信息光学习题答案及解析

..PAGEPAGE10/14信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 .（1）gxd fx; （2）gxf;dx（3）gxf; gx

fhx2;（5）

fexj解（）线性、平移不变；）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变；（4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。combxcomb(x)jx)comb(x)1.2 证明 2 combx

xn

1(x2n)

2

(x2n)

2

2

2 n

n

n当n为奇数时，右边，当n为偶数时，右边＝2

(x2n)所以当n为偶数时，左右两边相等。证明(sincomb(x)

n函数公式xh(x)=0h(x表示h(xxx处的导数。于是i i i1.1所示的两函数的一维卷积。解：设卷积为g(x)。当-1≤x≤01.1(a)所示，图题1.1当0<x≤1时，如图题1.1(b)所示，1 1 1 x x3,

1x03 2 61 1 1即 g(x) x x3

0x1

3 2 6 其它(2xrectx1

x1 x1rect rect（1）

2

（2）

2 2 （3）comb(x)rect(x)(2xrectx1

1x

3rectx1

1 x2.5rect2（）2

2 2

222 2 222（2）设卷积为g(x)，当x≤0时，如图题1.2(a)所示，当0<x时，如图题1.2(b)所示图题1.2 即 g(x)2x 2 （3）comb(x)rect(x)1已知x2的傅立叶变换为

2)，试求 x2 ? x2/2 ? y

x, z 即 y2)2)(ax,

1 abF ,ab由坐标缩放性质

得

a bx2 y

/ z2)

22) x2/2 y2/2.（1

sinc

?

（2）sinc

xcosxdx?解：应用广义巴塞伐定理可得（1）

sinc2(x)sinc2(x)dx

)01)211)220 3 1

1

1 （2）sinc2(x)cosxdx () d() d2

2

2 fxsinc2x.c(x)sinc(2x)c(2x)1rect()rect解： 2 2 3当 1时，如图题1.3(a)所示，32 2当1

1时，如图题1.3(b)所示，2 2当1

3时，如图题1.3(c)所示，2 22G(ξ)的图形如图题1.3(d)所示，由图可知图题1.9 设fxx0，求ep(x0ep(x)ep(jx)dxep(x)ep(jx)dx 0设线性平移不变系统的原点响应为hxstepx.解：由阶跃函数定义step(x)

x0x0 得线性平移不变系统的原点响应为所以系统对解阶跃函数stepx的响应为有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为 h1

xsincx和hxsinc3x.试计算各自对输入函数fxcos2x的响应gx和gx.2 1 2解：已知一平面波的复振幅表达式为xyz方向的空间频率。解：设平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形由题可知，kcoskcoskcos429又因为cos2cos2cos21 所以k2929波长为 29k沿x,y,z方向的空间频率为单色平面波的复振幅表达式为求此波在传播方向的空间频率以及在x,y,z方向的空间频率.1414解：设单色平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式141414由题可知，kcos 114

, kcos 2

, kcos 3又因为cos2cos2cos21 所以k1波长为

k沿x,y,z方向的空间频率为第三章 光学成像系统的传递函数3.1.1(3.1.5)式时，对于积分号前的相位因子1）相对于它在原点之值正好改变π弧度？ah多少？由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a,λdo时可以弃去相位因子（）由于原点的相位为零，于是与原点相位差为π的条件是根据相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点(xo

,y)ox2y2x2y2xxido 2yyo2ii i222

（1）在点扩散函数的第一个零点处J)0，此时应有3.83，即1 o o 0.61 (2)o a将(2)式代(1)式，并注意观察点在原点(x y 0)，于是得i i0.61dr o (3)o a散函数对于原点的贡献h(x,y;0,0)。按照上面的分析，如果略去h第一个零点以外的影o o响，即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近r do

/a范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子exp[jkr2/2do o

]变化不大，而降它弃去。假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(例如π/16)就满足以上要求，kro

/2do

, r216 o

/16，也即dodo

例如λ＝600nm,do=600mm，则光瞳半径a≥1.46mm，显然这一条件是极易满足的。一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为放在图3.1.1所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在xz平o面内，与z轴夹角为θ。透镜焦距为f,孔径为D。求物体透射光场的频谱；使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与时的截止频率比较，结论如何？（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为Aep(jkx,sin)，为确定起见0设θ>0，则物平面上的透射光场为U(x,yo o

