数学三个世界的理论简介

数学三个世界的理论简介

建构主义认为学习即发展，教学的作用在于根据学生实际需要帮助其发展.2004年DavidTall以建构主义理论为基础，结合当代认知科学、信息科学、新皮亚杰主义等研究成果创立了数学的三个世界理论.该理论重新划分了认知层次，更加合理地解释了人的认知发展过程.本文旨在阐述该理论在促进学生发展过程中的作用.一、数学的三个世界理论结构概念—具体化世界：以对世界的感知为基础，通过反思、利用语言形成精致的意义.不仅包括对外部世界的认识，也包括对主体内部世界的感知.在这个世界中数学学习的对象是具体的、形象的、可见的，简称具体化世界.过程—符号化世界：开始于过程操作，通过符号的使用实现由“解决数学问题”到“进行数学思考”的思维转换.在这个世界中数学学习对象具有“符号过程性”和“符号概念性”两面特征.“符号过程性”是指具体化数学世界的操作过程，“符号概念性”则是指通过对这个操作过程的概括、抽象等心智活动得到的数学对象，简称符号化世界.公理—形式化世界：以学习对象的性质为基础，通过高度抽象，主要是对符号世界进行自反抽象，发展为形式化定义，有时需要通过进一步证明发展为形式化公理，简称形式化世界.Tall认为，人的认知过程是以“前集”与“前变量”为基础，经数学的三个世界得以发展的.“前集”表示的是一种与生俱来的心理结构，有三种“前集”对长期学习过程中的认知发展起作用，它们分别是识别、重复、语言；“前变量”即为个人以往的经验在大脑中建立的联结，它能够对以后的学习产生影响.二、利用数学三个世界形成认知结构该理论受认知科学的启发，认为识别是人的一种基本能力.人们通过识别周围的事物来形成模型，从而确定与其他事物的相似性和差异性.与建构主义相比，该理论肯定了“重复”对形成认识所起的作用，重复能加强联结并促进自动化操作的形成.同时该理论也接受认知科学的观点，认为语言是人的天赋才能的一部分，能帮助人们描述认知对象的性质，提取出精致含义.Tall在论述“前变量”的作用时，一方面继承了建构主义关于经验对认知发展作用的论述，另一方面又说明原来的经验可能会对认知发展产生积极和消极两方面的影响，因此在认知过程中应根据需要对以往的经验进行重新提取.人们以“前集”为认识事物的生理基础，利用它确定认识范围；以“前变量”为认识事物的社会基础，利用它解释新的实践，经具体化操作、符号化表征、形式化公理表征形成认知结构.在新认知层次上，以形式化具体和形式化抽象为基础向更高层次发展（如下页图1所示）.Tall用矢量概念的学习为例说明学生认知形成过程.学生学习矢量知识的“前集”是：通过对物理中速度等概念的学习，学生能识别现实中基本的矢量模型，并能用语言表述它们的共性，具备简单的重复操作能力.学生学习矢量知识的“前变量”是：学生已经形成对速度、力等简单矢量的认识.在课堂上让一个学生到讲台上伸出五个手指摁在黑板上，另一个学生把三角板放在黑板上，让学生把手沿着尺子移动，标记五个指头的起点和终点，并用箭头联结，形成矢量的具体化认识.然后让学生测量每个箭头的长度和方向，发现这些箭头的长度和方向一样，形成自由矢量的概念，自由矢量相加按照首尾依次连接即可.当把自由矢量起点放在坐标原点时，测出终点的坐标，让学生理解矢量的坐标表示.因此矢量可以用箭头、字母、坐标表示，进而形成符号化认识.教师进一步拓广矢量的形式化表示方法，即任意矢量可以写成的形式，并且矢量各列可以组成矢量集合，建立形式化认识.经过以上程序，教师帮助学生确立这样的认知结构：矢量在物理中是具体的，并有各种不同的表现形式，或者可以用有大小和方向的量表示；把矢量用字母表示形成符号，矢量的符号运算利用“结果等价”的方式实现转化；矢量的形式化概念用矢量集合的方式定义，形式化运算法则作为公理使用.三、利用数学三个世界拓展认知结构该理论认为，知识之间是相互联结的.即把认知过程看成一个由大量简单的加工单元组成的联结网络动态系统.认知的各部分是高度互动的，通过大量简单的单元相互作用以网络模式处理信息.建立长期神经联结时需要加强有效联结，同时抑制其他联结；数学认识以“前变量”为基础，利用语言描述将其压缩成完善的可以想象（thinkable）的概念，经具体化、符号化、形式化的表征进行累积性建构；在应用该结构时，通过概念的结构融合建立联系从而形成一般图式；将先前的概念结构重新组织会产生创造性思想，再用具体化、符号化、形式化方式加以解决，使概念结构向更高级形式发展.该理论认为，学生认知结构的拓展主要是通过知识融合的方式实现的.