圆心角弦弧心距之间的关系

基本内容

圆心在理解时要注基本概念理 A．1 B．2 C．3 D．4AOBAOB60，则（A． 的度数 的度 的长度 的长 （2）

（2题图长度相等的两条弧是等弧；（A）1 （B）2 （C）3 （D）4已知弦AB把圆周分成1:5的两部分，这弦AB所对应的圆心角的度数 份概念的延伸及其基在同圆或等圆中，如果圆心角BOA等于另一圆心角COD的2倍，则下列式子中能 在同圆或等圆中，如果，则AB与CD的关系是

OAOB90OAB4O（22 22在⊙O中，两弦ABCD，OM，ON分别为这两条弦的弦心距，则OM，ON的关 OM

OM

OM

3OCD的弦心距 OCD，如图在⊙O中AB∥CD 45° ． ，典型例题精例题1、如图，已知：在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，求和 解：连结OC，

（6题图在Rt△AOB中 C 的度数为 ∴的度数为

（1图A说明：连结例题2、如图，已知：在⊙O中，=2 ，试判断∠AOB与∠COD，AB与2CD之间的关分析：根据条件确定图形，观察、分析、猜想，特别是解：∠AOB=2∠COD，如图，在⊙O上取一点C’， = =∴AB=CC’.∠AOB=∠CO又∵在△CDC’中，CD+DCCC’，∴CC<2CD，即

DODO（例题2图AOB=2∠COD是正确的，但由=2 3、如图，已知：AB是⊙O直径，M、NAO、BOCDM∵M、NAO、BOCDM∴ACOC、又∵OC=OD，∴AC=BD，∴= ∵M、N分别是AO、BO的中点 ∴ CM、DN交⊙O于E、 ∵M、N分别是AO、BO的中点

（3CDCDM111

例题4、如图，C是⊙O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD＝CO，若的度数分折：要求 OE、ODDO交⊙ODB 的度数为40°，∴∠AOD=40°． B∵CD＝CO， ∵OD＝OE， ∴∠EOF=∠E+∠ODE=80°，∠BOF=则∠BOE=∠EOF+∠BOF 的度数

（4图（5图（5图MN交CD于F，且FOFD2OE，求的度数.解连结OD.ABCDE，且OF2OE又OFFD的度数是150ABCDAMNCNMABCD，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之M、NAB、CDOM，ON，则有OMONOMABONCD，故易得结论.证 连结OM、ONOMNAB、CDOMAB,ONCDOMAMN90OMN,

（6图，例题7如图已知⊙O中，OB、OC分别交AC，DBMNOMN是等腰三角形分析：由，应得：OMAC，ONBD，ACBD就可以证明MON是等腰三角形.

（7图OPPAPBPAPB证明：连结OP∵COOP,∴OCPOPC∵CP是DCO∵CDAB,∴OPAB∴

∴PA解题关键是连结OP，证OPAB.PAPB相等而使思维受阻或证明繁作业已知◉O的半径为R，弦AB的长也为R，则AOB OAB1，圆的半径为2cmAB3圆的一条弦把圆分为度数的比为1:5的两条弧，如果圆的半径为R，则弦长为 如图，直径ABCD，垂足为E，AOC130， 的度数 ◉O中弦AB是半径OC的垂直平分线，则的度数 已知⊙O的半径为5cm 的度数是120，则弦AB的长 如果一条弦将圆周分成两段弧，它们的度数之比为3:1，那么此弦的弦心距的长度与此 OAB与CDPPBO1O2M是两圆心O1O2的中点，过M于A，B，交⊙O2于C，D，求证：如图，已知⊙O的直径AC为20cm，的度数为60，求弦AB的弦心距的长例如图，已知：在⊙O中，=2 ，试判断∠AOB与∠COD，AB与2CD之间的关系，DODO如图，在⊙O上取一点C’， =B =∴AB=CC’.∠AOB=∠CO 又∵在△CDC’中，CD+DCCC’，∴CC2CD，即得∠AOB=2∠COD是正确的，但由=2得出AB=2CD，是错误的，培养学生在学习中例如图，已知：AB是⊙O直径，M、NAO、BO求证 AC、OC、OD、BD，CDM∵M、NAO、BOCDM∴ACOC、又∵OC=OD，∴AC=BD，∴= ∵M、NAO、BO的中点，∴OM2

