的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC.（1） 求证：AP是00的切线；（2） 若AC=3,填空：①当BC的长为 时，以A,C,B,D为顶点的四边形为矩形;②当BC的长为 时，AABC的面积最大，最大面积为 CFDCBB0<3<31CFDCBB0<3<31)15.四边形ABCD的对角线交于点E,且AE=EC,BE=ED，以AB为直径的半圆过点E,圆心为0.（1） 利用图1,求证：四边形ABCD是菱形.（2） 如图2,若CD的延长线与半圆相切于点F，且直径AB=8.①厶ABD的面积为 .②BE的长 AB=6,ZABC=30°,过点C作圆16.在圆0中,AC是圆的弦,AB是圆的直径,的切线交BAAB=6,ZABC=30°,过点C作圆（1）求证：△PACs^PCB；（2）点Q在半圆ADB上运动，填空：当AQ= 时，四边形AQBC的面积最大;当AQ= 时，AABC与厶ABQ全等.

17.如图，AB是©0的直径，点P是弦AC上一动点（不与A,CX,重合），过点P作PE丄AB,垂足为E,射线EP交盘于点F,交过点C的切线于点D．（1） 求证：DC=DP；（2） 若直径AB=12cm,ZCAB=30°,当E是半径0A中点时，切线长DC= cm：当AE= cm时，以A,0,C,F为顶点的四边形是菱形.18.如图，①0的直径AB=4,点C为©0上的一个动点，连接0C,过点A作©0的切线，与BC的延长线交于点D,点E为AD的中点，连接CE.（1） 求证：CE是©0的切线；（2） 填空：①当CE= 时，四边形A0CE为正方形；②当CE= 时，ACDE为等边三角形.

19.如图，A19.如图，AABC是半径为2的©0的内接三角形，连接0A、点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．（1） 试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2） 填空：若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是 ；若AB=2，当ZCAB的度数为 时，四边形DEFG是正方形.20.如图，在△ABC中，AB=AC，点0为边AB的中点，OD丄BC于点D，AM丄BC于点M,以点0为圆心，线段OD为半径的圆与AM相切于点N.（1） 求证：AN=BD；（2） 填空：点P是©0上的一个动点，若AB=4，连结0C，则PC的最大值是 ;当ZB0P= 时，以0，D，B，P为顶点四边形是平行四边形.OBCDOBCD第10页（共39页）1.已知，如图，直线MN交©0于A,B两点，AC是直径，AD平分ZCAM交©0于D，过D作DE丄MN于E.（1） 求证：DE是©0的切线；（2） 若DE=6cm，AE=3cm，求©0的半径.V0A=0D，.\Z0AD=Z0DA.VZ0AD=ZDAE，.\Z0DA=ZDAE.・・・D0〃MN.VDE丄MN，.\Z0DE=ZDEM=90°.即0D丄DE.VD在©0上,0D为©0的半径，ADE是©0的切线.(2)解：VZAED=90°，DE=6，AE=3,•:扛二；DE?+AE2二：62+32=3/5-连接CD.VAC是©0的直径，.\ZADC=ZAED=90°.VZCAD=ZDAE，.••△acds^ade.

••'—.AE"AD••丁応则AC=15（cm）．AOO的半径是7.5cm.2.如图，在△ABC,AB=AC，以AB为直径的©0分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上，且ZCBF专ZCAB.（1）求证：直线BF是©0的切线；求BC和BF求BC和BF的长.解答】（1）证明：连接AE，TAB是©0的直径,・・.ZAEB=90°,・・・Z1+Z2=9O°.TAB=AC，・・.Z1专ZCAB.TZCBF专ZCAB,.\Z1=ZCBF

・・.ZCBF+Z2=90°即ZABF=90°TAB是©0的直径，・•・直线BF是©0的切线.(2)解：过点C作CG丄AB于G.Z1=ZCBF,TZ1=ZCBF,・・sinZ1=¥_,T在Rt^AEB中，ZAEB=90°,AB=5,・・BE二ABsinZ1=T5,VAB=AC,ZAEB=90°,・•・BC=2BE=2.：g,在Rt^ABE中，由勾股定理得AE=；•乔百尹=2込,・・・sinZ2= = = ,cosZ2= = =L,AB5BC AB5BC在Rt^CBG中，可求得GC=4,GB=2,・AG=3,.•.△agcs^abf.・GCAGBFAB・GCAGBFAB3.如图，四边形ABCD内接于©0,BD是©0的直径，AE丄CD,垂足为E,DA平分ZBDE.