)Aexp(jkxo

,sin)t(x,y)o oA

sin 1

sin 1

sinexpj2

expj2

xf

expj2

xf

其频谱为

2

o 2

o

2

o

由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿ξ轴整体平移了sinθ/λ距离。）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统。系统的截至频率 D/4f，于是要求c由此得DsinD

（1）o 4f 4fθ角的最大值为max arcsin4 max arcsin4

（2）此时像面上复振幅分布和强度分布为(1)式和即 f Do 2f

或fomax

D (3)2fθ＝0时，系统的截止频率为 D/4f，因此光栅的最大频率cfo

D (4)c 2f比较(3)和(4系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。光学传递函数在01，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？解：在

H(,)

h(x,y)exp[jx,y)dxdyI i i i i i i(,) I

（1）H(0,0)I

h(x,y)dxdyI i i i i式中，令 h(x,y)

h(x,y)I i ii i

h(x,y)dxdy为归一化强度点扩散函数，因此(1)式可写成

I i i i i而 1

h(x,y)dxdyi i i i是归一化点扩散函数的意义。。对于理想成像，归一化点扩散函数是δ函数，其频谱为常数1的传递都是无损的。当非相干成像系统的点扩散函数h,yI i i数.解：由于hI

(x,yi

)是实函数并且是中心对称的，即有hI

(x,yi

)h(x,y)，I i ih(x,yI i

)hI

(xi

,yi

)，应用光学传递函数的定义式易于证明(,)(,)，即(,)为实函数非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a，出瞳到像面的距离为，光波长为λ率近似为多大？解：用公式(,)

S(,)来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因S0N个小孔的重叠面积除以N样的，即截至频率约为2a/d，由于2a很小，所以系统实现了低通滤波。ivv若光波的波长宽度为vv

。设光波波长为632.8nm,2108nm，试计算它的频宽=?若把光谱分布看成是矩形线型，则相干长度l ?c证明：因为频率与波长的关系为 c(其中c为光对上式两边求导得 dcvd0所以 dv

v

vvv vv因632.8nm,2108nm所以 v1.5104赫有因为相干长度 l ctc c设迈克耳孙干涉仪所用光源为1

589nm,2

589.6nm的钠双线，每一谱线的宽度为0.01nm.试求光场的复相干度的模；当移动一臂时，可见到条纹总数大约是多少？可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？解：假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为（1）光场的复相干度为式中vv2

v，复相干度的模为1由于，故第一个因子是τ的慢变化非周期函数，第二个因子是τ的快变化周期函数。相干时c间由第一个因子决定，它的第一个零点出现 1/的地方，τ即为相干时间，故相干cc长度l(2)可见到的条纹总数 N c

589358930 0.1（3）复相干度的模中第二个因子的变化周期 1/v，故可见度的变化周期 n

v 6 60 0.1每个周期内的条纹数

N58930

982n 60假定气体激光器以Nv为中心频率。为简单起见，假定N为奇数。证明复相干度的模为若N＝30≤τ≤1/Δv，与Δντ的关系曲线。（1）证明：复相干度函数为ˆ)(vexp(j2v)dv 得sin(Nsin(Nv)Nsin(v)所以复相干度得模为 )（2）当N=3时，复相干度的模为在例4.7.1所示的杨氏干涉实验中，若缝光源用两个相距为点光源代替，试计算此时的复相干系数。解：应用范西泰特－策尼克定理得利用傍轴条件计算被一准单色点光源照明，距离光源为z的平面上任意两点P1和P2之间的复相干系数,P2).αx,P1和P2(x1,y1)和(x2,y2)。对于准单色点光源，其强度可表为在傍轴近似下，由范西泰特－策尼克定理得(P

