2017学年高级中学高三下第一次月考数学试卷

2016-2017学年浙江省杭州高级中学高三（下）第一次月考数一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1（4分）设集合A={y|y=sinx，x∈R}，集合B={x|y=lgx}，则（∁RA）∩B（ A（﹣∞，﹣1）U（1，+∞）B．[﹣1，1] C（1，+∞）D．[1，+∞）2（4 B．2+2i 3（4则a取值范围是（ C．a≥﹣34（4分）已知函数f（x）=sin（πx+φ）的部分图象如图所示B，C是该图象的值为（）A．﹣1B．C．：5（4分）抛一枚均匀硬币，正，出现的概率都是，反复投掷，数列{an}定义， ，则：＞0的概率为（A．B．C．6（4分）已知函数（x=﹣x3+2f（2xn=f（2则二项式展开式中常数项是（）A7项B8项C9项D107（4别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心 A．B． （4 A．B．﹣C．9（4R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为 B． 10（4 A．B．C．二、填空（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题436分311（6 ； 312（6分）抛物线x=ay2（a≠0）的焦点坐标是 13（6X01234P若离散型随量Y满足Y=2X+1，则 14（6若，则 tanβ的最大值 15（4分）已知等差数列{an}满足，列{bn}的前n项和为Sn，则S100的值 16（4 夹在两条斜率为﹣的平行直线间，且这两条平行直线间的最短距离为m，若点P（x，y）∈Ω，且mx﹣y的最小值为p，的最大值为q，则pq等于 17（4a＜0（3x2+a（2x+b≥0 三、解答题（本大题共5小题，共74分18（14△ABCABCac•求△ABC若sinA：sinC=3：2AC边上的中线BD19（15F（0，1平面上的动点，且过点P作直线l的垂线，垂足为Q，满足：．求动点P的轨迹CC上求一点MM到直线y=x﹣3的距离最短，并求出最短20（15（1）若t=0，求证：当x≥0时，f（x+1）≥x﹣（2）若f（x）≥4x对任意x∈[1，+∞）恒成立，求t21（15y轴的交点为B，且经过F1，F2点．求椭圆C1设M（0，，N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．22（15n且为常数n若a1，2a2，3a3依次成等比数列，求a1的值（用常数c表示设bn=，Sn是数列{bn}的前n项和求证：求证 2016-2017学年浙江省杭州高级中学高三（下）第一次参考答案与试题解一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1（4（2016• A（﹣∞，﹣1）U（1，+∞） C（1，+∞）y=sinxARAA的补集，求出y=lgx的定义域确定出A补集与B的公共部分即可求出所求的集合．【解答】解：由集合A中的函数y=sinx，x∈R∴∁RA=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞由集合B中的函数y=lgx∴B=（0，+∞（∁RA）∩=（，+∞故选C2（4（2017实根b，且z=a+bi，则复数z的共轭复数等于（ B．2+2i x2+（4+i）x+4+ai=0（a∈R）转化为实系数方【解答】解：方程x2+（4+i）x+4+ai=0（a∈R）可以变为由复数相等的意义得解得x=﹣2，a=2，方程x2+（4+i）x+4+ai=0（a∈R）bb=﹣2，所以复数所以复数z3（4（2010q的充分不必要条件，则a取值范围是 C．a≥﹣3∴p：x＞1或∵￢p是￢q∴qp∴p定义为集合P，q∵q：x＞a，p：x＞1或【点评】本题综合了充分必要条件，与命题之间的关系，结合不等式求解，4（4（2017B，C是该图象与xC的直线与该图象交于D，E点，则（+）•（﹣）的值为 A．﹣1B．C．知点C为DE的中点从而并且代入∴D，E关于点C∴C是线段DE∴==故选5（4（2012，反复投掷，数列{an}定义：，，则S4＞0的概率为（ A．B．C．【分析S4＞0表示反复抛掷4次硬币其中出现正面的次数是三次或四次，利用n次独立重复试验恰好出现k次的概率能够求出S4＞0的概率．【解答】解：S4＞0表示反复抛掷4次硬币，其中出现正面的次数是三次或其概率 好出现k次的概率，属于中档题．6（4（2010•式展开式中常数项是（ A7项B8项C9项D10f（x=﹣3x2+2f（2=﹣12+2f′（2，可得满足常数项的r的值，进而可得答案．f′（x）=﹣3x2+2f′（2令x=2f′（2）=﹣12+2f′（2进而有则的二项展开式为12﹣r=0