（1） 求证：AE是©0的切线;求BD的长.（2） 若ZDBC=30°,DE=1cm求BD的长.【解答】(1)证明：连接0A•/DA平分ZBDE,・・・ZBDA=ZEDA.•・PA=0D,・•・Z0DA=Z0AD,.\Z0AD=ZEDA,・•・0A〃CE.TAE丄CE,・・.AE丄0A.・・・AE是©0的切线.(2)解：TBD是直径，.\ZBCD=ZBAD=90°.VZDBC=30°,ZBDC=60°,・・・ZBDE=120°.•/DA平分ZBDE,.\ZBDA=ZEDA=60°..\ZABD=ZEAD=30°.ZEAD=30°,ZABD=30°,T•在Rt^AEDZEAD=30°,ZABD=30°,AD=2DE.T•在Rt^ABD中，ZBAD=90°,BD=2AD=4DE.TDE的长是1cm,・・・BD的长是4cm.4.如图，已知AABC内接于OO,AC是©0的直径，D是AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F.（1） 求证：EF是O0的切线；（2） 若EF=8,EC=6，求O0的半径.【解答】（1）证明：连接0D交于AB于点G.VD是AB的中点，0D为半径，AG=BG.VA0=0C,・・・0G是厶ABC的中位线.・•・OG〃BC,即OD〃CE.又TCE丄EF,・・.0D丄EF,・・・EF是O0的切线.（2）解：在RtACEF中，CE=6,EF=8,CF=10.设半径OC=OD=r,贝U0F=10-r,•・PD〃CE,.•.△FODs^fCE,FC~CE10-r=r106即：©0的半径为普.E5.如图，AB是©0的直径，弦CD丄AB与点E,点P在©0上，Z1=ZC,（1） 求证：CB〃PD；（2） 若BC=3,sinZP=3，求©0的直径.【解答】(1)证明：・・・zc=zp又VZ1=ZC.\Z1=ZP・・.CB〃PD；(2)解：连接ACTAB为©0的直径，・・.ZACB=90°又TCD丄AB,・•・EC=ED,・・.ZP=ZCAB,又VsinZP=¥,・・sinZCAB=£,即匹=L,AB5又知，BC=3,・AB=5，・直径为5．如图，直线EF交©0于A、B两点，AC是©0直径，DE是©0的切线，且DE丄EF，垂足为E.（1） 求证：AD平分ZCAE；（2） 若DE=4cm，AE=2cm，求©0的半径.【解答】（1）证明：连接0DV0D=0A，・•・Z0DA=Z0AD，•「DE是©0的切线，・・.ZODE=90°，0D丄DE，又TDE丄EF，・・・0D〃EF，.\Z0DA=ZDAE，・•・ZDAE=ZOAD,・・・AD平分ZCAE；（2）解：连接CD,VAC是©0直径，・・.ZADC=90°,在Rt^ADE中，DE=4cm,AE=2cm,・•・根据勾股定理得：AD=2•.污cm,由（1）知：ZDAE=ZOAD,ZAED=ZADC=90°,.•.△adcs^aed,・血二虬，即2后二也C,•.忑詡' 2二師'・AC=10,AO0的半径是5.如图，Rt^ABC中，ZABC=90°，以AB为直径作半圆©0交AC与点D,点E为BC的中点,连接DE.（1） 求证：DE是半圆©0的切线.（2） 若ZBAC=30°,DE=2，求AD的长.解答】（1）证明：连接0D,0E,BD,VAB为圆0的直径,.\ZADB=ZBDC=90°,在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，・・.DE=BE,在厶OBE和△ODE中，'OE二OD乂0E=0E，艇二DE.•.△OBE竺AODE(SSS),.\ZODE=ZABC=90°,则DE为圆0的切线；(2)在Rt^ABC中,ZBAC=30°,.・.BC专AC,•/BC=2DE=4,・AC=8,又VZC=60°,DE=CE,•••△DEC为等边三角形，即DC=DE=2,贝UAD=AC-DC=6.&如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°，以AC为直径作©0交AB于点D点，连接CD.（1） 求证：ZA=ZBCD；（2） 若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与©0相切？并说明理由.•「AC•「AC为直径,・・.ZADC=90°,・・.ZA+ZDCA=90°,VZACB=90°,・・.ZDCB+ZACD=90°,・•・ZDCB=ZA；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与©0相切;解：连接DO,「D0=C0,.\Z1=Z2,「DM=CM,.\Z4=Z3,VZ2+Z4=90°,AZ1+Z3=90°,・•・直线DM与©0相切，故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与©0相切.

