正态分布及其经典习题和答案

23172317例）知随变量X服二项分布，且E（X），VX，则二项分布参数n，p的为An=4p=0.6Bn=6,p=0.4n=8，p=0.3Dn=24p=0.1答：B。解：

E)

。（）态曲线下、横上，从均数到

的积为。A．95%．50%．97.5%．不能确定（标准差的大小关）答：B。解：由正态曲线特点知。（3某班48同学，一次考后的学成绩服从正分布，平均分80，准差为10，理论说在80分分的人数（）A32B168D答：B。解析:数学绩是X—)，(80X90)PZ(00.3413,480.34131610

。（）1，2，3，5这五数中任取两个，这两个数之的数学期望___________。答：8.5。解析设两数之积为XX

20.1

30.1

40.1

50.1

60.1

80.1

100.1

120.1

150.1

200.1∴（）图，两个正态布曲线图：

1为

(x

，为

(x)

，

则

，

（大于，小于）

12答：＜，＞。解：由正态密度线图象的特征。【内练习】1．标正态分布的均与标准差分别(。A．0与1．10C．0与D与1答：A。析：由标准正分布的定义知2．正分布有两个参，()相的正态曲线的状越扁平。A．大．小．越D越答：。解析：由正密度曲线图象特征知。

3．已

个据

x,,12

n

，么

1ni

i

是A

B2．（）答：。解析：由差的统计定义。4．设

~(n,p，E

，

，则的是。答：4。解：

E

D5．对个数学题，甲出的概率为，乙解的概率为，人独立解题。X为出题的人，则E34。（X=答：。解析：12

112143(X,P(X1),PX34124412

。

15357∴E)215357

。126．设机变量服正态分N

，下列结论正确是。(1)

(|

a)P

a)

|a)(a(2)

P()a0)(3)

P

(

)(a(4)

P

a)(|

|a)(a0)答：(1),(2),(4)。解：(|

a)

。7．抛一颗骰子，设得点数为X则D（X）。答：。析：PX)L,612【业本】

，定义计算得E(X)(。2A组1．袋装有5只球，编号为，23，中任3球以X示取出球的大号码，则（X等于（）A4B、5C4.5D、答：。解析X的分布为X

30.1

40.3

50.6故（X=30.1+4

0.6=4.5。2．下函数是正态分密度函数的是（）A

fx)

2

B

f(x)

2

x22C

fx)

2

D．

f()

1

答：B。解：选项B是准正态分布密函数。3．正总体为

概密度函数

f(

是（）A奇数B偶函．非奇偶函数．既是奇函数是偶函数答：B。解：f(x)

1

e

。4．已正态总体落在间

的率是．，么相的正态曲线在

x

时到最高点。答：0.2。解析正态曲线关于线称，由意知0.2

。5．一英语测验由道选择构成，每道有个项，其中有且有一个是正确，每个选对分选错不选均不得分满分120分某学生选一道题的概率，求该在这测验中的成绩期望为；方差为。答875.6析X为生选对题个数为绩X（50∴×0.7=28V(X)=40×

，。故E(ηV(η，。6．某进行一个试验若试验成功则止，若实验失，再重新试验次，试验三次均失，则放弃试验若此人每次试成功的概率为解：X的分布列为X

23

，此人试验次数X的布列及期和方差。12

23

29

19故

22138X)())39997．甲乙两名射击运员，甲射击一命中10环概为0.5，射击一次命中10环概率为s若他独的射击两次，乙命中10环次数X，分列及期望.

，Y为与命中10环差的绝对求值及Y的答：解：由已知得

X~(2,)，故2

4,所以3

．有Y的值可以是0，，2.甲乙两人命中10环次数都是0次概率是

11()2)2336

，甲乙两人命中10环次数都是1次概率是甲乙两人命中10环次数都是2次概率是

1111212()()22339122()()2239

，所

1213P(Y0)36936

；甲中10环次数是2乙命中环次数是次概率是

11()2)22336

，甲中10环次数是0且命中10环的次是次概率是

1121()()2239所

P(Y

111，故(Y(Y369362所Y的分布是Y

123所Y的期望是（Y）=

。

B组1．某品的废品率为，中取出个品，其中的次数X的差（）A0.5B、D答：B。解：B10，0.05V()0.050.475

。2．若态分布密度函fx)

12

e

x)，列断正确的是（）A有大值，也有最值B有最值，但没最小C有最大值，没最大值D．无大值和最小值

28答B283．在次英语考试中考试的成绩服正态分布

100,36)

，么考试成绩在间

88,112

内概率是A0．．．3174．．D0．9974答：。析：由已知X—（100故X112)P

88P2)2P(Z66

。4．袋有个黑个球，个球，从任取2个，取到一个黑球0分每取到个白球得1分若到一个红球则2分用X表得分，则E（X）________；_________.答：

；。析：由意知X可值是，，，3，。得其率分布如下：XP

012341111636E(X)=0

111114+1×＋2×＋3×＋4×＝3636V(X)=

0

2

1111×1×＋×＋×＋×－＝636

注要求次品数的学期望与方差应先列出次品X的分布。5．若机变量X的率分布密函数是

(x)

122

e

(R)

，

E

=

。答：-5。解析：

2()

。6．一书有500页，有100错字，随机布在任意一页，求一页上错个数X的均、标准差解∵X—B

111E)100)500500500X的准差()。8．一电池（一节）于手电筒的寿服从均值小时、标准差4.4小的正态分布随机从这批电中意取一节，问节电池可持续用不少于40小的概是多少？答：解：电池的用寿命X—N(35.6,4.4)则

