经济学中的计算方法 课程

二叉树模型在股票及股票期权定价中的应用摘要：本文介绍了期权在历史中是怎样形成的，并且在现代金融学快速发展的情况下，如何运用数学工具对其定价。期权定价领域中一个有用并常见的工具是所谓的二叉树方法，这里的二叉树是指代表在期权期限内可能会出现的股票价格变动路径的图形，这里股票价格被假定为服从随机漫步，在树形的每一步，股票价格具有一定的概率会向上移动一定的比率，同时股票价格也具有一定的概率会向下移动一定的比率。在极限状况，即步长足够小时，二叉树中的股票价格趋于对数正态分布，而对数正态分布正式布莱克-斯科尔斯模型关于股票价格的假设。关键词：二叉树期权定价与其它衍生产品相比,期权市场的发展有着更为漫长和曲折的历史。期权交易的第一项记录是在《圣经·创世纪》中的一个合同制的协议，里面记录了大约在公元前1700年，雅克布为同拉班的小女儿瑞切尔结婚而签订的一个类似期权的契约，即雅克布在同意为拉班工作七年的条件下，得到同瑞切尔结婚的许可。从期权的定义来看，雅克布以七年劳工为“权利金”，获得了同瑞切尔结婚的“权利而非义务”。除此之外，在亚里士多德的《政治学》一书中,也记载了古希腊哲学家数学家泰利斯利用天文知识，预测来年春季的橄榄收成，然后再以极低的价格取得西奥斯和米拉特斯地区橄榄榨汁机的使用权的情形。这种“使用权”即已隐含了期权的概念,可以看作是期权的萌芽阶段。也许令人印象更加深刻的是17世纪荷兰的郁金香事件，疯狂的投机损害了期权在人们心目中的形象，直至100多年后，伦敦期权交易也依然被认为不合法。1990年，哈里·马科维茨（HarryMarkowitz），威廉·夏普（WilliamSharp）和默顿·米勒（MertonMiller）获得诺贝尔经济学奖，让金融学进入了一个新领域，从此，人们开始更加科学化的研究股票的价值，使得传统金融发展为现代金融，现代金融理论的核心问题是金融衍生物定价问题。1994年8月，国际互换和衍生协会(interllatiollalswaPsandderivativesassoeiation，ISDA)在一份报告中对金融衍生品做了如下描述“衍生品是有关互换现金流量和旨在为交易者转移风险的双边合约。合约到期时，交易者所欠对方的金额由基础商品、证券或指数的价格决定”。期权和期货是金融市场中比较重要的两类金融衍生物，期权是持有人在未来确定时间，按约定的价格向出售方购入货出售一定数量和质量的原生资产的协议，但他不承担必须购入或卖出的义务，期权按合约中有关实施的条款可以分为欧式弃权和美式期权，欧式弃权只能在合约规定的到期日实施，美式期权可以在合约规定的到期日之前（包括到期日）任何一个工作日实施，齐全按合约中购入和销售原生资产可以分为看涨期权和看跌期权，看涨期权是一张在确定的时间，按照确定的价格有权购入一定数量和质量的原生资产的合约，看跌期权是一张在确定时间，按照确定的价格有权出售一定数量和质量的原生资产的合约。期权定价问题是金融衍生物定价问题中的重要问题之一，二叉树是由考克斯、罗斯和鲁宾斯坦（Cox,Ross,Rubinstein）首先建立，本文在风险中性的市场中如何利用复制来化解风险，运用二叉树模型对欧式弃权进行定价，并利用Matlab进行了二叉树的多步实现。与马克维茨的均值-方差分析相比，期权在风险管理、组合投资方面具有着本质的不同和明显的优势。理论和实践均表明，只要投资者合理的选择其手中证券和相应衍生物的比例，就可以获得无风险收益。这种组合的确定依赖于对衍生证券价值的合理预期。当然，期权持有者也必须为自己获得的权利付出“代价”，这就产生了期权定价问题。1.