9.如图，已知AB是©0的直径，点P在BA的延长线上，PD切©0于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长，交BE于点E.（1）求证：AB=BE；VPD切©0于点D,・・.0D丄PD,TBE丄PC,・・・0D〃BE,・•・ZAD0=ZE,V0A=0D,・•・Z0AD=ZAD0,・•・Z0AD=ZE,・AB=BE；（2）解：由（1）知，0D〃BE,・•・ZPOD=ZB,cosZPOD=cosB=*,在Rt^POD中，cosZPOD二=,OP5VOD=OA,PO=PA+OA=2+OA,・•• 二—?2+OA5・OA=3，AOO半径=3.10.如图AB是©0的直径，PA,PC与©0分别相切于点A,C,PC交AB的延长线于点D,DE丄线于点D,DE丄PO交PO的延长线于点E.求证：ZEPD=ZEDO；1）.\ZAPO=ZEPD且PA丄A0,C,・ZPAO=90°,VZAOP=ZEOD,ZPAO=ZE=9O°,・ZAPO=ZEDO,・ZEPD=ZEDO；2）解：连接OC，PA=PC=6，:tanZPDA冷,••在Rt^PAD中，AD=8,PD=10,•・CD=4,:tanZPDA冷,••在Rt^OCD中，0C=0A=3,OD=5,・°ZEPD=ZODE,•.△DEPs^OED,・DP_PE_ED_2DODEOEDE_2OE在Rt^OED中，OE2+DE2—OD2,即5OE2—52,•OE-.污.11.如图，①0半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF,点P,Q同时分别从A,D两点出发，以1cm/s速度沿AF,DC向中点F,G运动•连接PB,QE,设运动时间为t（s）.（1） 求证：四边形PEQB为平行四边形；（2） 填空：当t-2s时，四边形PBQE为菱形；当t-0或4s时，四边形PBQE为矩形.【解答】(1)证明：：•正六边形ABCDEF内接于O0,・・.AB=BC=CD=DE=EF=FA,ZA=ZABC=ZC=ZD=ZDEFZF,T点P,Q同时分别从A,D两点出发，以1cm/s速度，运动时间为t(s),・・・AP=DQ=t，贝UPF=QC=4-t,在厶ABP和厶DEQ中'AB二DE乂ZA=ZD(AP=DQ.•.△ABP竺ADEQ(SAS)BP=EQ，同理可证，PE=QB,・四边形PEQB是平行四边形．(2)解：①当四边形PBQE为菱形时，PB=PE=EQ=QB,.△ABP竺ADEQ竺APFE竺△QCB,AP=PF=DQ=QC，即t=4-t,得t=2,故答案为：2；②当t=0时，ZEPF=ZPEF=30°,・・.ZBPE=120°-30°=90°,・•・此时四边形PBQE为矩形；当t=4时，ZABP=ZAPB=30°,・・.ZBPE=120°-30°=90°,・•・此时四边形PBQE为矩形.故答案为：0或4．如图，AB为©0的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿

AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交©0于点M和点N,已知©0的半径为I,设运动时间为t秒.（1）若AC=5，则当t= 时，四边形AMQN为菱形；当t= 时，NQ~3_— —2—与©0相切；（2） 当AC的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此时t由，并求出此时t的值.【解答】解：(1)AP=t,CQ=t,则PQ=5-2t,TNM丄AB,・・.PM=PN,・••当PA=PQ时，四边形AMQN为菱形，即t=5-2t,解得t=|-；当ZONQ=90°时，NQ与©0相切，如图，0P=t-1，0Q=AC-0A-QC=5-1-t=4-t，VZN0P=ZQ0N,・•・RtA0NP^RtA0QN,但盘，即OQON但盘，即OQON整理得t2-5t+5=0，解得t广苓亘，t2==F（lWtW2.5,故舍去）,即当上=苓£时，NQ与©0相切;故答案为邑 呂；3 2

