圆中有关定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

以及与圆有关的比例线段1•切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。2•切线长定理如图1对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。4•弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中ZAPC=4•弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中ZAPC=ZCDP等图2（四个）ZAPC,ZAPD,ZBPD,ZBPC证明：如图2,连接CD、OC、OP，因为ZCPO=ZPCO,所以ZCOP=180°-2ZCPO而ZCPO=90°-ZAPC,故ZCOP=2ZAPC,即ZCDP=ZAPC。5•弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6•遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7•与 定理图形已知结论证法相交弦定理AOO中，AB、CD为弦，交于P.PA・PB=PC・PD连结AC、BD，ZC=ZB,ZA=ZD,所以△APCsADPB相交弦定理的推论OO中，AB为直径，CD丄AB于P.PC2=PA・PB用相交弦定理.切割线定理OO中，PTWOO于T,割线PB交OO于APT2=PA・PB连结TA、TB,贝yZPTA=ZB（弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA-△PBT，所以PT2=PA・PB

切割线定理推论—PB、PD为0O的两条割线，交OO于A、CPA・PB=PC・PD过P作PT切0O于T,用两次切割线定理圆幕定理OO中，割线PB交0O于A,CD为弦P'C・P'D=r2—OP'2PA・PB=OP2—r2r为0O的半径延长P'O交00于M,延长0P'交00于N,用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8•圆幂定理：过一定点P向0O作任一直线，交0O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数lOF'—R'iCR为圆半径），因为OP2~R2叫做点对于0O的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。例1•如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆O,过A作半圆切线，切点为F,交CD于E,求DE：AE的值。图1例2.OO中的两条弦AB与CD相交于E,若AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,求CE。例3•已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则AB2:AC2PB: 例4•如图3,P是0O外一点，PC切0O于点C,PAB是0O的割线，交0O于A、B两点，如果PA：PB=1：4,PC=12cm,0O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是 cm。例5•如图4,AB为0O的直径，过B点作0O的切线BC，OC交0O于点E，AE的延长线交BC于点D,求证：(1)CE2=CD•CB；(2)若AB=BC=2厘米，求CE、CD的长。例6•如图5,AB为0O的直径，弦CD〃AB,AE切0O于A,交CD的延长线于E。求证：BC2=AB•DE例7・如图6,PA、PC切0O于A、C,PDB为割线。求证：AD・BC=CD・AB例&如图7,在直角三角形ABC中，ZA=90°,以AB边为直径作0O,交斜边BC于点D,过D点作0O的切线交AC于E。求证：BC=2OE。例9.如图8,在正方形ABCD中，AB=1,AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F,G为切点。当ZDEF=45°时，求证:点G为线段EF的中点；【模拟试题】（答题时间：40分钟）、选择题已知：PA、PB切0O于点A、B,连结AB,若AB=8,弦AB的弦心距3,则PA=（A.20/3 B.25/3 C.5 D.8下列图形一定有内切圆的是（）B矩形A.B矩形则ZMCA的度数（D梯形则ZMCA的度数（D梯形图1C.60° D.55°另一弦被交点分为1：4,则另一弦长为（C.12cm D.16cmA.50° B.40°圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，A.8cm B.10cm在△ABC中，D是BC边上的点，AD=2“2cm,BD=3cm,DC=4cm,如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于,） _ _A.23cm B.3、2cm C.2\2cm D.33cmPT切0O于T,CT为直径，D为OC上一点，直线PD交0O于B和A,B在线段PD上,若CD=2,AD=3,BD=4,贝PB等于（ ）A.20B.10C.5D.A.20B.10C.5D.二、填空题AB、CD是00切线,AB〃CD,EF是00的切线，它和AB、CD分别交于E、F,则ZEOF= 度。已知：00和不在00上的一点P,过P的直线交00于A、B两点，若PA・PB=24,0P=5，则00的半径长为 。 _若PA为00的切线，A为切点，PBC割线交00于B、C,若BC=20,PA=10p3，则PC的长为10.正厶ABC内接于00,M、N分别为AB、AC中点，延长MN交00于点D,连结BD交AC于P,PCPA—PA—、解答题11.如图2,AABC中，AC=2cm,周长为8cm,F、K、N是厶ABC与内切圆的切点，DE切00于点M,且DE〃AC,求DE的长。12.如图3,已知P为00的直径AB延长线上一点，PC切00于C,CD丄AB于D,求证:CB平分ZDCP。13.如图4,已知AD为00的直径，AB是00的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C,且BM=MN=NC,若AB=2迈cm,求00的半径。圆的有关定理例题答案例1解：由切线长定理知：例1解：由切线长定理知：AF=AB=1,EF=CE设CE为x,在RtAADE中，由勾股定理〔1+工尸=(1-x)3+1\x二扌1 3 1 5DE=A--=-AS二1+—二一4 4 4 4•,,5二0应：#童二一：-=3：54例3解：VZP=ZPZPAC=ZB,.•.△PACsAPBA,AB_PBAB2_PB2• ? •• o又TPA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得PA2=FBfPCAB2_PS2_PB.肓•nnAB2： =PC并宀叶_即 ，故应填PC。点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。例5证明：(1)连结BEBC^GO的切线=乙4二厶豊E'例2解：由相交弦定理，得AE・BE=CE・DE°.°AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,DE=CD-CE=1-CE飞X2二CEf-C通••即加—7亦+12=0CE=3cm或CE=4cm。故应填3或4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。例4解：TPC是0O的切线，PAB是0O的割线，且PA：PB=1：4 .PB=4PA又VPC=12cmpr*a-Pjd*PR由切割线定理，得••触••,PA二6(cm)•PB=4x6=24(cm)AB=24—6=18(cm)设圆心O到AB距离为dcm,由勾股定理，得故应填価。oa=osZa=Zoea}=Zced=zLcbe