((

40)PZ1)P(4.4即节电池可持续用不少于小的概率是0.1587正分布双自测1．有一态总体，它的率密度曲线是数(的图，且fx)＝平数与标准差分()A与8B．10与2．8与10．210

1x－10e－8π

，这个正态总体解由

18π

e－

x－108

1＝2πσ

xμ2

，知σ＝2μ＝10.答案B2．(2011·)已随机量ξ服从正态分N(2σ

)，(＜4)＝0.8，(0＜ξ＜2)于．

32σA．0.6．0.4．0.3．0.232σ解由(ξ＜4)＝0.8知(＞4)(＜0)＝0.2，P＜＜2)＝0.3.故选C.案C3．(2010·)已随机量X服正态布(3,1)，且(2≤＝0.6826，X等于()．A．0.1588B．0.158．0.1586．0.15851解由态曲线质知，其图象于直线x＝3对称P＞4)＝0.5－(2≤≤4)＝0.5－×0.6822＝0.1587.故选B4．(2010·)已随机量X服正态布(0，σ

)，若(>2)＝0.023则(－2≤2)等于(．A．0.477B．0.628C．0.954．0.977解P(≤X≤2)＝1(X>2)＝0.954.答案C5．随机量X服从态布(2,9)若(>＋1)P(X<－1)，c于)．AB．2C．3．4c＋1＋－1∵＝2由正态分布的义知其函数图关于x＝2称，于是，∴c＝2.答B2考一正曲线性质1【】若个正态分布的率密度函数是个偶函数，且函数的最大值42π(1)该正分布的概率密函数的解析式(2)正态体在－4,4]的率．

.解(1)由于该正态布的概率密度数是一个偶函，所以其图象于

y轴称即由

1＝2πσ11x，σ＝4，故该正分布的概率密函数的解析式()＝－，∈(－，＋．2π·44π(2)(－4<＝(0≤0＋4)＝(μ－σ<≤＋σ)＝0.6826.【练1】设个态分布(，σ)(σ＞0)和(，σ)(σ＞0)密度函数图如图所示，则()A．＜，＜σB．＜，＞σC．＞，＜σD．＞，＞σ解根据正态分N(μ)数的性质：正分布曲线是一关于直线＝μ对，在＝处取最大值的连钟形曲线σ越大曲线的最高点低且较平；反过来σ越小，曲线最高点越高且陡峭，故选A.考二服正态布的概率计算【】设X～(1,2)，试(1)(－1<；(2)(3<≤5)；(3)(≥5)

1解X～(1,2)，∴μ＝1σ＝2.1(1)(－1<＝(1≤1＋2)＝(μ－σ<≤＋σ)＝0.6826.1(2)(3<＝－3<≤－1)∴(3<X≤5)＝P(－3<≤5)－(－1<≤3)]211＝[P(1X≤1＋4)－－2<≤1＝(μ－2<X≤＋2σ)(μ－<≤＋)]221＝×(0.9544－0.682＝0.1359.211(3)(X≥5)P(≤－3)∴X≥5)[1(－3<≤5)]－(1－4<X＋4)]2211＝－P(－2<≤＋2)]×(1＝0.0228.22【练2】随机变ξ服正态分布N(1，)，知P(＜0)＝0.3，P(ξ＜2)＝________.解由意可知态布的图象于直线＝1对称所以＞2)＝ξ＜0)＝0.3(＜2)＝1－0.3＝0.7.答案0.7考三正分布应用【】2011年中汽车售量达到1700辆，汽车耗量对汽车的销有着非常重要影响，各个汽制造业积极采用新术降低耗油量车造公司为调查种型号的汽车耗油情况查了1200名主，据计该种型号的车的平均耗油百公里8.0升且汽车的耗油ξ服从态分布N(8σ∈[7,9]的率为0.7那么油量大于升汽车大约________辆

)已知耗量解

由意可知ξ～(8)故态分布曲线以＝8对称轴因(7≤≤9)＝0.7P(7ξ≤9)P(8≤ξ＝0.7，以(8≤9)＝0.35而Pξ≥8)＝0.5，所以P(ξ＝0.15故耗油量大于升汽车大约有1200×0.15＝180．【练3】工厂制的某机械零件寸X服从态分布9不于区间(3,5]这尺寸围的零件大约多少个？

，在一次正常的验中，取1个零件时，1解X～9

1，∴＝4，σ＝.不属区间3,5]的率为3P(≤3)＋P(＞5)＝1－＜≤5)＝1－(4－1＜X≤4＋1)＝1－μ－3＜≤＋3)－0.997＝0.002≈0.003，000×0.003个，即属于区间(3,5]个尺范围的零件大有3个阅报告19正分布中概率计错误【题诊断】正分布是中阶段唯一连型随机变量的布，这个考点然不是高考的点，但在近几新课高考中多次出中值计算是考查一个热点生往不注意对些数值的记忆导致解题无从手或算错误．【范措施】对态分布μ，)两个参数对应数值及其意义该理透彻并记住，注意第二个数应为σ而是，同时，记住态密度曲线的条性质．

【例】已某数学考试的成服从正态分布N(116，64)，则成绩140分上的考生所占百分比为A．0.3%BC．1.5%．0.15%错(1)不能正确出该态分布的两个数μ，导致计算