（2）当AC的长为3时，存在t=1,使四边形AMQN为正方形.理由如下:•・•四边形AMQN为正方形.・・.ZMAN=90°,・・・MN为©0的直径，而ZMQN=90°,・••点Q在©0上,AQ为直径，・点P在圆心，MN=AQ=2，AP=1，t=AP=1，CQ=t=1，AC=AQ+CQ=2+1=3．如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,以边上AC上一点0为圆心,0A为半径作©0,©0恰好经过边BC的中点D,并与边AC相交于另一点F.（1）求证：BD是©0的切线；（2）若BC=2七,E是半圆出GF上一动点，连接AE、AD、DE.填空：①当AE的长度是|~n时，四边形ABDE是菱形;时，A时，AADE是直角三角形.【解答】（1）证明：连接0D,如图,VZBAC=90°,点D为BC的中点,・DB=DA=DC，VZB=60°，

•••△ABD为等边三角形，・・.ZDAB=ZADB=60°,ZDAC=ZC=30°,而OA=OD，・・.ZODA=ZOAD=30°,・・.ZODB=60°+30°=90°,OD丄BC,BD是©O的切线；(2)解：①•「△ABD为等边三角形，・・.AB=BD=AD=CD=方，在Rt^ODC中,OD=#CD=1,当DE〃AB时，DE丄AC,・AD=AE,VZADE=ZBAD=60°,••△ade为等边三角形，・・.AD=AE=DE,ZADE=60°,・・.ZAOE=2ZADE=120°,・AB=BD=DE=AE,・四边形ABDE为菱形TOC\o"1-5"\h\z此时AE的长度= =2n；180 3②当ZADE=90°时，AE为直径，点E与点F重合，此时AE的长度= =n；180当ZDAE=90°时，DE为直径，ZAOE=2ZADE=60°,此时AE的长度= =丄兀,180 3n.所以当AE的长度为寺n或n时，^ADE是直角三角形.故答案为Zn；丄nn.3 3

14.如图，点A,B,C分别是©0上的点，且ZB=60°,CD是©0的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是©0的切线；（2）若AC=3，填空：①当BC的长为丰兀时，以A，C，B，D为顶点的四边形为矩形;时，AABC的面积最大，最大面积为时，AABC的面积最大，最大面积为解答】（1）证明：连接0A．VZB=60°，.\ZAOC=2ZB=120°，又V0A=0C，・・.ZACP=ZCAO=30°,・・.ZAOP=60°，vap=ac，.\ZP=ZACP=30°，・・.ZOAP=90°，・•・0A丄AP，・・・AP是©0的切线,

(2)①连接AD,TZADC=ZB=60°,CD是直径,・・・ZDAC=90°,TAC=3,・°・AD=3，CD=2.：3，0C=..3，当AB是直径时，四边形ADBC是矩形，此时EC= =n.180 3②VZB=60°,・••当BA=BC时，AABC的面积最大，此时AABC是等边三角形,・命_120兀•翻=丽n,S合bc=^X32=15.四边形ABCD的对角线交于点E,且AE=EC,BE=ED，以AB为直径的半圆过点E,圆心为0.（1） 利用图1,求证：四边形ABCD是菱形.（2） 如图2,若CD的延长线与半圆相切于点F,且直径AB=8.厶ABD的面积为16 .BE的长Zn.一3—CFDCAB0B0CFDCAB0B0【解答】解：（1）VAE=EC,BE=ED,・•・四边形ABCD是平行四边形.TAB为直径，且过点E,