单时段二叉树模型起点和终点分别记时刻0与时刻１，ｈ和t分别表示一枚硬币的正面和反面，时刻０股票价格为Ｓ０＞０，时刻１股票价格将为Ｓ1（h）或Ｓ1（t），上升因子为ｕ＝Ｓ1（h）/Ｓ0，下降因子为ｄ＝Ｓ1（t）/Ｓ０，ｒ为利率假设０＜ｄ＜１＋ｒ＜ｕ，定义如果抛掷硬币结果为正面衍生证券在时刻１的支付为V1（h）如果抛掷硬币为反面衍生证券在时刻１的支付为V1（t）欧式看涨期权和欧式看跌期权是特殊的衍生证券欧式看跌期权在时刻１的支付为（Ｋ-Ｓ1）+欧式看涨期权在时刻１的支付为（Ｓ１－Ｋ）+，其中Ｋ是到期日的敲定价格。为确定衍生证券在时刻０的价格Ｖ0,我们将利用复制期权的方法。假设初始财富为Ｘ０，在时刻０买入Δ０份股票，现金头寸为Ｘ０－Δ０，Ｓ０在时刻１股票与货币市场账户的资产组合价值为，词选择Ｘ榜０辅和根Δ权０显，辫使得Ｘ街１威（冲Ｈ检）＝Ｖ释1慈（撕Ｈ咳）和Ｘ侧1循（药Ｔ育）＝Ｖ吊1该（孔Ｔ舌）白为使衍生洋证券得以复忌制必须有童如果选取赛，使得荐由以上对冲饶衍生证券的株空头睁，到时刻1晋支付为多V估1扎的衍生证券花在时刻回0被的定价应为里2.多时段弯定价模型宪我们将上面专单时段模型难推广到多时收段混，陈考虑一个Ｎ夕时段二叉树请资产定价模出型其中幼0＜d现＜１＋插r却＜非u殊并且阻，廊定义如上抽。咽设绵V歼N忽为一个随机横变量旬（绸衍生证券在委时刻Ｎ的支知付商）。屑它取决于前次Ｎ次抛掷硬灿币过程泥W社1秀,W伏2绞···故W系n，牙对于鹅0劈到帆N突之间的锻n，中衍生证券在掘时刻迎n讽的价格有风祸险中性定价沿公式治给出，像进一步悄在矩之下蚂，钞衍生证券的窃贴现价格是烂一个鞅亏，宽即扔n=0全，1，令···迷n-1班3.隐含波爹动率在期权玉定价中的应彩用乞迷通过大量实浪证研究表明艇，应用期权岔的市场价格抱和B-S公胁式推算出来愿的隐含波动凯率具有以下缝两个方向的易变动规律：杰波动率微笑菊（vola半tilit馋ysmi邮les）与葛波动率期限橡结构（vo续latil莫ityt缘erms管truct顺ure）。果首先介绍波羡动率微笑。券Black奖-Scho灿les橡模型的假设纠前提是，标睬的资产价格薪服从几何布撇朗运动且其锅波动率固定暑不变。抛开郑复杂的数学候定义和推导屿，我们单从赔形态上观察池，分别以执兆行价格和隐营含波动率为母横纵坐标轴碰，隐含波动抱率常常呈现初“吊微笑央”魄形态，即对检于具有相同码到期日和标善的资产而执誓行价格不同嫂的期权，这佣些期权的执顿行价格偏离搭现货价格越削远，那么它视的隐含波动依率越大，看春起来像个笑畏脸，波动率脂微笑也因此麻得名。为册图1：波动构率微笑耽为什么会出榆现这种现象阁呢？有很多抚种解释，第若一种是资产梳价格非正态叠分布说。这云种理论认为洲，标准烫Black驰-Scho翻les串模型假定标邀定资产价格壳服从对数正著态分布，收夸益率服从正叨态分布。但蹲是大量实证鸽检验发现收贺益率的分布殃更加显示出缝尖峰厚尾的酷特征。这种改分布下收益读率出现极端猎值的概率高悉于正态分布删，如在上式危中采用收益肥率正态分布拆假设，则低农估了较大和呢较小到期期算权价值出现救的概率相应妖低估了深实心值和深虚值烦期权的价格拐。第二种是毙期权市场溢宽价说。从市村场上看，平新价期权以实魄值状态结束借和以虚值状逮态结束的概横率基本相同叔，其时间价莲值最大，供订给和需求基捆本平衡。深射实值期权的识Delta嘴值接近待1结，在投资中羡的杠杆作用坐最大，需求磨量很大。但弓是除非投资侵者预期标定授资产的价格博会有一个根昼本性的变动有，一般不会氧出售深实值寸期权，供给管量较小。因捐此深实值期谷权的溢价较军高，其隐含害波动率也较债高。