)1,x,y面上的相干面1 2积趋于无限大。

第六章 计算全息一个二维物函数f(x,y)10×10mm5/mm了制作一张傅里叶变换全息图：若采用罗曼型迂回相位编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？若采用修正离轴参考光编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？两种编码方法在全息图上抽样单元总数有何不同？原因是什么？解：(1)假定物的空间尺寸和频宽均是有限的。设物面的空间尺寸为Δx,Δy；频宽为2B,2B.根据抽样定理，抽样间距δx,δy必须满足δx≤1/2B,δy≤1/2B才能使物复原。x y x y故抽样点总N(即空间带宽积SW)为罗曼计算全息图的编码方法是在每一个抽样单元里用开孔的大小和开孔的位间带宽积，即NSW104。要制作傅里叶变换全息图，为了不丢失信息，空间带宽积应保持不变，故在谱面上的抽样点数仍应为N104.对于修正离轴参考光的编码方法，为满足离轴的要求，载频α应满足α≥Bx为满足制作全息图的要求，其抽样间隔必须满足δx≤1/2B,δy≤1/2B。因此其抽样点数x y为两种编码方法的抽样点总数为2元编码一复数；在修正离轴型编码中，每一抽样单元编码一实数。修正离轴加偏置量的目的是使全息函数变成实值非负函数样点数为代价的。解：设物的频宽为(2Bx

,2B)y(1)对于频宽α的选择 光学离轴，由图6.2.5(b)可知，3Bx修正离轴，由图6.2.5(d)可知，Bx载频的选择是为了保证全息函数在频域中各结构分量不混叠。(2)对于制作计算全息图时抽样频率的选择光学离轴全息，由图6.2.5(c)可知：在x方向的抽样频率应8Bx

xx1/8B。x在y方向的抽样频率应4By

x1/4B。y修正离轴全息，由图6.2.5(e)可知：在x方向的抽样频率应4Bx

，即x方向的抽样间距x1/4B。x在y方向的抽样频率应2By

x1/2B。y一种类似傅奇型计算全息图的方法，称为黄氏(Huang)加入物函数本身，所构成的全息函数为解：把全息函数重写为物函数为 f(x,y)A(x,y)exp[j(x,y)]并且归一化的，即A(x,y) 1，参考光波R＝1。经过处理后的振幅透过率为max其频谱为设物的带宽为2Bx

,2By

，如图题6.3(a)所示。全息函数的空间频谱结构如图题6.3(b)所示，载频2B。x黄氏全息图的空间频率结构如图题6.3(c)所示，由此可得出：在x方向的抽样频率应6Bx

，即x方向的抽样间距x1/6B。x在y方向的抽样频率应2By

x1/2B。y.抽样点数即空间带宽积为NSWx y12xyBB.x y黄氏计算全息图的特点：SW8xyBBx y空间带宽积的优点。

)，不具有降低黄氏全息图具有更高的对比度，可以放松对显示器和胶片曝光显影精度的要求。罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径形式，如图题6.1所示.利用复平面上矢解：对于Ⅰ型和Ⅲ型，是用Ax来编码振幅A(x,y)，用dx来编码相位(x,y)，在复平面上用一个相幅矢量来表示，如图题6.4(a).对于罗曼Ⅱ型是用两个相同宽度的矩孔来代替Ⅰ，Ⅲ型中的一个矩孔。两矩孔之间的距离是变化的，用这个变化来编码振幅A(x,y化。两个矩孔中心距离抽样单元中心的位移量用作相位(x,y)矢量的合成方向即表示了(x,y6.4(b)所示。第八章 空间滤波照明下的最小分辨距离公式比较。解显微镜是用于观察微笑物体的可 sin近似看作一个点物近似位于物镜的前焦点

D/2f上。设物镜直径为D，焦距为f，如图8.1 为分辨距，即所示。对于相干照明，系统的截止频率由物 对于非相干照明由几何光学可知其分辨镜孔径的最大孔径角θo决定，截止频率为 为sino

/。从几何上看，近似有非相干照明时显微镜的分辨率大约为相干照明时的两倍。4f632.8nm级衍射斑，并且相邻衍射斑间距不小于解：设光栅宽度比较大，可近似看成无穷，设周期为d，透光部分为a数可表为其频谱为即谱点的位置由x /fm/d决定，即m级衍射在后焦面上的位置由下式确定：2相邻衍射斑之间的间距 xf/d由此得焦距f为 f