AO，ON=2

CDM∴ CDMCM、DN交⊙O于E、 ∵M、N分别是AO、BO的中点 111

例如图，已知：在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，求 分析：连结OC，通过求圆心角的度数求解.ODC解：连结ODCRt△AOBBA 例如图，C是⊙O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD＝CO，若的度数为40°，求的度数．分折：要求 OCFOE、ODDO交⊙OOCFD 的度数为 ∵CD＝CO，∵OD＝OE， ∴∠EOF=∠E+∠ODE=80°，∠BOF=则∠BOE=∠EOF+∠BOF 的度数为典型例题例 E、FAB、AC的延长线上，EFOM、NADH，H是3的中点 ，EHHF2，设ACB，tanx2k2x4k0的两个实数根EHHFBC的长

EHHF是方程4k1244k0EHHFk2 EHHF4k0 又EHHF2

k12k12时，①成立k12∴EH8，HF6BD1

x18,x2ADOABD90∵，∴ADEF RtAEHtanE

tan

3EH84∴

6.AE10RtAHFAF

HF62.2

ABtan3 AB3mBD4mAD5m3H是OD

44∴AD 43

468.38∴5m8.解得m 5AB3m24 115∴BCAB

248∴BC

EHHF 28

2 14 22AE10AD8连结CDAHHF，且AHHF∴ACADsinADCADsin45

2 112BC

ACEF4242

25典型例题例OAB垂直于CD并交CDEMN交CDFFOFD2OE，求的度数解连结ODABCDE，且OF2OE又OFFD 的度数是150典型例题，例如图已知⊙O中，OB、OC分别交AC、DB于点M，N，OMN是等腰三角形.，，分析由应得：OMAC，ONBD因此只要证明AC，就可以证明MON是等腰三角形典型例题MNOAB、CDABCD，求证：ABCDM、NAB、CDOM，ONOMON，OMAB，ONCD，证 连结OM、ONOMNAB、CDOMAB,ONCDOMAMN90OMN,典型例题ABO的弦，从圆上任一点引弦CDAB，作OCDPPAPBPAPB证明：连结OP∵COOP,∴OCPOPC∵CP是DCO∵CDAB,∴OPAB

PAOP，证OPAB.PAPB相等而使思维受阻或证明繁典型例题1ABCDOAB9BC1CDDA8.（1）DAB的大小是否变化？为什么？（2）DAB600。

AB9ADBC8DC1，则四形ABCD变为上底为1，下底为9，两腰为8的等腰梯形。作DEAB于E 图CFABF91AEBF

42 RtAEDcosA

∴A600。即DAB600 图1、如图在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等， （2）长度相等的两条弧是等弧；（A）1 （B）2 （C）3 （D）4在同圆或等圆中，如果圆心角BOA等于另一圆心角COD2倍，则下列式子中能成在同圆或等圆中，如果，则AB与CD的关系是

O中，圆心角AOB90，点OAB4O的直径的长为22 22 B．2 C．3 D．4OABCD，OM，ON分别为这两条弦的弦心距，则OM，ON的关系OM

OM

OM

AOBAOB60，则A． 答案1、D；2、A；3. 4.C5. 6. 7.A8.1、已知弦AB把圆周分成1:5的两部分，这弦AB所对应的圆心角的度数 3OCD的弦心距 OCD4、如图，在⊙O中，AB∥CD，的度数为45°，则∠COD的度数 O5、如图在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等， O 已知⊙O的半径为R，弦AB的长也为R，则AOB OAB1，圆的半径为2cmAB3圆的一条弦把圆分为度数的比为1:5的两条弧，如果圆的半径为R，则弦长为 ， 的度数 的，数 ⊙O中弦AB是半径OC的垂直平分线，则的度数 已知⊙O的半径为5cm 的度数是120，则弦AB的长 如果一条弦将圆周分成两段弧它们的度数之比为3:1，那么此弦的弦心距的长度与此弦 答案1、60°；2、2/3；3、

3，2；4、

60121

3R

7.R；3332