2022-2023学年江苏省南京市玄武区溧水中学数学高二下期末检测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列选项叙述错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B．若命题，则C．若为真命题，则，均为真命题D．若命题为真命题，则的取值范围为2．在二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式的中间项的系数为（）A． B． C． D．3．对于椭圆，若点满足，则称该点在椭圆内，在平面直角坐标系中，若点A在过点的任意椭圆内或椭圆上，则满足条件的点A构成的图形为（）A．三角形及其内部 B．矩形及其内部 C．圆及其内部 D．椭圆及其内部4．设a∈R，则“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要5．下列命题中真命题的个数是（）①，；②若“”是假命题，则都是假命题；③若“，”的否定是“，”A．0 B．1 C．2 D．36．若函数的导函数的图像关于轴对称，则的解析式可能为A． B． C． D．7．是虚数单位，则的虚部是（）A．-2 B．-1 C． D．8．已知X的分布列为X－101P设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为A． B．4 C．－1 D．19．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（）A． B． C． D．10．已知展开式中常数项为1120，实数是常数，则展开式中各项系数的和是A． B． C． D．11．设，，若，则的最小值为A． B．8 C．9 D．1012．（2018年天津市河西区高三三模）已知双曲线：的虚轴长为，右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)14．已知高为H的正三棱锥P-ABC的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，若二面角P-AB-C的正切值为4，则HR=15．已知两直线的方向向量分别为，，若两直线平行，则________．16．设数列的前项和为，已知，，，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，且，E为PD中点.（I）求证：平面ABCD；（II）求二面角B-AE-C的正弦值.18．（12分）羽毛球比赛中采用每球得分制，即每回合中胜方得1分，负方得0分，每回合由上回合的胜方发球．设在甲、乙的比赛中，每回合发球，发球方得1分的概率为0.6，各回合发球的胜负结果相互独立．若在一局比赛中，甲先发球．（1）求比赛进行3个回合后，甲与乙的比分为的概率；（2）表示3个回合后乙的得分，求的分布列与数学期望．19．（12分）如图，在三棱锥中，底面，且，，，、分别是、的中点.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的平面角的大小.20．（12分）椭圆的左右焦点分别为，与轴正半轴交于点，若为等腰直角三角形，且直线被圆所截得的弦长为2.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于点，线段的中点为，射线与椭圆交于点，点为的重心，求证：的面积为定值.21．（12分）求证：.22．（10分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面，，为的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：根据四种命题的关系进行判断A、B，根据或命题的真值表进行判断C，由全称命题为真的条件求D中参数的值．详解：命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，A正确；若命题，则，B正确；若为真命题，则，只要有一个为真，C错误；若命题为真命题，则，，D正确．故选C．点睛：判断命题真假只能对每一个命题进行判断，直到选出需要的结论为止．命题考查四种命题的关系，考查含逻辑连接词的命题的真假以及全称命题为真时求参数的取值范围，掌握相应的概念是解题基础．2、C【解析】

先根据条件求出，再由二项式定理及展开式通项公式，即可得答案.【详解】由已知可得：，所以，则展开式的中间项为，即展开式的中间项的系数为1120.故选：C．【点睛】本题考查由二项式定理及展开式通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．3、B【解析】

由在椭圆上，根据椭圆的对称性，则关于坐标轴和原点的对称点都在椭圆上，即可得结论．【详解】设在过的任意椭圆内或椭圆上，则，，即，由椭圆对称性知，都在任意椭圆上，∴满足条件的点在矩形上及其内部，故选：B．【点睛】本题考查点到椭圆的位置关系．考查椭圆的对称性．由点在椭圆上，则也在椭圆上，这样过点的所有椭圆的公共部分就是矩形及其内部．4、C【解析】

先由两直线平行解得a的值，再通过检验是否重合可得a=3，从而得两命题的关系.【详解】若直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行，可得：aa-1=2×3，解得当a=3时，两直线分别为：3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，满足平行；当a=-2时，两直线分别为：x-y+3=0和x-y+3=0，两直线重合；所以“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的充要条件.故选C.【点睛】本题主要考查了两直线平行求参数值的问题。已知两直线的一般方程判定两直线平行的一般方法为：已知l1:A1x+5、B【解析】若，，故命题①假；若“”是假命题，则至多有一个是真命题，故命题②是假命题；依据全称命题与特征命题的否定关系可得命题“”的否定是“”，即命题③是真命题，应选答案B．6、C【解析】

依次对选项求导，再判断导数的奇偶性即可得到答案。【详解】对于A，由可得，则为奇函数，关于原点对称；故A不满足题意；对于B，由可得，则，所以为非奇非偶函数，不关于轴对称，故B不满足题意；对于C，由可得，则为偶函数，关于轴对称，故C满足题意，正确；对于D，由可得，则，所以为非奇非偶函数，不关于轴对称，故D不满足题意；故答案选C【点睛】本题主要考查导数的求法，奇偶函数的判定，属于基础题。7、B【解析】

根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．【详解】由题意得，所以复数的虚部是．故选B．【点睛】本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数的虚部为，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题．8、A【解析】由条件中所给的随机变量的分布列可知EX=﹣1×+0×+1×=﹣，∵E（2X+3）=2E（X）+3，∴E（2X+3）=2×（﹣）+3=．故答案为：A．9、B【解析】令,,所以函数是减函数，又，所以不等式的解集为本题选择B选项.10、C【解析】分析：由展开式通项公式根据常数项求得，再令可得各项系数和．详解：展开式通项为，令，则，∴，，所以展开式中各项系数和为或．故选C．点睛：赋值法在求二项展开式中系数和方面有重要的作用，设展开式为，如求所有项的系数和可令变量，即系数为，而奇数项的系数和为，偶数项系数为，还可以通过赋值法证明一些组合恒等式．11、C【解析】