xd

2/406328107

79(mm)大空间频率应满足于是求得透镜直径观察相位型物体的所谓中心暗场方法，是在成像透镜的后焦面上放一个细小的不<<1。其频谱为 T(,)j(x,y1 1

)(,)j(,)若在谱平面上放置细小的不透明光阑作为空间滤波器滤掉零频背景分量则透过的谱为 TM(,)j(,)再经过一次傅里叶变(在反演坐标得 tM(x,y)j(x,y)3 3 3 3强度分布为因此在像面上得到了正比于物体相位平方分布的光强分布目的。不过光强不是相位的线性函数，这给分析带来困难。当策尼克相衬显微镜的相移点还有部分吸收，其强度透射率等于α(0<α<1)求观察到的像强度表示式。解：相位物体的频谱为现在用一个滤波器使零频减弱，同时使高频产生一个±π/2的相移，即滤波器的透过率表达式为于是 TM(,)H(,)T(,)j(,)j(,)像的复振幅分布为 tM(x,y)jj(x,y)3 3 3 3像强度分布为像强度分布与相位分布成线性关系，易于分析。用记录一帧图像透明片，设扫描点之间的间隔为最高空间频率为的形状和尺寸应当如何设计？输出图像的分辨率如何设傅立叶变换物镜的焦距f＝1000mm,λ=632.8nm)。其频谱为在上式的化简中应用了公式位置为点状结构是高频，所以采用低通滤波将其滤掉。低通滤波器圆孔半径为能传递的最高空间频率为即高于51/mm的空间频率将被滤掉，故输出图像的分辨率为51/mm。某一相干处理系统的输入孔径为30mm×30mm的方形，头一个变换透镜的焦距为100mm，波长是632.8nm片在焦平面上的定位必须精确到何种程度？解：考虑到系统孔径有限，一般用几何光学近似，引入光瞳函数P(x,y),达式为f(xy1 1

)，它的频谱分F(,，透镜后焦面上的场分布式中x/,y /。由U 的表达式可见，频谱面上能分辨的细节由2 2 fsinc(30sinc(30sinc函数由最大降为零的宽度取为最小分辨单元，即要求满足3030x /1，于是有2因为频谱平面模片也有同样细节，所以对准误差最大也不允许超过它的一半，约1μm.第九章 相干光学处理参看图9.1.1透光部分间距分别为a和a≠b解：如图题9.3所示，先将t(x)展开成傅立叶级数式中所以第一次曝光得对于t(x)是将光栅向x(a+b)第二次曝光得即图像和的信息受到光栅偶数倍频的调制，图像差的信息受到光栅奇数信频的调制。VanderLugt9.1(左射率为s(x,y)强度，并使显影后底片的振幅透射率正比于曝光量。这样制得的透明片放在图题9.1(右)的d应为多少，才能综合出：脉冲响应为s(x,y)的滤波器？脉冲响应为s*(x,y)的“匹配”滤波器？（）参看图题9.1左，设物面坐标为x1,y；胶片坐标为

,y。则参考光波在记录胶片上造成的场分布为

1 2 2U(x,y)Aj2y) （1）r 2 2 2式中A为常数，α＝sinθ/λS(ξ,η)s(x1,的频谱，且。胶片上的光强分布为I(x,y)U(x,y)U(x,y)22 2 r 2 2 1 2 2 x2

y2 A2

C2S(,)2CAS(,)expj2

2

(2) x2

y2

2f

2CAS(,)expj2 2 2

2f

2将曝过光的胶片显影后制成透明片，使它的复振幅透过率正比于照射光的强度，即t(x2,y2)I(x2,y2) （3）将制得的透明片作为频率平面模片，放在图题9.1右所示的滤波系统中。要综合出脉冲响应s(x,y)或s*(-x,-y)，只要考察当输入信号为单位脉冲δ(x,y)时，在什么条件下系统的脉冲响应为s(x,y)或s*(-x,-y)。参看右图，当输入信号为δ(x1,y1)时，在L2的后焦面上形成的光场复振幅分布，根据公式cexpjk

(fd

)(x2y2)

t(x,y)expjk

f(x

xy

y)dxdyU(x,y)

q(f

d)fd

o o o o

q(fd)fd o oo o o o得U(x,y

)exp j

dx

y2

(x,y)expj

(xxyy)2 1 2 2

dxdy2 2 2

f 1 1

21 2 1 1 1 dx22

y2expj2 1f 2

(4) 2f 透过频率平面模片得光场分布，由(2)，(3)