知识融合指将两种或多种不同的知识合成一体的过程，由于学生在此过程中不断产生认知冲突，因而推动了认知的发展.知识融合被认为是一个创造过程，可以在更高水平上进行分析组合，从而更新认知结构、促进认知的发展.Tall以数系概念的扩充为例说明了认知结构融合发展的过程.我们最初对整数有这样的认识：每个整数下面还有一个整数，加和乘使结果越来越大，减去一部分结果就会变小.而当出现负数和分数时情况发生了变化，减去负数变大，而乘以分数会变小，于是我们需要把数的范围由整数拓展到有理数.随着实践范围的扩大，不断产生新的认知冲突.当我们测量一个两直角边是有理数的直角三角形时，发现斜边不一定是有理数；非零实数平方是正数，而复数的平方可以是负数.因此需要重新定义数系，从而产生新概念.正如Hilbert所说：“新概念需要相应的新符号，在形成新概念时，这些符号可以帮助我们记忆”.四、在形成数学三个世界过程中培养学生的抽象能力该理论认为抽象是一个人的自然机制.人类通过具体操作感知周围的事物，通过内部抽象形成特殊和一般认识.在认识事物时由于人脑作用的范围是有限的，因此必须将知识压缩后才能提取信息.即人们通过对事物本质层面的把握在头脑中形成整体认识，并利用语言的描述形成一个可以想象的（thinkable）概念，通过建立概念之间的联结把它们联系起来.人们通过重复提高联结的水平，将刺激加强到一定水平联结将会自动激发，通过长期的加强作用可以建立有效的联结并长期控制着其他联结.该理论认为压缩是一个自然过程.人们通过对事物显著特征的认识，感知其内在的本质进而形成一个概念.抽象可以通过认识对象的性质，将其分解成不同层次再进行压缩；也可以通过考虑操作过程，将其压缩成算术中的运算符号、代数中的公式符号、积分符号等；也可以先认识对象的性质，分阶段的压缩后，用集合理论和数学证明推导出其他性质，进而形成一个概念或公理体系，以这样的方式实现压缩.因此概念—具体化、过程—符号化、公理—形式化代表三种不同的抽象方式.Tall用函数概念的学习过程说明这个观点.通过尝试具体化数字之间的对应，抽象出一般对应关系并用符号对其表达.观察集合对应的特点，可知在集合A中每个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，从而形成形式化函数概念.在使用过程中出现了很多的函数如一次函数、二次函数、三角函数、指数函数、对数函数.它们各自性质不同，但是都具有函数的共性，从而使已形成的联结得到强化.学生在学习过程中通过观察函数图象，描述、运用函数性质等操作，将这些函数进一步抽象形成初等函数一般性质，使原有认识进一步得到刺激，达到能运用自如的效果，从而提高了联结水平，构建起初等函数的理论体系.五、利用数学三个世界开发学生的创新能力该理论认为知识之间是相互联结的，因此主张运用联结主义教学模式.从本质上讲该模式倡导合作学习，采用“创设情境—分组探究—合作交流—归纳总结”的方式进行.该模式主张，学生在学习中基于先前的经验作出合乎逻辑的假设，并通过积极主动的参与来完成知识的建构.而教师仅仅作为辅导者安排课堂活动，帮助学生建立知识间的联结，指导他们分组探索，共同接受问题的挑战和分享成功.教师通过准确把握知识和思维的联结点，引导学生不断深入探索；设置具有挑战性的问题让学生在解决问题过程中不断增强信心和能力；通过与学生互动交流使大多数学生基础更加扎实.该模式按照输入信息、激活信息、建立联结、提取和检索信息顺序进行教学.我们以导数概念教学为例说明联结主义模式的应用过程：（1）讨论变化率：观察汽车运动，苹果落地的动画提出问题——怎样度量变化的快慢（输入信息）；由学生讨论不同时间内的不同速度的运动，找出比较变化快慢的方法，形成变化率的概念（激活概念）；把一段时间变成瞬时间，形成瞬时速度（深入激活联结）；让学生观看不同战斗机起飞过程，进一步理解瞬时速度（强化联结）.（2）分析应用概念：为了反映变化率大小引入导数概念（激发联结点），与学生一起剖析定义，与极限概念作比较，说明是变化量之比的极限，进一步理解导数概念，并结合图象理解其几何意义（形成知识联结）；利用定义计算点的导数并进行比较（强化输入信息），然后转化到求一般变量导数（进一步激活概念）；与学生一起求常见函数的导数（强化输入），验证定义正确性得出简单函数求导公式（建立知识间联结）.（3）利用练习与作业加以巩固（对输入信息检索和提取）.教师在知识联结点上不断激发，使学生处于探究高度兴奋状态，从而主动建构起知识体系.教师在考虑学生原有的知识、生活经验和联结能力基础上，不断在知识、思维联结点处激发学生.学生在分组合作