对相同乡协定价的看炸涨期权和看燕跌期权，当轻一个处于深淡实值状态时振，另一个必部然处于深虚混值状态。根劫据看涨看跌踪平价关系，蜜这两个期权漫的波动率应标当大致相同喘。可见实值贩看涨期权的摄溢价也会造岔成虚值看跌捐期权的溢价吵，从而呈现忍隐含波动率熄“笑微笑兴”羽。当然，除鸣了这两种解陷释，学者们灯还提出了其郊他解释，如梦资产价格跳热跃过程说、洋资产价格预耀期说、交易狮成本不对称占说等等。姨再来解释另舰一个概念丘——墙波动率期限袜结构，也被找称为波动率吉偏度，是指洲对于相同标笼的物和执行候价格而到期汪日不同的期芒权，这些期录权的隐含波讲动率同期权阁有效期限之厅间的关系，猎称为波动率命期限结构。饱一般来说，住当短期的隐采含波动率较语低时，波动玻率往往是期狠限的递增函屑数，因为这俱时波动率预训期会升高。率类似地，当棕短期的隐含骑波动率较高解时，波动率猎往往是期限晋的递减函数故，因为这时券波动率预期振会减小。殖拉国外的交易丈员常常结合挪波动率微笑狱和波动率期笛限结构来为指期权定价，何方法是建立涨一个波动率卸矩阵（表格赌形式），一蚕边填上期权读的执行价格森，一边填上择期权的剩余碰期限，表中予其它空位对颗应的是由定施价模型推倒踢出的期权的设隐含波动率蛾。在任意给求定时间，交剥易员往往选宴定一些市场逢价格比较可吧靠的期权价延格数据（这嗓些期权大多嫩平值期权，笑非深度实值块，非深度虚随值期权，且池交易活跃）智，对应于这尺些点的隐含男波动率可以故直接由市场羊价格来求得群，并输入到俭波动率矩阵脏中，波动率周矩阵上其它嫌点的数据常沈常是通过线堤性插值计算和得出的。当贝要对一个新颗的期权定价揪时，我们可恳以在波动率异矩阵中选取验适当的数据休。举个例子屠，如表虑1采所示，对一岗个滨9梢个月到期，俯执行价格为慧100微美元介/店桶的原油期仪权定价，我林们可以从矩止阵中选取执傍行价格为员100座美元凑/矛桶的那一列如期权隐含波奴动率来对此蕉9冒个月到期的值原油期权进蜡行插值，作绝为该期权隐拌含波动率的睡估计，此估汇计可以用于越Black蹈-Scho个les责公式以求出们期权价格，抗该价格将投拿资者对市场努价格预期考稠虑进去，因灯此具有较高尿的参考价值头。租电期限撒执行价格螺70到80储90拘100贝110耕1个月史14.2孝13.0桥12.0唐13.1伤14.5口3个月击14.0芬13.0牺12.0需13.1灯14.2书6个月颜14.1尝13.3皇12.5亭13.4革14.3易1年电14.7稀14.0奥13.5凭14.0组14.8反2年壤15.0蛮14.4奸14.0淡14.5王15.1莲5年晒14.8赤14.6妙14.4与14.7恢15.0表一卧四：美式期去权定价模型维在欧式二叉柴树的基础上徐，接下来考忆虑美式二叉串树。与欧式直二叉数不同溜的是，美式禽期权中的二早叉树的最后集一个节点的并价格为欧式柱期权的价格僚，而之前任嚷一节点期权匪的价格等于赠以下数量的英极大值：故由互欧式期权抚所计算的值今；角提前行使期拾权的收益。买由此可见，筋美式期权中跌使用二叉树此进行期权定纵价的原理与否欧式中的大毫致一样，故桌计算多步二尤叉树时，仍份然可以使用泪前面的思想允，将多步二蝇叉树分解成武多个单步二骤叉树。为此策，在下面的刷过程中先考绸虑没事中的暴单步二叉树粮的计算，在倚考虑多步二串叉树的计算今。休1、单步二鄙叉树微由于单步二催叉树中的期内权定价还与厕期权的类型耻有关，下面坡将分看涨与玩看跌期权分化类讨论。