9项，故选C．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意项数与中次数的关系7（4（2015•为F1，F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限Pl1l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是（）A．B． 【分析】由双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2Pl1y，知ay=bc﹣bx，由ay=bx，知P（，，由此能求出离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点Pl1上，∴F1（﹣c，0）F2（c，0）P（x，y渐近线l1的直线方程为y=x，渐近线l2的直线方程为y=﹣ ，即∵点Pl1上即∴bx=bc﹣bx即x=，∴P（， ∴4a2=c2，即∴离心率e==2．故选C．8（4（2016 A．B．﹣C．【解答】解：∵|2|=2，|设的夹角为则||2+8|∴在方向上投影为||cosθ=﹣=﹣（+ 9（4（2012实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为 B． 利用基本不等式求得的最小值为8，可得的最小值．【解答】解：∵已知a＞bax2+2x+b≥0对于一切实数x再由∃x0∈R， +2x0+b=0成立，可得 = = ．令=t＞2，则==（t﹣2）+4+≥4+4=8，故的最小值为8，故的最小值为 故选10（4（2017•则实数a的取值范围是（ A．B．C．【解答】解：由ln|x|﹣ax2+=0得ax2=ln|x|+∴方程等价为a=，设f（x）= 则函数f（x）当x＞0时，f（x）=则f′（x）===由f′（x）＞0得﹣2x（1+lnx）＞0，得1+lnx＜0，即lnx＜﹣1，得0＜x＜，此即当x＞0时，x=时，函数f（x）取得极大值f（=（﹣1+）e2=作出函数f（x）要使a=则满足0＜a＜e2，二、填空（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题436分 11（6（2017 log ； ．【解答】解：∵xlog34=1，∴x=∴4x==3，4x+4﹣x=3+=故答案为：log43，12（6（2017x=a2a≠0 0）；双曲 的顶点到渐近线的距离 【解答】解：抛物线x=ay2（a≠0，即y2=x，它的焦点坐标是（双曲线的一条渐近线方程为：x+3y=0，它的顶点到渐近线的距离为=，0；13（6（2017X01234P若离散型随量Y满足Y=2X+1，则 【分析】利用数学期望计算、方差的性质即可得出14．（6分）（2017春•下城区校级月考）已知，且若，则 ；tanβ的最大值为【分析（1）将，带入计算即可 （0，0半径r=1的圆与点（3，0）的斜率问题，可得结论．【解答】解：由，化简可得：sinβ（1+sin2α）=sin2αcosβ，则tanβ=若，则 （0，0，（3，0y=k（x﹣3解得k=．∴tanβ的最大值 【点评】本题主要了同角三角函数关系式和最值的转化思想，斜率的应用，15．（4）（2017•）an，数列{bnnSnS100的值为【分析】利用等差数列的通项与“裂项求和”方法即可得出【解答】解：设等差数列{an}的公差为解得a1=3，d=2．∴bn===∴S100=16（4（2017 夹在m（x，y）∈Ω，且mx﹣y的最小值为p，的最大值为q，则pq等于．