Zosa=Zdec Zu倉用角-■<乂豆=——=——CE2=CB*CDCDCEBC^QQ^线血为直径n =90°AB=2^OB=\BC=2U0U==J5OE=1(2)o苗二CD，CE,CB=2J』-讦=(3-75)厘米。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。例6证明：连结BD,VAE切0O于A,ZEAD=ZABDVAE丄AB,又AB〃CD,AE丄CDVAB为0O的直径/.ZADB=90°ZE=ZADB=90°•△ADEsAbaDAD_DE•石—兀•找"=AB*DS•••nnVCD//AB■■・・・AD=BC,•声"2例7点悟：由结论AD・BC=CD・AB得忑丸，显然要证△PADs^PBA和厶PCDs^pbc证明：VPA切0O于A, /.ZPAD=ZPBA又ZAPD=ZBPA, .•.△PADs&BA.41_'上也十同理可证厶PCDsApbc㈡_/'1・•・•'「―VPA、PC分别切0O于A、C二：.•・PA=PC・•・"丁・・・AD・BC=DC・AB

例8点悟：由要证结论易想到应证OE是厶ABC的中位线。而OA=OB,只须证AE=CEo证明：连结OD。VAC丄AB,AB为直径AC为0O的切线，又DE切0O于D•ea=ed,od丄devob=od,.zb=zodb在RtAABC中，ZC=90°—ZBVZODE=90°•zc=zedc.ed=ec.ae=ecOE是△ABC的中位.BC=2OE模拟测试答案一、选择题：acabba11;7.908.」9.30 10.11.由切线长定理得厶BDE周长为4,由△BDEs^BAC，得DE=1cm12.证明：连结AC,则AC丄CB•.•CD丄AB,.•.△ACBsACDB,・・・ZA=Z1•••PC为0O的切线，・ZA=Z2,又Z1=Z2,••・BC平分ZDCP

例9解：由ZDEF=45°,得=50°-ZDEF=45°•zdfe=zdef.de=df又VAD=DC.AE=FC因为AB是圆B的半径，AD丄AB,所以ad切圆B于点A；同理，CD切圆B于点Co又因为EF切圆B于点G,所以AE=EG,