帝（1）看涨堂期权昨股价上涨时际，期权的价光格为量，若股票下思跌时，则期巷权的价格为痒，贯由欧式期权赤价格模型颤可知，幸,此时（初飞始时刻），嘉将股票抛出个，则收益为假，（斗为股票在初克始时刻价格耗以及期权的纳执行价格）惭：甚情形1、若摔，则这份期旋权的最佳收淘益从为杜；旬情形2、若内，则这份期库权的最佳收兼益更仍为乐；所以，序凉野合（2）看跌泛期权忧股价上涨时芹，期权的价样格为淹，若股票下呈跌时，则期碍权的价格为朽，由式（5较）可知，罩,此时（初然始时刻），伙将股票抛出祝，则收益为灯，（福为股票在初雁始时刻价格详以及期权的秃执行价格）千：航情形1、若贿，则这份期拔权的最佳收就益艳为晨；狠情形2、若释，则这份期完权的最佳收粗益身仍为期；荒暑纵2、多步二仰叉树宗上面我们讨据论了陪单步生二叉树模型励给印美式懂股票期权定垮价。照接下来讨论挺多步止二叉树模型更对嚷美式股票期晨权定价。咱冤假设股票价圾格经历了内个时间步的克演化到达期岗权到期日，购且每一个时谢间步长为僵，这可用一觉个晨步二叉树搞描述（图形枯省略）。若娇股票的初始颜价格为尘，且每经过叫一个时间步玩，股价或向枣上增加到当利前价格的挣倍，或向下凉下降到当前亡价格的喷倍，无风险涛利率为的菌，则在第雨个时间步斜后，二叉树挨上产生齿个节点，自蚁上而下分别哥用良表示，则见节点森对应的股票写价格为侵期权价值用赶表示。如果生在节点哲处期权没有奸被提早执行献，则期权价拨值据可通过式(矮8.2)和躲(8.3)厨来计算，即周如果在节点演处期权被提愁早执行是最挂优的，则期真权价值芹就是提早执此行的收益（咐payof峡f），令斯为期权的敲杏定价缩，写对股票看涨体权，有淋伐态屑透威仗典鹿朴对股票看跌配权，有灯敢袭倦殿储缝书与节显然，美式漂股票期权在驱节点皮处的价值应丙该取谷和循中的较大者坊，即凉笔仪裕重耳培陶总抬由于美式股定票期权在期徐权到期日的高价值是已知置的，因此美申式股票期权划的定价应该火由前向后逐甩步计算，这些也称作向后绕推演（ba考ckwar告dsin首ducti替on）。先除由第枯步（期权到马期日）的录个节点上的姑期权价值推饮出第碗步对应的债个节点上的倾期权价值，呼依此下去，索我们可以得前到初始时间妥上的期权价旁值这。彩4.应用及蛇matla挣b程序崖funct篇iona韵mopti竟on(s0祸,E,rf渗,sigm恢a,T,d妇t,ds,蹲smax)史%%%%%粘%%%%%溪%%%%%称%%%%%摔%%%%%陷%%湖%隐式法察求解美式看专跌期权独%%%%%胖%%%%%络%%%%%脏%%%%%毯%%%%%当%勾%输入参息数说明：纲%s0佳螺0时刻股价企%E僻财执行价蛮%rf贷瘦无风险利率姥%T制活到期日（单功位：年）虏%sig斤ma冲股票波动的妈标准差宏%sma辟x求股票最大值伤%ds弱黎股票价格离偏散步长滥%dt张诉时间离散步烛长地%%%%%犬%%%%%菊%%%%%驻%%%%%印%%%%%阁%惕初始常化%掩%%%%%渐%%%%%崖%%%%%查%%%%%消%%%%怎M=rou己nd(sm蔽ax/ds炎);骡N=ro库und(T都/dt);苗ds=sm圆ax/M;岛违%重新确样定股票价格皱步长雷dt=T/祥N;罢吸聋%确厅定时间的步苗长肆%%%%%盯%%%%%逃%%%%%依%%%%%饲%%%%%券%%%%%止%%%涂forj茧=1:M今a(j)=拢0.5*r乘f*j*d份t-0.5姜*sigm数a^2*j狗^2*dt希b(j)=固1+sig女ma^2*灭j^2*d展t+rf*涨dt猾c(j)=盒-0.5*佳rf*j*暑dt-0.届5*sig衫ma^2*块j^2*d狭tend离%%%%%亲%%%%%土%%%%%烘%%%%%路%%%%%仅%%%%%鼓%%%%%律%%秒L=zer姐os(M-范1,M-1霜);仍L(1,1澡)=b(1之);L(1假,2)=c拴(1);惧环迅%辩边界条件由L(M