《论文-B组题数学建模影院座位设计问 题(定稿)》

B电影院座位设计问题物流072黄永钊物流072侯宝玲影院座位设计问题（摘要)观众的满意度主要取决于视角a和仰角"两个因素，但在实际生活中两者又不可能同时达到最佳，只能二者兼顾.针对问题1,本文根据已知条件通过计算得知，最前排视角a和仰角P的值均为最大，最后排视角a和仰角的值均为最小，a和的正切值呈递减趋势.那么仰角P=30°时的位置是否是最佳位置呢？本文先将离散的座位连续化，求出了?ga的表达式，并通过计算?的最大值，找到了最佳座位点.针对问题2,由于观众的满意度是一个模糊的概念，本文引入了“满意度函数”的概念，构造了满意度函数，通过这一函数来度量观众满意程度随其座位离屏幕的距离x的变化趋势.在倾斜角6固定的情况下，满意度函数值随x的变化而变化，不同的x有不同的满意度.根据满意度函数这一衡量标准，本文再次将问题离散化，求出了座位的平均满意度.总之，本文针对电影院的座位设计问题，通过合理假设将实际问题数学化，抽象问题具体化，几何问题代数化，离散问题连续化，建立了合理的数学模型。本文建立的模型稳定性好，求解方法简单，计算效率高，而且模型及结果具有一定的现实意义.影院座位设计问题一.问题的提出满意程度主要取决于视角《和仰角视角是观众的眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，视角《越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，仰角太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般不超过30°.设影院屏幕高h，上边缘距地面高H,地板线倾角e，第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d和D，观众平均坐高为C(指眼睛到地面的距离）。（如图所示）地板线倾角e=1〇°，问最佳座位在什么地方.求地板线倾角0，使所有观众的平均满意程度最大。问题的分析观众在电影院观赏电影，感觉是否满意不仅取决于电影的精彩与否，而且还取决于座位设计的舒适程度.座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题.根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角.经调查可知这两者都要满足一定的条件.但在实际生活中又不可能同时满足，只能在二者兼顾的条件下求出使平均满意度最大的那种情况.根据题意很容易得知^和^的正切值呈递减趋势，这对问题的解决很有帮助.下文针对题0提出的三个问题逐一进行分析.针对问题1:为方便求解，可以以屏幕所在的墙壁的剖面为y轴，向上为正方向，以与之垂直的地面为X轴，以交点为原点0,建立直角坐标系.a地板线倾角=1(T时，根据已知条件通过计算得知，最前排视角a和仰角p的值均为最大，最后排视角a和仰角/?的值均为最小.那么仰角户=30°时的位置是否是最佳位置呢？我们可以先将离散的座位连续化，根据条件求出fga的表达式，作出《对^的变化图象以及其变化率图象，计算炫《的最大值，找到最佳座位点，然后再将问题离散化，对求得的最佳座位点进行优化.针对问题2:—般地，人们对某件事物看法的心理变化是一个模糊的概念.本文观众对座位是否满意也是一个模糊概念.根据模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，我们可以引入满意度函数的概念，构造一个满意度函数，通过这一函数来度量观众满意程度随其座位离屏幕的距离x的变化趋势.在倾斜角固定的情况下，满意度函数值随x的变化而变化，不同的x有不同的满意度.有了满意度函数这一衡量标准后，我们可以求出所有座位的平均满意度.当平均满意度最大时，求出此时对应的倾斜角6•，即为所要求的平均满意度最大时地板线的倾斜角度.模型的假设假设座位在地板线上严格等距，且均匀分布；假设观众的满意度可以用一连续函数来衡量，因而可将离散问题连续化;假设视角对观众的满意度影响较大；符号说明a 当人坐下时眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角J 当人坐下时眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角pxy 当人坐下时眼睛所处在坐标系中的位置坐标F(x) a关于距离a'和倾斜角的正切函数Gx P关于距离x和倾斜角0的正切函数

Mx满意度函数MU,.)第/个位置的满意程度M平均满意程度2满意度函数的相关因子（即满意因子)五.模型的建立1.建模的准备1.1建立坐标系为了建立合适的数学模型，我们先建立如下坐标系:由题意及坐标图得，直线L的方程：y=扠6>(x-d)+c (1)直线L上任意一点尸(x,_v)的仰角£5的正切值为：(2)(3)——(x—d^tQ(2)(3)又由图可知：H—C htgd— htgd—2(//—c+dtgd)+(1+^~d)x+1.2构造满意度函数一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念.本文中观众对某个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念.由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一件事物评价的心理变化应遵循一定规律，不妨定义观众对座位的满意度为：(-V-.Vq)~(4)^ (乂>0)(4)其中2表示观众满意度的相关因子，称为满意因子，一般为常数表示最佳座位点，

即最佳座位处的横坐标值.2.模型的建立2.1问题1的模型座位的满意程度主要取决于视角和仰角越大越好，太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求0不超过30°.要确定最佳座位，必须同时兼顾视角a和仰角P. htgO^{fl+dtg0^+(1+ +H—c—、x—d、tg0

x htgO^{fl+dtg0^+(1+ +H—c—、x—d、tg0

x(5)(6)由户<30°，即如炫30°得：x>H~c+则x的取值范围为：H~Cx<D(7)TC则x的取值范围为：H~Cx<D(7)TC从而得到求解最佳座位的数学模型: -c++2 (//—c+dtgd)2—h{M—c+dtg0)nD(8)当0=l〇度时求得模型的解2.2问题2的模型为了求平均满意程度最大时地板的倾角0，本文先设法求平均满意程度I.n则区间[义Z)]上h个座位的满意度为：IM(10)n则区间[义Z)]上h个座位的满意度为：IM(10)Xmco从而得座位的平均满意程度为：M=S (11)从而得到求解地板倾角的数学模型：M (12)其中x;的表达式为：x,.=d+〇_-l)/，Z为常数，表示前后两个座位之间的距离.，