・・.ZAEB=90°,即AC丄BD.•・•四边形ABCD是平行四边形,・•・四边形ABCD是菱形.(2)①连结OF(2)①连结OF.A 0EEVCD的延长线与半圆相切于点VCD的延长线与半圆相切于点F,・・・0F丄CF.VFC〃AB,・・・0F即为△ABD中AB边上的高..•・S^bd专ABXOF专X8X4=16,V点0是AB中点，点E是BD的中点,…S…S^obe^[S^abd=4.②过点D作DH丄AB于点H.VAB〃CD,OF丄CF,・•・F0丄AB,.\ZF=ZFOB=ZDHO=90°.・•・四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4.V在Rt^DAH中，sinZDAB==,AD2・・・ZDAH=30°.V点0,E分别为AB,BD中点，・・.OE〃AD,.\ZEOB=ZDAH=30°,・•・BE的长度= =—n.180 3故答案为：16,£n.16.在圆0中，AC是圆的弦，AB是圆的直径，AB=6,ZABC=30°,过点C作圆的切线交BA的延长线于点P,连接BC.（1）求证：△PACs^PCB；（2）点Q在半圆ADB上运动，填空：①当AQ=3卫时,四边形AQBC的面积最大；②当AQ=3或3方时，AABC与厶ABQ全等.【解答】（1）证明：如图1所示，连接0C.PC是圆0的切线，0C是半径，・・・0C丄PC，・・.ZPCO=90°・・.ZPCA+ZACO=90°，VAB是直径，・・.ZACB=90°，.\ZB+ZCAB=90°，0C=0A，.\Z0AC=Z0CA，.\ZB+Z0CA=90°，.\ZPCA=ZB，又VZP=ZP，.•.△PACs^PCB；（2）解：①当点Q运动到0Q丄AB时，四边形AQBC的面积最大;如图2所示：连接AQ、BQ，V0A=0B，0Q丄AB，・0Q=BQ，AB是直径，・・・ZAQB=90°,•••△ABQ是等腰直角三角形，・・.AQ=¥aB=3•.迈,故答案为：3•:2;②如图3所示：•・・ZACB=90°,ZABC=30°,・・.AC=*AB=3,BC=i£aC=3iE,分两种情况：a.当AQ=AC=3时，在Rt^ABC和Rt^ABQ中，粗处(AC=AQ.•△abc^^abq(hl)；b.当AQ=BC=3i弓时，同理△ABC^^BAQ；综上所述：当AQ=3或3•沱时，AABC与厶ABQ全等.如图，AB是©0的直径，点P是弦AC上一动点（不与A,C重合），过点P作PE丄AB,垂足为E,射线EP交AC于点F,交过点C的切线于点D.（1） 求证：DC=DP；（2） 若直径AB=12cm,ZCAB=30°,当E是半径OA中点时，切线长DC=4三cm：当AE=3cm时，以A,O,C,F为顶点的四边形是菱形.【解答】解：(1)连接OC．TCD是©0的切线，・・・ZOCD=90°,0A=0C,.\Z0AC=Z0CA,PE丄AB,・・.ZPEA=90°,・・.ZOAC+ZAPE=90°,ZOCA+ZPCD=90°,.\ZAPE=ZPCD,VZAPE=ZCPD,・•・ZPCD=ZCPD,・DC=DP．(2)①连接BC,AB是直径,・・.ZACB=90°VZA=30°,AB=12,VAC二ABcos30°=6Tp,在Rt^APE中，TAE=*0A=3,・・・AP=AEFcos30°=2..亏,・•・PC=AC-AP=4丙,VZAPE=ZDPC=60°,DP=DC,•••△DPC是等边三角形，・・・DC=4..亏,故答案为4丙•②当AE=E0时，四边形A0CF是菱形理由：连接AF、0F．VAE=EO,FE丄0A,FA=F0=0A,•••△AFO是等边三角形，.•ZFAO=60°,VZCAB=30°,ZFAC=30°,ZFOC=2ZFAC=60°,△FOC是等边三角形，CF=CO=OA=AF，・四边形AOCF是菱形，AE=3cm时，四边形AECF是菱形.如图，①O的直径AB=4,点C为©O上的一个动点，连接OC,过点A作©O的切线，与BC的延长线交于点D,点E为AD的中点，连接CE.（1）求证：CE是©0的切线；(2)填空：①当CE=2时，四边形AOCE为正方形;【解答】(1)证明：连接AC、OE，如图(1),VAB为直径，・・.ZACB=90°,•••△ACD为直角三角形，又TE为AD的中点，EA=EC，在厶OCE和△OAE中，'0C=0A”0E=0E，lEC=EA.•△OCE^^OAE(sss)，.•ZOCE=ZOAE=90°，CE丄OC，CE是©O的切线；(2)解：①C在线段BD的中点时，四边形AOCE为正方形.理由如下:当C为边BD的中点，而E为AD的中点，•ce为Abad的中位线，・・.CE〃AB，CE专AB=OA，・•・四边形OAEC为平行四边形，VZOAE=90°，・•・平行四边形OCEA是矩形，又VOA=OC，・•・矩形OCEA是正方形，

・・.CE=0A=2,故答案为：2②连接AC,如图（2）,•「△CDE为等边三角形,・・.ZD=60°,ZABD=30°,CE=CD,在Rt^ABC中，AC=^AB=2,在