2017初三数学圆教案

第七章圆一.本周教学内容:第七章圆三圆和圆的位置关系［学习目标］.掌握圆和圆的各种位置关系的概念及判定方法；.理解并掌握两圆相切的性质定理；.掌握相交两圆的性质定理，并完成相关的计算和证明；.理解圆的内、外公切线概念，会计算内、外公切线长及两公切线夹角；并能根据公切线的条数确定两圆的位置关系；.通过两圆位置关系的学习，进一步理解事物之间是相互联系和运动变化的观点，学会在变化中寻找规律，培养综合运用知识的能力。［知识回顾］.圆与圆的位置关系的判定方法及图形特征.两圆相切的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。.两圆相交的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。.设两圆公切线长L,两圆半径R、r,两公切线的夹角a【典型例题】例1.已知。01、。02半径分别为15cm和13cm,它们相交于A、B两点，且AB长24cm,求0102长。分析：该题没有给出图形，两圆相交有两种可能性：.两圆心在公共弦的两侧；.两圆心在公共弦的同侧；因此，我们必须分两种情况来解。解：（1）连结0102交AB于C（2）连结0102并延长交AB于CV001。02交于A、B两点在RtAA01C中，由勾股定理：在RtAA02C中，由勾股定理：・•・如图（1） 0]02=0]C+02c=14cm如图（2） 0]02=0]C—02c=4cm例1是两圆相交时的一题两解问题，希望引起同学们的重视。例2.如图，。0］与。02外切于点P,AC切。O2于C交。O］于B,AP交。02于D,求证:(1)PC平分NBPD(2)若两圆内切，结论还成立吗？证明你的结论。证明(1)过P点作公切线PM交AC于M点VAC切。02于C.\MP=MC.\ZMCP=ZMPC在。0］中，由弦切角定理：ZBPM=ZAVNCPD为4APC的夕卜角.\ZCPD=ZA+ZMCP=ZBPM+ZMPC=ZBPC.•.PC平分NBPD。(2)两圆内切时仍有这样的结论。证明：过P点作公切线PM交AB延长线于MVAM切。02于C,.MC=MP.\ZMPC=ZMCP.\ZMPB=ZAVNMCP为^CPA的外角ZMCP=ZCPA+ZA又NMPC=NMPB+NBPC.\ZBPC=ZCPA即PC平分NBPD。在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线，利用弦切角及圆周角的性质或切线长定理，可使问题迎刃而解。从这道题我们还可以联想到做过的两道题，①当A、B重合时，也就是AC成为两圆的外公切线时，PCXAD,即我们书上的例题(P129例4)②当APD经过O「O2时，PB±AC,PC平分NBPD的证法就更多了。例3.如图，以FA为直径的。O］与以OA为直径的。0］内切于点A,AADF内接于。O,DBXFA于B,交。O］于C,连结AC并延长交。O于E,求证：AC=CEAC2=DB2-BC2分析(1)易证(2)由(1)我们可联想到相交弦定理，延长DB交。O于G：即AC-CE=DC-CG由垂径定理可知DB=BG,问题就解决了。证明(1)连结OG,延长DB交。O于G,VOA为。O］直径.'.OCLAE在。O中OC±AE.，.AC=CE(2)在。O中， •・切6，直径AF.DB;GB由相交弦定理：AC-CE=DC-CG=(DB-BC)(BG+BC),?AC=CE...AC2=DB2—BC2本题中主要应用了垂径定理，相交弦定理等知识，另外，证明过程中线段代换比较巧妙，应认真体会。例4.如图：。O］和。O2相交于A、B两点，过A作。O］切线交。O2于点C,过点B作两圆割线交。O］和。O2于D、E,DE与AC相交于P点，(1)求证：PA•PE=PC•PD(2)当AD与。O2相切且PA=6,PC=2,PD=12时，求AD的长。分析：(1)从图中我们看到有相交弦定理和切割线定理可用。(2)求AD想到用切割线定理，但PB、PE均未知，利用相交弦定理也只能求出它们的乘积，我们连结公共弦得两个弦切角，再连结CE,可推出AD〃CE,这样，问题就解决了。(1)证明：二丫人切。O］于A,PBD为。O］割线在效中由相交弦定理(2)连结AB、CEVCA切。0］于AAB为弓玄..・NCAB二NDVOO中NCAB二NE2.ND:NE・・・AD〃CE.BE=3+4=7DB=12-3=9由切割线定理AD2=DB-DE=9X(9+7)AAD=12解与两圆相交的有关问题时，作两圆的公共弦为辅助线，使不同的两个圆的圆周角建立联系，沟通它们之间某些量的关系，同学们应注意它的应用。例5.如图，已知：。O与。B相交于点M、N,点B在。O上，NE为。B的直径，点C在。B上，CM交。O于点A,连结AB并延长交NC于点D,求证：AD±NCO分析：要证ADLNC,我们可证NC+NCAD=90°或NDBN+NBND=90°,这里可用到的是①NE为直径，它对的圆周角是直角，因此我们连结EC,而NECM二NENM,又可利用圆内接四边形的性质得NENM二NCAD,从而得证。证明：连结ECEN为直径AZECM+ZACD=90°・•四边形ABNM内接于。O.\ZCAD=ZMNE/ZECM=ZMNE.\ZCAD+ZACD=90°.•・NADC=180°—90°=90°AADXNC从证明中可见点B在。O上这一条件的重要性。例6.如图：已知△DEC中DE=DC,过DE作。O］交EC、DC于B、A,过A、B、C作。O『过B作BF±DC于F,延长FB交。O］于G,连DG交EC于H,(1)求证：BF过。O2的圆心O2(2)若EH=6,BC=4,CA=4.8,求DG的长。分析：要证BF过。O2圆心O2,只需证它所在弦对的圆周角是直角即可，故应延长BF交。。2于M,连CM,去证NMCA+NACB=90°,而连AB后可得NMCA转移到NMBA,再由圆内接四边形的性质转移到NCDG,而DHLEC,于是可证。(1)证明：延长BF交。O2于M,连MC、ABV四边形ABGD内接于。O］.\ZABM=ZADGVDGXEC于H.\ZADG+ZDCH=90°,?ZABM=ZACM.\ZADG=ZACM,?ZACM+ZACB=90° ABM为。O2直径ABF过。O2的圆心O2。(2)解：二•四边形ADEB内接于。O1AZCAB=ZE•二DE=DCZE=ZDCBANCAB:NACBAAB=BC=4A等腰△CBAs^CDEA设CD=5k,EC=6kVDHXECDE=DCAEC=2EH=12=6k,Ak=2ACD=10在Rt△DHE中，由勾股定理：VBH=6-4=2由相交弦定理：DH•HG=EH•HBADG=8+1.5=9.5例7.如图：叫与效外切于点P,AB是两圆外公切线，AB与W延长线交于(1)求证:ACXEC(2)求证:PC=EC(1)证明：连结BP.••△APBs^AECANACE:NAPB由例4结论得NAPB=90°ANACE=90° 即AC±EC(2)证明：连结BD,V