根据题意可知，利用“1”的代换，将化为，展开再利用基本不等式，即可求解出答案。【详解】由题意知，，，且，则当且仅当时，等号成立，的最小值为9，故答案选C。【点睛】本题主要考查了利用基本不等式的性质求最值的问题，若不满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等。12、A【解析】分析：由虚轴长为可得，由到渐近线的距离为可解得，从而可得结果.详解：由虚轴长为可得，右顶点到双曲线的一条渐近线距离为，，解得，则双曲线的方程为，故选A.点睛：用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档.14、8【解析】

取线段AB的中点D，点P在平面ABC的射影点M，利用二面角的定义得出∠PDC为二面角P-AB-C的平面角，于此得出PMDM=4，并在RtΔOMC中，由勾股定理OM2+C【详解】取线段AB的中点D，设P在底面ABC的射影为M，则H=PM，连接CD，PD（图略）.设PM=4k，易证PD⊥AB，CD⊥AB，则∠PDC为二面角P-AB-C的平面角，从而tan∠PDC=PMDM=4k在RtΔOMC中，OM2+CM2=OC故答案为：85【点睛】本题考查二面角的定义，考查多面体的外接球，在处理多面体的外接球时，要确定球心的位置，同时在求解时可引入一些参数去表示相关边长，可简化计算，考查逻辑推理能力，属于中等题。15、【解析】

根据题意可得出，从而得出m1﹣4＝0，解出m即可．【详解】∵；∴m1﹣4＝0；∴m＝±1．故答案为±1．【点睛】考查直线的方向向量的概念，以及平行向量的坐标关系．16、【解析】

先计算，归纳猜想【详解】由，，，可得，，归纳猜想：故答案为【点睛】本题考查了数列通项公式的归纳猜想，意在考查学生的归纳猜想能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）见解析（II）【解析】

（I）根据题目所给条件，利用直线与平面垂直的判定方法分别证明出平面PAB以及平面，进而得到和，从而推得线面垂直．（II）根据已知条件，以A为原点，AB为轴，AD为轴，AP为轴建立直角坐标系，分别求出平面ABE和平面AEC的法向量，最后利用向量法求出二面角B-AE-C的正弦值．【详解】解：（I）证明：∵底面ABCD为正方形，∴，又，，∴平面PAB，∴．同理，∴平面ABCD（II）建立如图的空间直角坐标系A-xyz，则，，，，易知设为平面ABE的一个法向量，又，，∴令，，得.设为平面AEC的一个法向量，又∴令，得.∴二面角B-AE-C的正弦值为.【点睛】本题主要考查了通过证明直线与平面垂直来推出直线与直线垂直，以及利用向量法求二面角的问题，解题时要注意根据图形特征或者已知要求确定二面角是锐角或钝角，从而得出问题的结果．18、（1）0.1（2）见解析【解析】

（1）记“第回合发球，甲胜”为事件，=1，2，2，且事件相互独立，设“2个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件，由互斥事件概率加法公式和相互独立事件乘法公式求出比赛进行2个回合后，甲与乙的比分为2比1的概率；（2）的可能取值为0，1，2，2，分别求出相应的概率，由此求出的分布列和数学期望.【详解】解：记“第回合发球，甲胜”为事件，=1，2，2，且事件相互独立．（1）记“2个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件，则事件发生表示事件或或发生，且，，互斥．又，，．由互斥事件概率加法公式可得．答：2个回合后，甲与乙比分为2比1的概率为0.1．（2）因表示2个回合后乙的得分，则0，1，2，2．，，．．所以，随机变量的概率分布列为01220.2160.10.2040.144故随机变量的数学期望为=．答：的数学期望为1.276．【点睛】本题考查概率的求法、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19、（Ⅰ）证明过程详见解析；（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）已知SB、AB、BC两两互相垂直，故可建立空间直角坐标系如下图．根据线段长度可求出相应点的坐标，从而可推出，则，所以平面平面BCD．（Ⅱ）求出两个平面的法向量，利用法向量夹角与二面角平面角的关系求出平面角的大小．【详解】（Ⅰ）．又因，所以建立如上图所示的坐标系．所以A（2，0，0），，，D（1，0，1），，S（0，0，2）易得，，，又，又又因，所以平面平面BCD．（Ⅱ）又设平面BDE的法向量为，则,即所以又因平面SBD的法向量为所以由图可得二面角为锐角，所以二面角的平面角的大小为．考点：平面与平面的垂直的证明‚二面角大小的求法．20、（1）；（2）【解析】分析：（1）由等腰直角三角形的性质分析可得，又由直线与圆的位置关系可得的值，进而可得的值，将的值代入椭圆的方程即可得结论；（2）根据题意，分、两种情况讨论，若直线的斜率不存在，容易求出的面积，若直线的斜率存在，设直线的方程为，设，联立直线与椭圆的方程，结合一元二次方程中根与系数的关系，求出的面积消去参数，综合两种情况可得结论.详解：（1）由为等腰直角三角形可得，直线：被圆圆所截得的弦长为2，所以，所以椭圆的方程为.（2）若直线的斜率不存在，则.若直线的斜率存在，设直线的方程为，设，即，则，，，由题意点为重心，设，则，所以，，代入椭圆，得，整理得，设坐标原点到直线的距离为，则的面积.综上可得的面积为定值.点睛：本题主要考查待定待定系数法求抛物线及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题.探索圆