m再由两点求斜率求出q∵平面区域Ω夹在两条斜率为﹣的平行直线之间且两条平行直线间的最短距离为m，则m==令z=mx﹣y=x﹣y，则y=由图可知，当直线y=x﹣z过B（2，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为p=，=的几何意义为可行域内的动点与定点D（﹣，0）连线的斜率，其最大值q= 17（4（2017a＜0（x2+a（x+≥0上恒成立，则b﹣a的最大值为（3x2+a（2x+≥03x2+a≤0，2x+b≤0，结合一次函数和二次函数的图象和性质可得a，b的范围，：∵（3x2+a（2x+b）≥0∴3x2+a≥0，2x+b≥02x+b≥0在（a，b）2a+b≥0b≥﹣2a＞0，此时当x=0时，3x2+a=a≥0不成立，2x+b≤0在（a，b）2b+b≤0若3x2+a≤0在（a，b）上恒成立，则3a2+a≤0，即﹣≤a≤0，故b﹣a的最大值为，三、解答题（本大题共5小题，共74分18（14（2017•求△ABC若sinA：sinC=3：2AC边上的中线BD式及诱导变形，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数，利用平面向量数量积的运算可求ac的值进而利用三角形面积即可计算得解（II）由正弦定理化简可得a=，结合ac=6，可求a，c的值，由于=（ACBD（12分（I）（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，则B=60°．∴S△ABC=acsinB=×=…6（II）∵由sinA：sinC=3：2，可得：a：c=3：2，解得：a=，又∵=（+∴42=2+2+2=c2+a2﹣2∴||=，即AC边上的中线BD的长为…12【点评本题主要考查了正弦定理两角和与差的正弦函数诱导变形，19（15（20171求动点P的轨迹CC上求一点MM到直线y=x﹣3的距离最短，并求出最短（xy（x﹣1（01向量数量积的坐标运算，即可求得动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）法一：设，利用点到直线的距 得M（2，1法二：当与直线y=x﹣3平行，且与曲线相切时的切点与与直线y=x﹣3的距离最短将直线方程代入抛物线方程，则△=0m和x值，即可取得M到直线y=x﹣3的距离最短；当与直线y=x﹣3平行，且与曲线相切时的切点与与直线y=x﹣3点到直线的距离即可求得，M到直线y=x﹣3的距离最短．（Ⅰ）P（x，yQ（x，﹣1，F（0，1∴，，…（4分．∴2（y+1）=x2﹣2（y﹣1所求轨迹为：x2=4y…（6分）（Ⅱ）法一：设，则 到直线y=x﹣ 的距离， 此时M（2，1）为所求．…（12分法二：当与直线y=x﹣3平行，且与曲线相切时的切点与与直线y=x﹣3的距离最设该直线方程为y=x+m，…（7分 ∴M（2，1）到直线y=x﹣3的距离最短，最短距离为．…（12分法三：当与直线y=x﹣3平行，且与曲线相切时的切点与与直线y=x﹣3的距离最设切点为轨迹方程可化为：，切线斜率为则M到直线y=x﹣3的距离为= 则M到直线y=x﹣3的距离的最小值为，此时M（2，1距离的应用，导数的几何性质，考查计算能力，属于中档题．20（15（2017（1）若t=0，求证：当x≥0时，f（x+1）≥x﹣若f（x）≥4x对任意x∈[1，+∞）恒成立，求t令g（x）=ln（x+1）﹣x+x2（x≥0；根据函数的单调性证明即可；（2）问题转化为（t+1）lnx+tx2+3t﹣4x≥0，令根据函数的单调性求出t（1）（x）=x，f（x+）=（x+即证ln（x+1）≥x﹣x2；令g（x）=ln（x+1）﹣x+x2（x≥0则g′（x）=∴g（x）在（0，+∞）即l（x+1）≥x﹣（2）由f（x）≥4x⇒（t+1）lnx+tx2+3t﹣4x≥0，令φ（x）=（t+1）lnx+tx2+3t﹣4x，首先由此时φ′（x）=，令h（x）=2tx2﹣4x+t+1，∴h（x）＞0即φ′（x）＞0，φ（x）在[1，+∞）递增，故φ（x）≥φ（1）=4t﹣4≥0，21（15分（2012•湘潭四模）设椭圆C1：的左、右焦点别是F1、F2，下顶点为AOAB（O为坐标原点，如图．若抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．求椭圆C1设 ，N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ【分析（Ⅰ）抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B，且经过F1，F2B，F1，F2点的坐标，即可求出椭圆的半长轴与半焦距，再求出a写出椭圆方程．（tt2﹣1利用弦长表示出线段PQ的长度，再求出点M到直线PQ的距离为d，表示出△MPQt△MPQ（Ⅰ）B（0，﹣1A（0，﹣2令y=0得x2﹣1=0即x=±1，则F1（﹣1，0，F2（1，0c=1．所以a2=b2+c2=5．于是椭圆C1的方程为：（3分（Ⅱ）设N（t，t2﹣1y'=2x知直线PQt（t21）2﹣0（t2）[t21）2﹣0﹣