人教课标实验版八年级上册第十二章轴对称1等腰三角形【市一等奖】_第1页
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构造等腰三角形证角的有关问题本文就构造等腰三角形证明角的有关问题举例说明如下，供初二同学参考．一、证明某个角是直角【例1】如图一，E、B、C三点在一线上，AD∥EC，AD＝BC，BD＝EC，F是AE的中点．求证：∠BFD＝90°．[分析]：由F是AE的中点和图形特征可知：要证DF是以BD为一腰的等腰三角形底边上的中线．为此延长BF交DA的延长线于G，则∠AGF＝∠EBF，∠FAG＝∠FEB．又AF＝EF，故△AGF≌△EBF．故AC＝BE，FG＝BF．从而DG＝BD，即△DBG是等腰三角形．又DF是底边BG上的中线，故DF⊥BG，即∠BFD＝90°．证明：(略，请同学们自行完成．下同)．二、证明两个角相等【例2】如图二，Rt△ABC中，AC＝BC，D是AC上一点，AE垂直BD的延长线于E，且.求证：∠ABD＝∠CBD．[分析]与例1类似，只需证BE是以AB为一腰的等腰三角形底边上的中线即可．为此延长AE交BC的延长线于F，则∠1＝∠2．又BC＝AC，故Rt△BDC≌Rt△AFC．故BD＝AF．又BD＝2AE，故AF＝2AE，即AE＝EF．而BE⊥AF，故△BFA是等腰三角形．于是∠ABD＝∠CBD．三、证明角的和差关系【例3】如图三，△ABC中BD平分∠ABC，AE⊥BD于E．求证：∠BAE＝∠DAE+∠C．[分析]由BD既是角平分线又是垂线联想到等腰三角形．为此延长AE交BC于F，则△BAF是等腰三角形，从而∠BAE＝∠BFA．再利用三角形外角定理即可获证．四、证明角的倍分关系【例4】如图四，P为正方形ABCD的边CD上一点，且AP＝PC+BC，M为CD的中点．求证：∠PAB＝2∠DAM．[分析]把∠PAB两等分，再证其中1份与∠DAM相等是解决此题的关键．为此延长AB至E，使BE＝PC，连EP交BC于F，则AE＝AB+BE＝BC+PC＝AP，即△AEP是等腰三角形．易证Rt△EFB≌Rt△PFC，故F为EP、BC的中点．连AF，则∠1＝∠2．易证Rt△ABF≌Rt△ADM故∠1＝∠3．于是∠PAB＝2∠DAM．从上述例题可看出，当图形中有角平分线、垂线等条件时，可构造等腰三角形，从而使问题得以解决．【练习】1．如图五，已知∠ABC＝∠DAB＝90°，AD∥BC，且AD+BC＝CD，E为AB的中点．求证：∠D

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